2018新课标全国卷II高考文科数学试卷含答案.doc

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1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1i(23i) A32i B32i C32i D32i 【解析】i(23i)32i ,故选 D 2已知集合 A1,3,5,7,B2,3,4,5,则 AB A3 B 5 C3,5 D1,2,3,4,5,7 【解析】因 A1,3,5,7,B2,3,4,5,故 AB3,5,故选 C 3函数 f(x)e xex x2 的图像大致为 A A B B C C D D 【解析】f(x)e xex x2 为奇函数,排除 A;当 x0 时,f(1)

2、e1 e2,排除 C,D,只有 B 项满足 4已知向量 a,b 满足|a|1,a b1,则 a (2ab) A 4 B 3 C 2 D 0 【解析】因 a (2ab)2a2a b2|a|2(1)213,所以选 B 5从 2名男同学和 3名女同学中任选 2人参加社区服务,则选中的 2人都是女同学的概率为 A06 B05 C04 D03 【解析】 设 2名男同学为 A1, A2,3名女同学为 B1, B2,B3,从以上 5名同学中任选 2人总共有 A1A2, A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共 10 种可能,选中的 2人都是女同学的 情况共有

3、 B1B2,B1B3,B2B3共三种可能,则选中的 2人都是女同学的概率为 P 3 100.3,故选 D 6双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的离心率为 3,则其渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x 【解析】法一 由题意知,ec a 3,所以 c 3a,所以 b c 2a2 2a,即b a 2,所以该 双曲线的渐近线方程为 y b ax 2x 法二 由 ec a 1b 2 a2 3,得 b a 2,所以该双曲线的渐近线方程为 y b ax 2x 7在ABC 中,cosC 2 5 5 ,BC1,AC5,则 AB A4 2 B 30 C 29

4、D 2 5 【解析】因 cos C2cos2C 212 1 51 3 5,所以由余弦定理,得 AB 2AC2BC22AC BCcos C 2512 5 1 (3 5)32,所以 AB4 2 8为计算 S11 2 1 3 1 4 1 99 1 100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 Aii1 Bii2 Cii3 Dii4 【解析】 由 S1 1 2 1 3 1 4 1 99 1 100得程序框图先对奇数项累加, 偶数项累加, 最后再相减 因 此在空白框中应填入 ii2,选 B 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 CC1的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为

5、A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 【解析】如图,连接 BE,因为 ABCD,所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角,即EAB不妨设正方体的棱长为 2,则 CE1,BC2,由勾股定理得 BE 5又由 AB平面 BCC1B1及 BE平面 BCC1B1,可得 ABBE,所以 tanEABBE AB 5 2 10若 f(x)cos xsin x 在a,a是减函数,则 a 的最大值是( ) A 4 B 2 C 3 4 D 【解析】f(x)cos xsin x 2cos(x 4),且函数 ycos x 在区间0,上单调递减,则由 0x 4 ,得 4x 3

6、 4 因为 f(x)在a,a上是减函数,所以 a 4, a3 4 , 解得 a 4,所以 0a 4, 所以 a 的最大值是 4 11已知 F1,F2是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点若 PF1PF2,且PF2F160 ,则 C 的 离心率为( ) A1 3 2 B2 3 C 31 2 D 31 解析 由题设知F1PF290 ,PF2F160 ,|F1F2|2c,所以|PF2|c,|PF1| 3c由椭圆的定 义得|PF1|PF2|2a,即 3cc2a,所以( 31)c2a,故椭圆 C 的离心率 ec a 2 31 3 1,故选 D 12已知 f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足 f(

7、1x)f(1x)若 f(1)2,则 f(1)f(2)f(3) f(50) A50 B 0 C 2 D 50 【解析】法一 因 f(x)是定义域为(,)的奇函数,故 f(x)f(x),且 f(0)0,因 f(1x) f(1x),故 f(x)f(2x),f(x)f(2x),故 f(2x)f(x),故 f(4x)f(2x)f(x),故 f(x) 是周期函数,且一个周期为 4,故 f(4)f(0)0,f(2)f(11)f(11)f(0)0,f(3)f(12)f(1 2)f(1)2,故 f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)12 0f(49)f(50)f(1)f(2)2 法二 取一个符合题意的函数

8、f(x)2sin x 2 ,则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以 4 为 周期的周期数列故 f(1)f(2)f(3)f(50)12 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12 20 (2)0202 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分、 13曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_ 【解析】由 yf(x)2ln x,得 f(x)2 x,则曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线的斜率为 kf(1)2, 则所求切线方程为 y02(x1),即 y2x2 14若 x,y 满足约束条件 x2y50, x2y30, x50, 则 zxy 的最大值为_

9、【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所 示作出直线 xy0,平移该直线,当直线过点 B(5,4)时,z 取得最大值,zmax549 15已知 tan(5 4 )1 5,则 tan _ 【解析】法一 因为 tan(5 4 )1 5,所以 tan tan5 4 1tan tan5 4 1 5,即 tan 1 1tan 1 5,解得 tan 3 2 法二 因为 tan(5 4 )1 5,所以 tan tan( 5 4 )5 4 tan 5 4 tan5 4 1tan 5 4 tan5 4 1 51 11 51 3 2 16已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 互相垂直,SA 与圆锥

10、底面所成角为 30 ,若SAB 的面积 为 8,则该圆锥的体积为_ 【解析】如下图所示,SAO30 ,ASB90 ,又 SSAB 1 2SA SB 1 2SA 28,解得 SA4,所以 SO 1 2SA2,AO2 3,所以该圆锥的体积为 V 1 3OA 2 SO8 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个 试题考生都必须作答第 22、23 为选考题考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17记 Sn为等差数列an的前 n 项和,已知 a17,S315 (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并求 Sn的最小值 【解析】(1)设an的公

11、差为 d,由题意得 3a13d15由 a17 得 d2所以an的通项公 式为 an2n9 (2)由(1)得 Snn28n(n4)216所以当 n4 时,Sn取得最小值,最小值为16 18下图是某地区 2000 年至 2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额, 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 根 据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1, 2, , 17)建立模型: y 30 413 5t; 根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,7)建立模型:y 991

12、75t 分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值; 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由 【解析】(1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 304135 19 2261(亿元)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 99175 9 2565(亿元) (2)利用模型得到的预测值更可靠 理由如下:从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y304 135t 上下,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设 施投资额的变化趋势20

13、10 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年 的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线 性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 99175t 可以较好地描述 2010 年 以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19如图,在三棱锥 PABC 中,ABBC2 2,PAPBPCAC4,O 为 AC 的中点 (1)证明:PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC2MB

14、,求点 C 到平面 POM 的距离 【答案】(1)证明 因为 APCPAC4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP2 3 连接 OB因为 ABBC 2 2 AC,所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB1 2AC2由 OP2OB2PB2知,OPOB由 OPOB,OPAC 且 OBACO,OB,AC平面 ABC,知 PO平面 ABC (2)解 作 CHOM,垂足为 H 又由(1)可得 OPCH,OMOPO,OM,OP平面 POM,所以 CH平面 POM故 CH 的长 为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC1 2AC2,CM 2 3BC 4 2 3 ,ACB45 所以

15、OM CO2CM22CO CM cos 45 2 5 3 , 又 由 1 2 OM CH 1 2 OC MC sinACB , CH OC MC sinACB OM 4 5 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5 20设抛物线 C:y24x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|8 (1)求 l 的方程; (2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【解】 (1)由题意得 F(1, 0), l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1, y1), B(x2, y2) 由 yk(x1), y24x 得 k2x2(2k2

16、4)xk20 16k2160, 故 x1x22k 24 k2 所以|AB|AF|BF|(x11)(x2 1)4k 24 k2 由题设知4k 24 k2 8,解得 k1(舍去),k1因此 l 的方程为 yx1 (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3, 2), 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3), 即 yx5 设 所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y0x05, (x01)2(y0x01) 2 2 16.解得 x03, y02 或 x011, y06. 因此所 求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144 21已知函数 f(x) 1 3x 3a(x2x1) (

17、1)若 a3,求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点 【解析】(1)当 a3时,f(x)1 3x 33x23x3,f(x)x26x3令 f (x)0 解得,x32 3或 x 32 3当 x(,32 3)(32 3,)时, f (x)0;当 x(32 3,32 3)时, f (x) 0故 f(x)在(,32 3),(32 3,)单调递增,在(32 3,32 3)单调递减 (2)由于 x2x10,所以 f(x)0 等价于 x3 x2x13a0设 g(x) x3 x2x13a,则 g(x) x2(x22x3) (x2x1)2 0, 仅当 x0 时 g(x)0, 所以 g(x)在(

18、,)单调递增 故 g(x)至多有一个零点, 从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6a22a1 36(a 1 6) 21 60,f(3a1) 1 30,故 f(x) 有一个零点 综上,f(x)只有一个零点 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分 22 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x2cos , y4sin ( 为参数),直线 l 的参数方程为 x1tcos , y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(

19、1,2),求 l 的斜率 【解析】(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 4 y2 161当 cos 0 时,l 的直角坐标方程为 yxtan tan 2,当 cos 0 时,l 的直角坐标方程为 x1 (2)将的参数方程代入 C 的直角坐标方程, 整理得关于的方程(13cos2 )t24(2cos sin )t8 0因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以有两个解,设为 t1,t2,则 t1t2 0又由得 t1t2 4(2cos sin ) 13cos2 ,故 2cos sin 0,于是直线 l 的斜率 ktan 2 23 选修 45:不等式选讲 设函数 f(x)5|xa|x2| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围 【解析】(1)当 a1 时,f(x) 2x4,x1, 2,12. 可得 f(x)0 的解集为x|2x3 (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4而|xa|x2|a2|,且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等 价于|a2|4由|a2|4 可得,a6 或 a2,所以的取值范围是(,62,)

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