1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1i(23i) A32i B32i C32i D32i 【解析】i(23i)32i ，故选 D 2已知集合 A1，3，5，7，B2，3，4，5，则 AB A3 B 5 C3，5 D1，2，3，4，5，7 【解析】因 A1，3，5，7，B2，3，4，5，故 AB3，5，故选 C 3函数 f(x)e xex x2 的图像大致为 A A B B C C D D 【解析】f(x)e xex x2 为奇函数，排除 A；当 x0 时，f(1)
2、e1 e2，排除 C，D，只有 B 项满足 4已知向量 a，b 满足|a|1，a b1，则 a (2ab) A 4 B 3 C 2 D 0 【解析】因 a (2ab)2a2a b2|a|2(1)213，所以选 B 5从 2名男同学和 3名女同学中任选 2人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为 A06 B05 C04 D03 【解析】 设 2名男同学为 A1， A2，3名女同学为 B1， B2，B3，从以上 5名同学中任选 2人总共有 A1A2， A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共 10 种可能，选中的 2人都是女同学的 情况共有
3、 B1B2，B1B3，B2B3共三种可能，则选中的 2人都是女同学的概率为 P 3 100.3，故选 D 6双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x 【解析】法一 由题意知，ec a 3，所以 c 3a，所以 b c 2a2 2a，即b a 2，所以该 双曲线的渐近线方程为 y b ax 2x 法二 由 ec a 1b 2 a2 3，得 b a 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y b ax 2x 7在ABC 中，cosC 2 5 5 ，BC1，AC5，则 AB A4 2 B 30 C 29
4、D 2 5 【解析】因 cos C2cos2C 212 1 51 3 5，所以由余弦定理，得 AB 2AC2BC22AC BCcos C 2512 5 1 (3 5)32，所以 AB4 2 8为计算 S11 2 1 3 1 4 1 99 1 100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 Aii1 Bii2 Cii3 Dii4 【解析】 由 S1 1 2 1 3 1 4 1 99 1 100得程序框图先对奇数项累加， 偶数项累加， 最后再相减 因 此在空白框中应填入 ii2，选 B 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为
5、A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 【解析】如图，连接 BE，因为 ABCD，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即EAB不妨设正方体的棱长为 2，则 CE1，BC2，由勾股定理得 BE 5又由 AB平面 BCC1B1及 BE平面 BCC1B1，可得 ABBE，所以 tanEABBE AB 5 2 10若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大值是( ) A 4 B 2 C 3 4 D 【解析】f(x)cos xsin x 2cos(x 4)，且函数 ycos x 在区间0，上单调递减，则由 0x 4 ，得 4x 3
6、 4 因为 f(x)在a，a上是减函数，所以 a 4， a3 4 ， 解得 a 4，所以 0a 4， 所以 a 的最大值是 4 11已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点若 PF1PF2，且PF2F160 ，则 C 的 离心率为( ) A1 3 2 B2 3 C 31 2 D 31 解析 由题设知F1PF290 ，PF2F160 ，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1| 3c由椭圆的定 义得|PF1|PF2|2a，即 3cc2a，所以( 31)c2a，故椭圆 C 的离心率 ec a 2 31 3 1，故选 D 12已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(
7、1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3) f(50) A50 B 0 C 2 D 50 【解析】法一 因 f(x)是定义域为(，)的奇函数，故 f(x)f(x)，且 f(0)0，因 f(1x) f(1x)，故 f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，故 f(2x)f(x)，故 f(4x)f(2x)f(x)，故 f(x) 是周期函数，且一个周期为 4，故 f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(1 2)f(1)2，故 f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)12 0f(49)f(50)f(1)f(2)2 法二 取一个符合题意的函数
8、f(x)2sin x 2 ，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以 4 为 周期的周期数列故 f(1)f(2)f(3)f(50)12 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12 20 (2)0202 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分、 13曲线 y2ln x 在点(1，0)处的切线方程为_ 【解析】由 yf(x)2ln x，得 f(x)2 x，则曲线 y2ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为 kf(1)2， 则所求切线方程为 y02(x1)，即 y2x2 14若 x，y 满足约束条件 x2y50， x2y30， x50， 则 zxy 的最大值为_
9、【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所 示作出直线 xy0，平移该直线，当直线过点 B(5，4)时，z 取得最大值，zmax549 15已知 tan(5 4 )1 5，则 tan _ 【解析】法一 因为 tan(5 4 )1 5，所以 tan tan5 4 1tan tan5 4 1 5，即 tan 1 1tan 1 5，解得 tan 3 2 法二 因为 tan(5 4 )1 5，所以 tan tan( 5 4 )5 4 tan 5 4 tan5 4 1tan 5 4 tan5 4 1 51 11 51 3 2 16已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥
10、底面所成角为 30 ，若SAB 的面积 为 8，则该圆锥的体积为_ 【解析】如下图所示，SAO30 ，ASB90 ，又 SSAB 1 2SA SB 1 2SA 28，解得 SA4，所以 SO 1 2SA2，AO2 3，所以该圆锥的体积为 V 1 3OA 2 SO8 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 为选考题考生根据要求作答 (一)必考题：共 60 分 17记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315 (1)求an的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn的最小值 【解析】(1)设an的公
11、差为 d，由题意得 3a13d15由 a17 得 d2所以an的通项公 式为 an2n9 (2)由(1)得 Snn28n(n4)216所以当 n4 时，Sn取得最小值，最小值为16 18下图是某地区 2000 年至 2016年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 根 据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1， 2， ， 17)建立模型： y 30 413 5t； 根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1，2，7)建立模型：y 991
12、75t 分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 【解析】(1)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 304135 19 2261(亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 99175 9 2565(亿元) (2)利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y304 135t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设 施投资额的变化趋势20
13、10 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年 的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线 性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 99175t 可以较好地描述 2010 年 以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB
14、，求点 C 到平面 POM 的距离 【答案】(1)证明 因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP2 3 连接 OB因为 ABBC 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB1 2AC2由 OP2OB2PB2知，OPOB由 OPOB，OPAC 且 OBACO，OB，AC平面 ABC，知 PO平面 ABC (2)解 作 CHOM，垂足为 H 又由(1)可得 OPCH，OMOPO，OM，OP平面 POM，所以 CH平面 POM故 CH 的长 为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC1 2AC2，CM 2 3BC 4 2 3 ，ACB45 所以
15、OM CO2CM22CO CM cos 45 2 5 3 ， 又 由 1 2 OM CH 1 2 OC MC sinACB ， CH OC MC sinACB OM 4 5 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5 20设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8 (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【解】 (1)由题意得 F(1， 0)， l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k2
16、4)xk20 16k2160， 故 x1x22k 24 k2 所以|AB|AF|BF|(x11)(x2 1)4k 24 k2 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1因此 l 的方程为 yx1 (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3， 2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即 yx5 设 所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0x05， （x01）2（y0x01） 2 2 16.解得 x03， y02 或 x011， y06. 因此所 求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144 21已知函数 f(x) 1 3x 3a(x2x1) (
17、1)若 a3，求 f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点 【解析】(1)当 a3时，f(x)1 3x 33x23x3，f(x)x26x3令 f (x)0 解得，x32 3或 x 32 3当 x(，32 3)(32 3，)时， f (x)0；当 x(32 3，32 3)时， f (x) 0故 f(x)在(，32 3)，(32 3，)单调递增，在(32 3，32 3)单调递减 (2)由于 x2x10，所以 f(x)0 等价于 x3 x2x13a0设 g(x) x3 x2x13a，则 g(x) x2(x22x3) (x2x1)2 0， 仅当 x0 时 g(x)0， 所以 g(x)在(
18、，)单调递增 故 g(x)至多有一个零点， 从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6a22a1 36(a 1 6) 21 60，f(3a1) 1 30，故 f(x) 有一个零点 综上，f(x)只有一个零点 (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y4sin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为 x1tcos ， y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(
19、1，2)，求 l 的斜率 【解析】(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 4 y2 161当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 yxtan tan 2，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1 (2)将的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于的方程(13cos2 )t24(2cos sin )t8 0因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t2 0又由得 t1t2 4（2cos sin ） 13cos2 ，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2 23 选修 45：不等式选讲 设函数 f(x)5|xa|x2| (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 f(x)1，求 a 的取值范围 【解析】(1)当 a1 时，f(x) 2x4，x1， 2，12. 可得 f(x)0 的解集为x|2x3 (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等 价于|a2|4由|a2|4 可得，a6 或 a2，所以的取值范围是(，62，)
