1、第第 1 1 页页 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项恰有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 （1）已知Ra，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则 a （A）0 （B）1 （C）1 （D）1 （2）圆1)3() 1( 22 yx的切线方程中有一个是 （A）xy0 （B）xy0 （C）x0 （D）y0 （3）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据的
2、平均 数为 10，方差为 2，则xy的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）为了得到函数Rx x y), 63 sin(2 的图像，只需把函数Rxxy,sin2的图像上所有的点 （A）向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） （B）向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） （C）向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） （D）向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） （5） 10 ) 3 1 ( x x 的展开式中
3、含 x 的正整数指数幂的项数是 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 （6） 已知两点 M （2， 0） 、 N （2， 0） ， 点 P 为坐标平面内的动点， 满足| |MNMPMN NP 0，则动点 P（x，y）的轨迹方程为 （A）xy8 2 （B）xy8 2 （C）xy4 2 （D）xy4 2 （7）若 A、B、C 为三个集合，CBBA，则一定有 （A）CA （B）AC （C）CA （D）A （8）设 a、b、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立 的是 （A）|cbcaba （B） a a a a 11 2 2 （C）2 1 | ba ba （D）aaaa213 （9）两相同的正
4、四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长 为 1 的正方体内， 使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的 某一个平面平行，且各顶点 均在正方体的面上，则这样 的几何体体积的可能值有 A B C D 第第 2 2 页页 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）无穷多个 （10） 右图中有一个信号源和五个接收器。 接收器与信号源在 同一个串联线路中时， 就能接收到信号， 否则就不能接 收到信号。 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成 三组， 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组， 再 把所有六组中每组的两个接线点用导线连接， 则这五个 接收器能同时接收到信号的概率是 （A） 45 4
5、（B） 36 1 （C） 15 4 （D） 15 8 二、填空题二、填空题 （11）在ABC 中，已知 BC12，A60，B45，则 AC （12）设变量 x、y 满足约束条件 1 1 22 yx yx yx ，则yxz32 的最大值为 （13）今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 种 不同的方法（用数字作答） 。 （14）40cos270tan10sin310cos20cot （15）对正整数 n，设曲线)1 (xxy n 在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 n a，则数列 1 n an 的前 n 项和的公式是 （16）不等式3)6 1
6、 (log2 x x的解集为 三、解答题三、解答题 （17）已知三点 P（5，2） 、 1 F（6，0） 、 2 F（6，0）. （）求以 1 F、 2 F为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； （）设点 P、 1 F、 2 F关于直线 yx 的对称点分别为 P 、 1 F、 2 F，求以 1 F、 2 F为焦点且 过点 P 的双曲线的标准方程。 （18） （本小题满分 14 分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六 棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右 O1 O 信号源 图 1 第第 3 3 页页 图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1 o的距离为多少时
7、，帐篷的体积最大？ （19） （本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 5 分，第三小问满分 5 分） 在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EBCF:FACP:PB 1:2（如图 1） 。将AEF 沿 EF 折起到EFA1的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角， 连结 A1B、A1P（如图 2） （）求证：A1E平面 BEP； （）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小； （）求二面角 BA1PF 的大小（用反三角函数表示） （20） （本小题满分 16 分，第一小问 4 分，第二小问满分 6 分，第三小问满分 6 分
8、） 设 a 为实数，设函数xxxaxf111)( 2 的最大值为 g(a)。 （）设 txx11，求 t 的取值范围，并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) （）求 g(a) （）试求满足) 1 ()( a gag的所有实数 a （21） （本小题满分 14 分） 设数列 n a、 n b、 n c满足： 2 nnn aab， 21 32 nnnn aaac（n=1,2,3,） ， 证明 n a为等差数列的充分必要条件是 n c为等差数列且 1 nn bb（n=1,2,3,） 1【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数 sinx 的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题 A P F E C
9、B A1 E F CP B 图 1 图 2 第第 4 4 页页 【正确解答】解法 1 由题意可知，( )()f xfx 得 a=0 解法 2：函数的定义域为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以得 a=0, 解法 3 由 f(x)是奇函数图象法函数画出 Rxaxxf,sin的图象选 A 【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条 件是函数的定义域必须关于原点对称. 若函数 f(x)为奇函数()( )( )fxf xyf x 的图象关于原点对称. 若函数 f(x)为偶函数()( )( )fxf xyf x的图象关于 y 轴
10、对称. 2【思路点拨】本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于 半径. 【正确解答】直线 ax+by=0 22 (1)(3)1xy与相切，则 |3| 1 2 ab ，由排除法， 选 C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事。 【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条 件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解. 3【思路点拨】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10) 2+(y-10
11、)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直 接求出 x、y，只要求出yx，设 x=10+t, y=10-t, 24xyt，选 D 【解后反思】 4【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。 【正确解答】先将Rxxy,sin2的图象向左平移 6 个单位长度， 得到函数2sin(), 6 yxxR 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐 标不变）得到函数Rx x y), 63 sin(2 的图像 【解后反思】由函数sin ,yx xR的图象经过变换得到函数sin(),yAxxR （1） y=Asinx，xR(A0 且 A1)的图象可以
12、看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩 短(01) 或伸长(00),其半焦距 c=6 2222 12 2112126 5aPFPF3 5a ,b 2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 22 1 459 xy （2）点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P ，(2，5)、F 1 ，(0，-6)、F 2 ，(0，6). 设所求双曲线的标准方程为 22 11 22 11 1(0,0) xy ab ab 由题意知，半焦距 c1=6 2222 112 2112124 5aP FP F 1 2 5a ,b1 2=c 1 2-a 1 2=3
13、6-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 22 1 2016 xy 18.本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际 问题的能力。 解：设 OO1为 x m, 则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 222 3(1)82xxx 于是底面正六边形的面积为（单位：m 2） 22222 33 3 3(1)6( 82)(82) 42 xxxxx 帐篷的体积为（单位：m 3）23 3 313 ( )(82)(1) 1(16 12) 232 V xxxxxx 求导数，得 2 3 ( )(123) 2 V xx 令( )0Vx解得 x=-2(不合题意，舍去),
14、x=2. 当 10 得 a=1. 综上知，满足 1 ( )( )g ag a 的所有实数 a 为 2 2, 2 a 或 a=1 21 本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题 的能力。 证明：必要性必要性，设是an公差为 d1的等差数列，则 bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0 所以 bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立。 又 cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3
15、,) 所以数列cn为等差数列。 充分性充分性： 设数列cn是公差为 d2的等差数列，且 bnbn+1 ( n=1,2,3,) cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得 cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+1
16、0 , bn+3bn+20, 第第 1212 页页 由得 bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)， 由此不妨设 bn=d3 ( n=1,2,3,)则 anan+2= d3(常数). 由此 cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3 从而 cn+1=4an+1+2an+25d3 ， 两式相减得 cn+1cn=2( an+1an) 2d3 因此 11323 11 () 22 nncc aaccddd (常数) ( n=1,2,3,) 所以数列an公差等差数列。 【解后反思】理解公差 d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重 要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.
