1、 . 一中自主招生考试数学试题一选择题(共6小题,满分24分,每小题4分)1(4分)如果关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根,则实数a的取值围是()A2a2BCD2(4分)假期里王老师有一个紧急通知,要用尽快通知给50个同学,假设每通知一个同学需要1分钟时间,同学接到后也可以相互通知,那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为()A8分钟B7分钟C6分钟D5分钟3(4分)如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每一个面都有一个实数,且相对面上的两个数互为倒数,那么代数式的值等于()AB6CD64(4分)(2008)如图,把图1中的ABC经过一定的变换得到图2中的ABC,如果图1中A
2、BC上点P的坐标为(a,b),那么这个点在图2中的对应点P的坐标为()A(a2,b3)B(a3,b2)C(a+3,b+2)D(a+2,b+3)5(4分)如图,四边形BDCE接于以BC为直径的A,已知:,则线段DE的长是()AB7C4+3D3+46(4分)如图,三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板,在桌面上翻滚(顺时针方向),顶点A的位置变化为A1A2A3,其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住,使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于BAC,则A翻滚到A2位置时共走过的路程为()A8cmB8cmC2cmD4cm二填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)7(4分)若x+=3
3、,则x2+=_8(4分)如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若SAPD=15cm2,SBQC=25cm2,则阴影部分的面积为_cm29(4分)如图,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm如果正方形AEFG绕点A旋转,那么C、F两点之间的最小距离为_cm10(4分)对于正数x,规定f(x)=,计算f()+f()+f()+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+f(98)+f(99)+f(100)=_11(4分)甲,乙,丙3人用擂台赛形式进行训练,每局2人进行单打比赛,另1人当裁判,每局的输方去当下局的裁判
4、,而由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时发现甲共打了12局,乙共打了21局,而丙共当裁判8局那么,整个比赛的第10局的输方一定是_12(4分)(2002)如图所示,在正方形ABCD中,AOBD,OE,FG,HI都垂直于AD,EF,GH,IJ都垂直于AO,若已知SAIJ=1,则正方形ABCD的面积为_三解答题(共6小题,满分52分)13(6分)把几个数用大括号围起来,中间用逗号断开,如:1,2,3,2,7,8,19,我们称之为集合,其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足:当实数a是集合的元素时,实数8a也必是这个集合的元素,这样的集合我们称为好的集合(1)请你判断集合1,2,1,4,7是不是好
5、的集合;(2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子14(8分)(2007)在课外活动时间,小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏,踺子从一人传到另一人就记为踢一次(1)若从小丽开始,经过两次踢踺后,踺子踢到小华处的概率是多少?(用树状图或列表法说明)(2)若经过三次踢踺后,踺子踢到小王处的可能性最小,应确定从谁开始踢,并说明理由15(8分)某中学为了进一步改善办学条件,决定计划拆除一部分旧校舍,建造新校舍拆除旧校舍每平方米需80元,建造新校舍每平方米需要800元,计划在年拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米,在实施中为扩大绿化面积,新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%,
6、结果恰好完成了原计划的拆、建总面积(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米?(2)若绿化1平方米需要200元,那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化,可绿化多少平方米?16(10分)如图,O的直径EF=cm,RtABC中,ACB=90,BAC=30,AB=cmE、F、A、B四点共线RtABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动,设运动时间为t(s),当t=0s时,点B与点F重合(1)当t为何值时,RtABC的直角边与O相切?(2)当RtABC的直角边与O相切时,请求出重叠部分的面积(精确到0.01)17(10分)(2008)(1)如图1,点O是线段AD的中点,分别以AO和D
7、O为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC求AEB的大小;(2)如图2,OAB固定不动,保持OCD的形状和大小不变,将OCD绕点O旋转(OAB和OCD不能重叠),求AEB的大小18(10分)(2008)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图所示,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值围;(2)你能求
8、出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式答案与评分标准一C ,C ,A ,C ,D ,D二7,40,3, ,甲,256,三解:(1)集合1,2不是好的集合,这是因为81=7,而7不是1,2中的数,所以1,2不是好的集合,1,4,7是好的集合,这是因为81=7,7是1,4,7中的数,84=4,4也是1,4,7中的数,87=1,1又是1,4,7中的数所以1,4,7是好的集合;(2)答案不唯一集合4、3,4,5、2,6、1,2,4,6,7、0,8等都是好的集合解:(1)踺子踢到小华处的概率是树状图如下:列表法如下:小丽 小王小华 小
9、王 (小丽,小王) (小王,小华) 小华 (小华,小丽) (小华,小王)(2)小王树状图如下:理由:若从小王开始踢,三次踢踺后,踺子踢到小王处的概率是,踢到其它两人处的概率都是,因此,踺子踢到小王处的可能性是最小解:(1)由题意可设拆旧舍x平方米,建新舍y平方米,则答:原计划拆建各4500平方米(2)计划资金y1=450080+4500800=3960000元实用资金y2=1.1450080+0.94500800=495080+4050800=396000+3240000=3636000节余资金:39600003636000=324000可建绿化面积=平方米答:可绿化面积1620平方米解:(1
10、)BAC=30,AB=,BC=又O的直径EF=,即半径为,ACB=90,当点B运动到圆心O时,AC边与O相切(如图1所示)(1分)此时运动距离为FO=,t=s (2分)当BC边与O相切时(如图2所示),设切点为G连接OG,则OGBC(3分)由已知,BOG=BAC=30,OG=,BO=2 (4分)又FO=,BF=(此步亦可利用相似求解,请参照给分)此时s (5分)由上所述,当秒时,RtABC的直角边与O相切(6分)(2)由图1,此时O与RtABC的重叠部分为扇形COF (7分)由已知,COF=60, (8分)由图2,设AC与O交于点M,此时O与RtABC的重叠部分为扇形OMGE加上OAM (9分
11、)过点M作MNOG于N,则MN=GC由(1)可知BG=1则MN=GC= (10分),MON=25,即MOE=55 (11分) (12分)又OM=,点M到AB的距离h=OMsinMOE1.419,(13分)SAOM=OAh1.229cm2此时O与RtABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+SAOM2.67cm2(14分) 页脚 解:(1)如图3,DOC和ABO都是等边三角形,且点O是线段AD的中点,OD=OC=OB=OA,1=2=60,4=5又4+5=2=60,4=30同理6=30AEB=4+6,AEB=60(2)如图4,DOC和ABO都是等边三角形,OD=OC,OB=OA,1=2=60又OD=
12、OA,OD=OB,OA=OC,4=5,6=7DOB=1+3,AOC=2+3,DOB=AOC4+5+DOB=180,6+7+AOC=180,25=26,5=6又AEB=85,8=2+6,AEB=2+65=2+55=2,AEB=60解:(1)根据题意可得:A(1,0),B(3,0);则设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x3)(a0),又点D(0,3)在抛物线上,a(0+1)(03)=3,解之得:a=1y=x22x3(3分)自变量围:1x3(4分)(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连接CM,在RtMOC中,OM=1,CM=2,CMO=60,OC=在RtMCE中,MC=2,CMO=60,ME=4点C、E的坐标分别为(0,),(3,0)(6分)切线CE的解析式为(8分)(3)设过点D(0,3),“蛋圆”切线的解析式为:y=kx3(k0)(9分)由题意可知方程组只有一组解即kx3=x22x3有两个相等实根,k=2(11分)过点D“蛋圆”切线的解析式y=2x3(12分)