1、 20182018 新课标新课标 I I 理理 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1设 z1i 1i2i，则|z| A0 B1 2 C1 D 2 【解析】因 z1i 1i2ii2ii，故|z|1，故选 C 2已知集合 Ax| x2x20，则RA Ax| 1x2 Bx| 1x2 Cx| x1 或 x2 Dx|x1 或 x2 【解析】解不等式 x2x20 得，x1 或 x2，故 A x1 或 x2，故可以求得RAx| 1x2，故选 B 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区 农
2、村的经济收入变化情况， 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后，种植收入减少 B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为 06M，而新农村建设后的种植收入为 074M，故种植收入增加了，故 A 项不正确；新农村建设 前其他收入我 004M，新农村建设后其他收入为 01M，故增加了一倍以上，故 B项正确；新农 村建设前，养殖收入为 03
3、M，新农村建设后为 06M，故增加了一倍，故 C项正确；新农村建 设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 30%28%58%50%，故超过了经济收入的 一半，故 D正确；故选 A 4记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 3S3S2S4，a12，则 a5 A 12 B 10 C 10 D 12 详解：法一 设等差数列an的公差为 d，3S3S2S4，3 3a132 2 d 2a1d4a143 2 d， 解得 d3 2a1a12，d3，a5a14d24(3)10 法二 设等差数列an的公差为 d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1 32 2 dda12，d3，a
4、5a14d24(3)10 5设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 Ay2x Byx Cy2x Dyx 【解析】因函数 f(x)是奇函数，故 a10，解得 a1，故 f(x)x3x，f(x)3x21，故 f(0)1， f(0)0，故曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yf(0)f(0)x，化简可得 yx，故选 D 6在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB A3 4AB 1 4AC B1 4AB 3 4AC C3 4AB 1 4AC D1 4AB 3 4AC 【解析】根据向量的运算法则，
5、可得 BE 1 2BA 1 2BD 1 2BA 1 4BC 1 2BA 1 4(BA AC)1 2BA 1 4BA 1 4AC 3 4BA 1 4AC ，故EB3 4AB 1 4 AC ，故选 A 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路 径的长度为 A2 17 B2 5 C3 D 2 【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形 的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，故所
6、求的最短路径的长度为 2 5，故选 B 8设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN A 5 B 6 C 7 D 8 【解析】过点(2，0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2)，由 y2 3（x2）， y24x， 得 x25x40， 解得 x1 或 x4，故 x1， y2 或 x4， y4. 不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，故FM (0，2)， FN (3，4)，故FM FN 8 9已知函数 f(x) ex，x0， ln x，x0，g(x)f(x)xa若 g(x)存在 2 个零点，则 a
7、的取值范围是( ) A1，0) B0，) C1，) D1，) 【解析】函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x) xa 有 2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点，作出直线 yxa 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可 知，a1，解得 a1 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三 个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC的斜边 BC，直角边 AB，ACABC的三边所围 成的区域记为 I， 黑色部分记为 II， 其余部分记为 III 在整个图形中随机取一点， 此点取自 I，II，III 的概率分别记为 p1
8、，p2，p3，则 A p1p2 B p1p3 C p2p3 D p1p2p3 【解】不妨设ABC 为等腰直角三角形，ABAC2，则 BC2 2，故区域的面积即ABC 的 面积，为 S11 2 2 22，区域的面积 S3 （ 2）2 2 S12区域的面积为 S2 2 2 2 S32根据几何概型的概率计算公式，得 p1p2 2 2，p3 2 2，故 p1p3，p2p3，p1p2 p3，故选 A 11已知双曲线 C：x 2 3y 21，O 为坐标原点，F为 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的 交点分别为 M、N若OMN为直角三角形，则|MN| A 3 2 B 3 C2 3 D 4 【解析】
9、根据题意，可知其渐近线的斜率为 3 3 ，且右焦点为 F(2，0)，从而得到FON30， 故直线 MN 的倾斜角为 60或 120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 60，可以得出直线 MN的方程为 y 3(x2)， 分别与两条渐近线 y 3 3 x 和 y 3 3 x 联立， 求得 M(3， 3)， N(3 2， 3 2 )， 故|MN|3，故选 B 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面 积的最大值为 A3 3 4 B2 3 3 C3 2 4 D 3 2 【解析】如图，依题意，平面 与棱 BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面
10、 AB1C 符合题意， 进而所有平行于平面 AB1C 的平面均符合题意 由对称性， 知过正方体 ABCDA1B1C1D1 中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形 EFGHIJ正六边形 EFGHIJ 的边长为 2 2 ，将该 正六边形分成 6 个边长为 2 2 的正三角形故其面积为 6 3 4 ( 2 2 )23 3 4 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。 13若 x，y 满足约束条件 x2y20 xy10 y0 ，则 z3x2y 的最大值为_ 【解析】作出可行域为如图所示的ABC 所表示的阴影区域，作出直线 3x2y0，并平移该直线， 当直线过点 A(2，0)时，目
11、标函数 z3x2y 取得最大值，且 zmax3 22 06 14记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6_ 【解析】法一 因为 Sn2an1，故当 n1 时，a12a11，解得 a11； 当 n2 时，a1a22a21，解得 a22； 当 n3 时，a1a2a32a31，解得 a34； 当 n4 时，a1a2a3a42a41，解得 a48； 当 n5 时，a1a2a3a4a52a51，解得 a516； 当 n6 时，a1a2a3a4a5a62a61，解得 a632 故 S61248163263 法二 因为 Sn2an1，故当 n1 时，a12a11，解得 a11，当 n2 时
12、，anSnSn12an 1(2an11)，故 an2an1，故数列an是以1 为首项，2 为公比的等比数列，故 an2n 1， 故 S61（12 6） 12 63 15从 2位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 _种 （用数字填写答案） 【解析】法一 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C12C2412(种)；第 二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C144(种)根据分类加法计数原理知，至少有 1 位 女生入选的不同的选法有 16 种 法二 从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C3620(种)，从 6
13、 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C344(种)，故至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20416(种) 16已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_ 【解析】f(x)4(1cos x)(1 2cos x)，故当 cos x 1 2时函数单调减，当 cos x 1 2时函数单调增，从 而得到函数的减区间为2k5 3 ，2k 3(kZ)，函数的增区间为2k 3，2k 3(kZ)，故当 x 2k 3，kZ 时，函数 f(x)取得最小值，此时 sin x 3 2 ，sin 2x 3 2 ，故 f(x) min3 3 2 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说
14、明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17在平面四边形 ABCD 中，ADC90 ，A45 ，AB2，BD5 (1)求 cosADB； (2)若 DC2 2，求 BC 【解析】(1)在ABD 中，由正弦定理得 BD sinA AB sinADB，即 5 sin 45 2 sinADB，故 sinADB 2 5 由题设知，ADB90 ，故 cosADB1 2 25 23 5 (2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 2 5 在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC2 2 BD
15、 DC cosBDC2582 5 2 2 2 5 25故 BC5 18如图，四边形 ABCD 为正方形， E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF (1)证明：平面 PEF平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 【解析】(1)证明 由已知可得，BFPF，BFEF，又 PFEFF，PF，EF平面 PEF，故 BF 平面 PEF又 BF平面 ABFD，故平面 PEF平面 ABFD (2)解 作 PHEF，垂足为 H由(1)得，PH平面 ABFD以 H 为 坐标原点，以HF 的方向为 y 轴的正方向，|
16、BF |为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系 Hxyz由(1)可得，DEPE又 DP2，DE 1，故 PE 3又 PF1，EF2，故 EF2PE2PF2，故 PEPF可得 PH 3 2 ，EH3 2则 H(0，0，0)，P(0，0， 3 2 )，D(1，3 2，0)，DP (1，3 2， 3 2 )，HP (0，0， 3 2 )为平面 ABFD 的 一个法向量 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ， 则 sin HP DP |HP |DP | 3 4 3 3 4 故 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 19设椭圆 C：x 2 2y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l
17、与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2，0) (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB 【解析】(1)由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x1把 x1 代入椭圆方程x 2 2y 21，可得点 A 的坐标 为(1， 2 2 )或(1， 2 2 )又 M(2，0)，故 AM 的方程为 y 2 2 x 2或 y 2 2 x 2 (2)证明 当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线， 故OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)
18、， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 2，x2 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMAkMB y1 x12 y2 x22由 y1k(x11)， y2k(x21)得 kMAkMB2kx1x23k（x1x2）4k （x12）（x22） 将 yk(x1)代入x 2 2y 21 得(2k21)x24k2x 2k220 故 x1x2 4k2 2k21， x1x2 2k22 2k21 则 2kx1x23k(x1x2)4k 4k34k12k38k34k 2k21 0从而 kMAkMB0，故 MA，MB 的倾斜角互补故OMAOMB 综上，OMAOMB 20某工厂的某种产品成箱包装，每箱
19、200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检 验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决 定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)，且各件产品是否 为不合格品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0； (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0作为 p 的值已知每件产 品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费 用 ()若不对该箱余下的产品作检验，这一
20、箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)； ()以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【解析】(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)C220p2(1p)18因此 f(p)C2202p(1p)18 18p2(1p)172C220p(1p)17(110p)令 f(p)0 得，p01当 p(0，01)时，f(p)0；当 p(01，1)时，f(p)0故 f(p)的最大值点为 p001 (2)由(1)知，p01 ()令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 YB(180，01)，X20225Y， 即 X4025Y
21、故 E(X)E(4025Y)4025E(Y)402518001490 ()如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元由于 E(X)400，故应该 对余下的产品作检验 21已知函数 f(x)1 xxaln x 试讨论函数 f(x)的单调性； 若 f(x)存在两个极值点 x1，x2，证明：f(x1)f(x2) x1x2 a2 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) 1 x21 a x x2ax1 x2 ()若 a2，则 f(x)0，当且仅当 a2，x1 时 f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减 ()若 a2，令 f(x)0 得，xa a 24 2 或 xa
22、 a 24 2 当 x(0，a a 24 2 )(a a 24 2 ， )时， f(x)0； 当 x(a a 24 2 ， a a24 2 )时， f(x)0 故 f(x)在(0， a a24 2 )， (a a 24 2 ， )上单调递减，在(a a 24 2 ，a a 24 2 )上单调递增 由知，f(x)存在两个极值点当且仅当 a2由于 f(x)的两个极值点 x1，x2满足 x2ax10， 故 x1x21，不妨设 x1x2，则 x21由于f(x1)f(x2) x1x2 1 x1x21a lnx1lnx2 x1x2 2alnx1lnx2 x1x2 2a2ln x2 1 x2x2 ，故f(x
23、1)f(x2) x1x2 a2 等价于1 x2x22ln x20设函数 g(x) 1 xx2ln x，由知， g(x)在(0， )单调递减， 又g(1)0， 从而当x(1， )时， g(x)0 故 1 x2x22ln x20， 即 f(x1)f(x2) x1x2 a2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 yk|x|2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22cos 30 (1)求 C2的直角坐标方程； (
24、2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 【解析】 （(1)由 xcos ，ysin 得 C2的直角坐标方程为 x2y22x30，即(x1)2y24 (2)由(1)知 C2是圆心为 A(1，0)，半径为 2 的圆由题设知，C1是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的 两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且 仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共 点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，A 到 l1所在直线的距离为 2，
25、故|k2| k21 2，故 k4 3或 k0经检验，当 k0 时，l1 与 C2没有公共点；当 k4 3时，l1 与 C2只有一个 公共点， l2与 C2有两个公共点 当 l2与 C2只有一个公共点时， A 到 l2所在直线的距离为 2， 故 |k2| k21 2，故 k0 或 k4 3经检验，当 k0 时，l1 与 C2没有公共点；当 k4 3时，l2与 C2没有公共点 综上，所求 C1的方程为 y4 3|x|2 23 选修 45：不等式选讲 已知 f(x)|x1|ax1| (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 x(0，1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围 【解析】(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，即 f(x) 2，x1， 2x，1x1 2 (2)当 x(0， 1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0， 1)时|ax1|1 成立 若 a0， 则当 x(0， 1)时，|ax1|1；若 a0，|ax1|1 的解集为 x 0x2 a ，故2 a1，故 0a2 综上，a 的取值范围为(0，2
