1、第 1 页 共 9 页 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学（江苏卷）（江苏卷） 一、选择题一、选择题 1下列函数中，周期为 2 的是（ ） Asin 2 x y Bsin2yx Ccos 4 x y Dcos4yx 【解析】由 2 | T ，得正确答案为（D）. 2已知全集UZ， 2 1,0,1,2, |ABx xx ，则 U AB为（ ） A 1,2 B 1,0 C0,1 D1,2 【解析】0,1B ， UB 是不含0,1的整数， 1,2 U AB ，故选（A）. 3在平面直角坐标系xoy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为
2、 20xy，则它的离心率为（ ） A5 B 5 2 C3 D2 【解析】由20xy，得 1 2 yx，故 1 2 a b ，设,2ak bk，则5ck，5 c e a ，故 选（A）. 4已知两条直线,m n，两个平面, ，给出下面四个命题： ,mn mn ,mnmn ,mn mn ,mn mn 其中正确命题的序号是（ ） A、 B、 C、 D、 4. 【解析】中，,m n有可能是异面直线；中，n有可能在上，都不对，故选（C）. 5函数( )sin3cos (,0)f xxx x 的单调递增区间是（ ） A 5 , 6 B 5 , 66 C,0 3 D,0 6 【 解 析 】( )2sin()
3、 3 f xx ， 当22 232 kxk 时 ， 函 数 单 调 递 增 ， 即 第 2 页 共 9 页 5 22 66 kxk ，令0k ，且,0x ，可知选（D）. 6设函数( )f x定义在实数集上，它的图像关于直线1x 对称，且当1x时，( )31 x f x ，则 （ ） A 132 ( )( )( ) 323 fffB 231 ( )( )( ) 323 fff C 213 ( )( )( ) 332 fffD 321 ( )( )( ) 233 fff 【解析】依题意，有(1)(1)fxfx，故，1 (1)1 (1)fxfx，即(2)( )fxf x， 当1x时，1x ，即21
4、x，故， 2 (2)31 x fx ，故 2 (2)31(1) x fxx ， 5 3 1 ( )31 3 f， 4 3 2 ( )31 3 f， 3 2 3 ( )31 2 f，故 231 ( )( )( ) 323 fff，选（B） 7若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2)xaa xa xa x，则 2 a的值为（ ） A3 B6 C9 D12 【解析】 将等式右边展开， 含 23 xx、的项为 223 233 6a xa xa x， 故有 3 23 1 60 a aa ， 解得： 2 6a ， 故选（B） 8设 2 ( )lg() 1 f xa x 是奇函数，则使(
5、)0f x 的x的取值范围是（ ） A( 1,0) B(0,1) C(,0) D(,0)(1,) 【解析】依题意，得(0)0f，即lg(2)0a，故，1a， 1 ( )lg 1 x f x x ，又( )0f x ， 故， 1 01 1 x x ，解得：10x ，故选（A）. 9 已知二次函数 2 ( )f xaxbxc的导数为 ( ) fx， (0) 0f， 对于任意实数x， 都有(0)0f， 则 (1) (0) f f 的最小值为（ ） A3 B 5 2 C2 D 3 2 【解析】 ( ) 2fxaxb，依题意，有： 2 0 0 40 b a bac ，可得0c ， (1) (0) fab
6、c fb 2 121212 4 acacac bbbac ，故选（C）. 第 3 页 共 9 页 10在平面直角坐标系xoy，已知平面区域( , )|1,0,0Ax yxyxy且，则平面区域 (,)|( , )Bxy xyx yA的面积为（ ） A2 B1 C 1 2 D 1 4 【解析】集合B转化为是不等式组 1 1 0,0 xy xy xy 的平面区域，如右图，平面区 域的面积为 1 2 11 2 ，故选（B）. 二、填空题二、填空题 11若 13 cos(),cos() 55 ，则tantan . 【解析】 1 coscossinsin 5 ， 3 coscossinsin 5 ，解得：
7、 2 coscos 5 ， 1 sinsin 5 ，故 1 tantan 2 . 12某校开设9门课程供学生选修，其中, ,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定， 每位同学选修4门，共有 种不同选修方案.（用数值作答） 【解析】 314 636 75C CC. 13 已知函数 3 ( )128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m， 则Mm . 【 解 析 】 令 2 ( )3120fxx， 得 ： 12 2,2xx ，( 3)17,(3)1ff ， ( 2)24,(2)8ff ，故，24( 8)32Mm . 14正三棱锥PABC的高为2，侧棱与底面ABC所成
8、角为45， 则点A到侧面PBC的距离是 . 【解析】如图， 45 ,2,1,3,2 2,5PBOPOOBODBDPBPD ， 11 3, 22 ADAD POPD AE，得 6 5 5 AE . 15 在平面直角坐标系xoy中， 已知ABC的顶点( 4,0)A 和(4,0)C， 顶点B在椭圆 22 1 259 xy 上，则 sinsin sin AC B . 第 4 页 共 9 页 【 解 析 】 设 三 角 形 三 边 为, ,a b c， 因B在 椭 圆 上 ， 长 半 轴 为5， 故 10 8 ac b ， 设 sinsinsin abc k ABC ，则 sinsin5 sin4 AC
9、ac Bb . 16某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t 时，点 A与钟面上标12的点B重合，将,A B两点的距离()d cm表示成( )t s的函数，则d ，其 中0,60t. 【解析】t秒后转过的弧度为 2 60 t ，过O作AB边上的高，OAB为等腰三角形，故 12 2 5 sin()10sin 26060 tt d . 三、解答题三、解答题 17某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率； （4分） （3）5次预报中恰有2次准确，且其中
10、第3次预报准确的概率； （4分） 本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方 法，考查运用概率知识解决实际问题的能力法，考查运用概率知识解决实际问题的能力 解： （1）5次预报中恰有2次准确的概率 22323 55 (2)0.80.210 0.80.20.05PC （2）5次预报中至少有2次准确的概率 00511 5555 1(0)(1)10.80.20.8PPCC 4 0.21 0.000320.00640.99 （3） “5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确
11、”的概率为 123 4 0.80.8 0.2C 23 4 0.80.20.02 18 如图， 已知 1111 ABCDABC D是棱长为3的正方体， 点E 在 1 AA上，点F在 1 CC上，且 1 1AEFC， （1）求证： 1 , ,E B F D四点共面； （ 2 ） 若 点G在BC上 ， 2 3 BG ， 点M在 1 BB上 ， GMBF，垂足为H，求证： 11 EMBCC B面； 1 D 1 A A B C D 1 C 1 B M E F H G 第 5 页 共 9 页 （3）用表示截面 1 EBFD和面 11 BCC B所成锐二面角大小，求tan. 本小题主要考查平面的基本性质、线
12、线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空 间想象能力、逻辑推理能力和运算能力间想象能力、逻辑推理能力和运算能力 解法一：如图，在 1 DD上取点N，使1DN ，连结EN，CN， 则1AEDN， 1 2CFND因 1 ,AEDN NDDF，故 四 边 形ADNE， 1 CFD N都 为 平 行 四 边 形 从 而 1 ENADFDCN，又因AD BC，故ENBC，故四边形 BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而 1 FDBE因此， 1 , ,E B F D四点共面 （2）如图，GMBF，又BMB
13、C，故BGMCFB，tanBMBGBGM 23 tan1 32 BC BGCFBBG CF 因AE BM，故ABEM为平行四边形，从而 ABEM又 11 ABBCC B平面，故 11 EMBCC B平面 （3）如图，连结EH因MHBF，EMBF，故BF 平面EMH，得EHBF 于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM因MBHCFB，故 2222 33 13 1 13 32 BC MHBM sinMBHBM sinCFBBM BCCF ， tan13 EM MH 解法二： （1）建立如图所示的坐标系，则(3,0,1)BE ，(0,3,2)BF ， 1 (3,3,3)BD ，故 1 BDBEBF
14、，故 1, ,BD BE BF共面又它们有公共点B，故 1 EBFD、 、 、四点共面 （2）如图，设(0,0, )Mz，则 2 (0, ) 3 GMz，而(0,3,2)BF ，由题设得GM BF 2 320 3 z ，得1z 因(0,0,1)M，(3,0,1)E，有(3,0,0)ME ，又 1 (0,0,3)BB ， (0,3,0)BC ，故 1 0ME BB，0ME BC，从而 1 MEBB，MEBC故 11 EMBCC B平面 （3）设向量( , ,3)BPx y ，BP 截面 1 EBFD，于是BPBE，BPBF而(3,0,1)BE ， (0,3,2)BF ， 得330BP BEx，3
15、60BP BFy， 解 得1,2xy ， 故 ( 1, 2,3)BP 又(3,0,0)BA ，BA 平面 11 BCC B，故BP和BA的夹角等于或（ C B A G H M D E F 1 B 1 A 1 D 1 C N 第 6 页 共 9 页 为锐角） 于是 |1 cos |14 BP BA BPBA 故tan13 19、如图，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点 (0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 yx相交于,A B两点，一条 垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线: l yc 交于 ,P Q， （1）若2OA OB，求c的值； （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物
16、线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由. 本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关 系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的 能力能力 解：(1)设过C点的直线为ykxc，故 2 (0)xkxc c，即 2 0xkxc，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 1122 ( ,),(,)OAx yOBx y，因2OA OB，故 1212 2x xy y，即 1212 ()()2
17、x xkxc kxc， 22 121212 ()2x xk x xkc xxc故 22 2ck ckc kc ，即 2 20cc ，故 2c （舍去1c ）. （2）设过Q的切线为 111 ()yyk xx， 2yx，故 11 2kx，即 22 11111 222yx xxyx xx，它与yc 的交点为 1 1 (,) 22 xc Mc x ，又 2 1212 (,)( ,) 2222 xxyyk k Pc ，故(,) 2 k Qc，因 12 x xc ,故 2 1 c x x ，故 12 (,)(,) 22 xxk Mcc ，故点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线. （3） （2）的逆
18、命题是成立，由（2）可知(,) 2 k Qc，因PQx轴，故(,) 2 P k Py，因 12 22 xxk ， 故P为AB的中点. 20已知 n a是等差数列， n b是公比为q的等比数列， 11221 ,ab aba，记 n S为数列 n b的 前n项和， B A x y O C Q l P C B A G H M D E F 1 B 1 A 1 D 1 C z y x 第 7 页 共 9 页 （1）若 km ba（,m k是大于2的正整数)，求证： 11 (1) k Sma ； （2）若 3 ( i ba i是某个正整数)，求证：q是整数，且数列 n b中每一项都是数列 n a中的项；
19、（3）是否存在这样的正数q，使等比数列 n b中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值， 并加以说明；若不存在，请说明理由； 本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探 索及论证问题的能力索及论证问题的能力 解：设 n a的公差为d，由 11221 ,ab aba，知0,1dq， 11 (1)(0)da qa (1)因 km ba，故 1 111 (1)(1) k a qama q ， 1 1 (1)(1)2(1) k qmqmmq ，故 1 11 11 (1)(1)
20、(1) (1) 11 k k aqa mq Sma qq . (2) 2 3111 ,(1)(1) i ba qaaia q，由 3i ba，故 2 1 (1)(1)qiq ， 2 (1)qiq (2)0i解得，1q 或2qi ，但1q ，故2qi ，因i是正整数，故2i是整数，即q是 整数，设数列 n b中任意一项为 1* 1 () n n ba qnN ，设数列 n a中的某一项 * 11 (1)(1)() m aama qmN ，现在只要证明存在正整数 m，使得 nm ba，即在方程 1 111 (1)(1) n a qama q 中m有正整数解即可， 1 1 (1)(1) n qmq
21、， 1 22 1 11 1 n n q mqqq q ，故 22 2 n mqqq ，若1i ，则1q ，那么 2111222 , nn bba bba ， 当3i 时， 因 11221 ,ab aba， 只要考虑3n的情况， 因 3i ba， 故3i ，因此q是正整数，故m是正整数，因此数列 n b中任意一项为 1* 1 () n n ba qnN 与数 列 n a的第 22 2 n qqq 项相等，从而结论成立 （3）设数列 n b中有三项 * ,(, ,) mnp b b b mnp m n pN成等差数列，则有 1 1 2 n a q 11 11 mp a qa q ，设 * ,( ,
22、)nmx pny x yN，故 1 2 y x q q ，令1,2xy，则 3 210qq ， 2 (1)(1)0qqq，因1q ，故 2 10qq ，故 51 2 q (舍去负值)， 第 8 页 共 9 页 即存在 51 2 q 使得 n b中有三项 * 13 ,() mmm bbbmN 成等差数列. 21已知, , ,a b c d是不全为0的实数，函数 2 ( )f xbxcxd， 32 ( )g xaxbxcxd，方 程( )0f x 有实根，且( )0f x 的实数根都是 ( )0g f x的根；反之， ( )0g f x的实数根都 是( )0f x 的根。 求d的值； 若0a，求c
23、的取值范围； 若1,(1)0af，求c的取值范围 本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法 分析问题及推理论证的能力分析问题及推理论证的能力 解: 设 0 x是( )0f x 的根，那么 0 ()0f x，则 0 x是 ( )0g f x的根，则 0 ()0g f x即 (0)0g，故0d . 因0a，故 2 ( )f xbxcx， 2 ( )g xbxcx，则 ( )( )( )g f xf x bf xc 222 ()()0bxcx b xbcxc的根也是( )(
24、)0f xx bxc的根. (a)若0b，则0c ，此时( )0f x 的根为0，而 ( )0g f x的根也是0，故0c ， (b)若0b，当0c 时，( )0f x 的根为0，而 ( )0g f x的根也是0，当0c 时，( )0f x 的根为0和 b c ，而( )0bf xc的根不可能为0和 b c ，故( )0bf xc必无实数根，故 22 ()40bcb c ， 故 2 40cc， 故04c， 从而04c， 故当0b时，0c ； 当0b 时，04c. 1,(1)0af，故0bc ，即( )0f x 的根为0和1，故 222 ()(cxcxccx )0cxc必无实数根 (a) 当0c
25、 时， 22 1 () 244 cc tcxcxc x ， 即函数 2 ( )h ttctc在 4 c t ，( )0h t 恒成立，又 2 22 ( )() 24 cc h ttctctc ，故 min ( )( )0 4 c h th，即 22 0 164 cc c，故 16 0 3 c； 第 9 页 共 9 页 (b) 当0c时， 22 1 () 244 cc tcxcxc x ， 即函数 2 ( )h ttctc在 4 c t ，( )0h t 恒成立，又 2 22 ( )() 24 cc h ttctctc ，故 min ( )( )0 2 c h th， 2 0 4 c c，而0c， 故 2 0 4 c c，故c不可能小于0； (c)0c 则0b，这时( )0f x 的根为一切实数，而 ( )0g f x，故0c 符合要求.故 16 0 3 c综上所述，所求c的取值范围为 16 0,) 3
