1、 12.5 12.5 直接证明与间接证明直接证明与间接证明要点梳理要点梳理1.1.直接证明直接证明 (1)(1)综合法综合法 定义定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的定理等，经过一系列的 ，最后推导出，最后推导出 所要证明的结论所要证明的结论 ,这种证明方法叫综合法这种证明方法叫综合法.框图表示：框图表示：(其中其中P P表示已知条件、已有的定义、公理、定表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等，理等，Q Q表示要证的结论）表示要证的结论）.推理论证推理论证成立成立基础知识基础知识 自主学习自主学习 (2)(2)分析法分析法 定义：从定
2、义：从 出发，逐步寻求使它成出发，逐步寻求使它成 立的立的 ，直至最后，把要证明的结论归结，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法这种证明方法叫做分析法.框图表示：框图表示：2.2.间接证明间接证明 反证法：假设原命题反证法：假设原命题 ，经过正确的推理，经过正确的推理,最后得出最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫反证法了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.要证明的结论要证明的结论充分条件充分条件得
3、到一个明显成立的条件得到一个明显成立的条件.不成立不成立矛盾矛盾基础自测基础自测1.1.分析法是从要证的结论出发分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立寻求使它成立 的的()()A.A.充分条件充分条件 B.B.必要条件必要条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 解析解析 由分析法的特点可知由分析法的特点可知.A2.2.否定否定“自然数自然数a a，b b，c c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正时，正 确的反设为确的反设为()()A.A.a a，b b，c c都是奇数都是奇数 B.B.a a，b b，c c都是偶数都是偶数 C.C.a a，b b，c
4、 c中至少有两个偶数中至少有两个偶数 D.D.a a，b b，c c中至少有两个偶数或都是奇数中至少有两个偶数或都是奇数 解析解析 a a,b b,c c恰有一个偶数，即恰有一个偶数，即a a，b b，c c中只有中只有 一个偶数一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没其反面是有两个或两个以上偶数或没 有一个偶数即全都是奇数，故只有有一个偶数即全都是奇数，故只有D D正确正确.D3.3.若若a a b b000，则，则 的的 值值 ()()A.A.一定是正数一定是正数 B.B.一定是负数一定是负数 C.C.可能是可能是0 D.0 D.正、负不能确定正、负不能确定 解析解析 （a a+b b+
5、c c）2 2=a a2 2+b b2 2+c c2 2+2(+2(abab+bcbc+acac)=0)=0 且且a a2 2+b b2 2+c c2 20(0(由由abcabc00知知a a,b b,c c均不为零均不为零)，abab+bcbc+acac0,B B,只需只需C C 0,0,证明：证明：本题因为有三项分式，不主张用分本题因为有三项分式，不主张用分 析法析法.综合法证明不等式，要特别注意基本不等综合法证明不等式，要特别注意基本不等 式的运用和对题设条件的运用式的运用和对题设条件的运用.这里可从去分母这里可从去分母 的角度去运用基本不等式的角度去运用基本不等式.证明证明 a a,b
6、 b,c c00，根据基本不等式，根据基本不等式，.222cbaaccbba.).(2:.2,2,2222222222cbaaccbbacbacbaaccbbacaacbccbabba即三式相加有题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 综合法往往以分析法为基础，是分析综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程法的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.知能迁移知能迁移1 1 已知已知x x+y y+z z=1=1，求证：，求证：证明证明 x x2 2+y y2 222xyxy，x
7、x2 2+z z2 222xzxz，y y2 2+z z2 222yzyz，2 2x x2 2+2+2y y2 2+2+2z z2 222xyxy+2+2xzxz+2+2yzyz.3 3x x2 2+3+3y y2 2+3+3z z2 2x x2 2+y y2 2+z z2 2+2+2xyxy+2+2xzxz+2+2yzyz.3 3（x x2 2+y y2 2+z z2 2）（x x+y y+z z）2 2=1.=1.31222zyx.31222zyx题型二题型二 分析法分析法 （1212分）已知函数分）已知函数f f(x x)=tan)=tan x x,本题若使用综合法进行推演，三角本题若使
8、用综合法进行推演，三角 函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法.证明证明),2,0(x,),2,0(,2121xxxx且若).2()()(21:2121xxfxfxf求证),2()()(212121xxfxfxf要证,2tan)tan(tan212121xxxx即证明,2tan)cossincossin(21212211xxxxxx只需证明2 2分分cos cos x x1 1cos cos x x2 20,sin(0,sin(x x1 1+x x2 2)0,)0,1+cos(1+cos(x x1 1+x x2 2)0,6)0,6分分故只需证明故只需证
9、明1+cos(1+cos(x x1 1+x x2 2)2cos)2cos x x1 1cos cos x x2 2,8,8分分即证即证1+cos 1+cos x x1 1cos cos x x2 2-sin-sin x x1 1sin sin x x2 22cos 2cos x x1 1cos cos x x2 2,即证：即证：cos(cos(x x1 1-x x2 2)1.10)0,0,求证求证:证明证明 .212122aaaa,212122aaaa要证4141,)21()21(,0.21212222222222aaaaaaaaaaaaa即故只要证只要证.,21),12(2)1(4),1(2
10、12,2)1(22122222222222故原不等式成立而上述不等式显然成立即只要证从而只要证aaaaaaaaaaaaaa题型三题型三 反证法反证法 若若x x,y y都是正实数，且都是正实数，且x x+y y2,2,求证：求证：中至少有一个成立中至少有一个成立.本题结论以本题结论以“至少至少”形式出现，从正面形式出现，从正面 思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以 证明证明.证明证明2121xyyx与,2121都不成立和假设xyyx,2121同时成立和则有xyyx因为因为x x00且且y y0,0,所以所以1+1+x x22y y，且，且1+1+
11、y y22x x，两式相加，得两式相加，得2+2+x x+y y22x x+2+2y y，所以所以x x+y y22，这与已知条件，这与已知条件x x+y y22相矛盾，相矛盾，(1)(1)当一个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”、“至少至少”、“惟一惟一”或以否定形式出现时，宜用或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与已知条件矛盾，与与假设矛盾，假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些实矛盾等方面
12、，反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2 2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误现循环论证的错误.2121中至少有一个成立与因此xyyx知能迁移知能迁移3 3 已知已知a a、b b、c c(0,1),(0,1),求证求证:(1-(1-a a)b b,(1-,(1-b b)c c,(1-,(1-c c)a a不能同时大于不能同时大于 .“不能同时大于不能同时大于 ”
13、包含多种情形，包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明不易直接证明，可用反证法证明.证明证明 方法一方法一 假设三式同时大于假设三式同时大于 ，a a、b b、c c(0,1),(0,1),三式同向相乘得三式同向相乘得(1-(1-a a)b b(1-(1-b b)c c(1-(1-c c)a a .414141,41)1(,41)1(,41)1(accbba即641,412)1()1(2aaaa又.,641)1()1()1(,41)1(,41)1(故原命题正确这与假设矛盾同理ccbbaaccbb方法二方法二 假设三式同时大于假设三式同时大于,4100a a1,1-0,0,.,2323,212
14、)1(,212)1(,2141)1(2)1(原命题正确故假设错误这是矛盾的三式相加得同理accbbaba题型四题型四 分析法与综合法的综合应用分析法与综合法的综合应用 若若a a、b b、c c是不全相等的正数，是不全相等的正数，求证求证:用分析法得到用分析法得到 再用综合法证明再用综合法证明.证明证明 方法一方法一.lglglg2lg2lg2lgcbaaccbba,222abcaccbbaaaccbbalg2lg2lg2lg要证,lglg成立cb.)lg()222lg(成立即证abcaccbba,222成立只需证abcaccbba成立0222,02,02,02abcaccbbacaacbcc
15、babba（*）又又a a、b b、c c是不全相等的正数，是不全相等的正数，（*）式等号不成立，）式等号不成立，原不等式成立原不等式成立.方法二方法二 a a、b b、c cR R+，.02,02,02caacbccbabba又又a a、b b、c c是不全相等的正数，是不全相等的正数，.222abcaccbba 分析法和综合法是对立统一的两种分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程析、思考过程，综合法是分析法的逆过程.lglglg2lg2lg2lg).lg()222lg(cbaaccb
16、baabcaccbba即知能迁移知能迁移4 4 设设a a，b b均为正数，且均为正数，且a ab b,求证求证:a a3 3+b b3 3 a a2 2b b+abab2 2.证明证明 方法一方法一 （分析法）（分析法）要证要证a a3 3+b b3 3 a a2 2b b+abab2 2成立，成立，只需证只需证(a a+b b)()(a a2 2-abab+b b2 2)abab(a a+b b)成立成立.又因为又因为a a+b b0,0,只需证只需证a a2 2-abab+b b2 2 abab成立成立.又需证又需证a a2 2-2-2abab+b b2 200成立，成立，即需证（即需证
17、（a a-b b）2 200成立成立.而依题设而依题设a ab b,则则(a a-b b)2 200显然成立，由此命题显然成立，由此命题 得证得证.方法二方法二 （综合法）（综合法）a ab ba a-b b00(a a-b b)2 200a a2 2-2-2abab+b b2 200a a2 2-abab+b b2 2 abab.(*)而而a a,b b均为正数，均为正数，a a+b b00，由（由（*）式即得）式即得(a a+b b)()(a a2 2-abab+b b2 2)abab(a a+b b),),a a3 3+b b3 3 a a2 2b b+abab2 2.思想方法思想方法
18、感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧1.1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知.3.3.分析法和综合法各有优缺点分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较分析法思考起来比较 自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思 路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较 简捷地解决问题，但不便于思考简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常实际证题时常常 两法兼用，先用分析法
19、探索证明途径，然后再用两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用 综合法叙述出来综合法叙述出来.4.4.应用反证法证明数学命题应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤一般分下面几个步骤:第一步：分清命题第一步：分清命题“p pq q”的条件和结论；的条件和结论；第二步：作出与命题结论第二步：作出与命题结论q q相矛盾的假定相矛盾的假定 q q；第三步：由第三步：由p p和和 q q出发，应用正确的推理方法出发，应用正确的推理方法,推出矛盾结果；推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所 作的假定作的假定 q q不真，于是原结论不真，于是
20、原结论q q成立，从而间接成立，从而间接 地证明了命题地证明了命题p pq q为真为真.第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果 与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定 理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以 及自相矛盾等各种情况及自相矛盾等各种情况.失误与防范失误与防范1.1.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误,并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理 而推出矛盾结果，其推理过程是错误
21、的而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.2.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用规范性，常常用“要证（欲证）要证（欲证）”“即要即要 证证”“就要证就要证”等分析到一个明显成立的结等分析到一个明显成立的结 论论P P，再说明所要证明的数学问题成立，再说明所要证明的数学问题成立.一、选择题一、选择题1.1.已知抛物线已知抛物线y y2 2=2=2pxpx(p p0)0)的焦点为的焦点为F F,点点P P1 1(x x1 1,y y1 1)、P P2 2（x x2 2，y y2 2）、）、P P3 3(x x3 3，y y3 3)在抛物
22、线上，且在抛物线上，且 2 2x x2 2=x x1 1+x x3 3，则有，则有 ()()A.|A.|FPFP1 1|+|+|FPFP2 2|=|=|FPFP3 3|B.|B.|FPFP1 1|2 2+|+|FPFP2 2|2 2=|=|FPFP3 3|2 2 C.2|C.2|FPFP2 2|=|=|FPFP1 1|+|+|FPFP3 3|D.|D.|FPFP2 2|2 2=|=|FPFP1 1|FPFP3 3|解析解析 如图所示，如图所示，y y2 2=2=2pxpx的准线为的准线为 P P1 1A Al l，P P2 2B Bl l，P P3 3C Cl l.,2px定时检测定时检测由抛
23、物线定义知：由抛物线定义知：P P1 1F F=P P1 1A A=P P2 2F F=P P2 2B B=P P3 3F F=P P3 3C C=2|2|FPFP2 2|=|=又又22x x2 2=x x1 1+x x3 3，2|2|FPFP2 2|=|=|FPFP1 1|+|+|FPFP3 3|.|.答案答案 C C21px 22px 23px pxpx222)2(2.)2()2(|313131pxxpxpxFPFP2.2.用反证法证明用反证法证明“如果如果a a b b,那么那么 ”假设内容假设内容 应是应是 ()()A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析33ba 33ba 33ba
24、3333baba且3333baba或,3333baba的否定是因为.3333baba或即D3.3.a a，b b，c c为互不相等的正数，且为互不相等的正数，且a a2 2+c c2 2=2=2bcbc，则下列，则下列 关系中可能成立的是关系中可能成立的是 ()()A.A.a a b b c c B.B.b b c c a a C.C.b b a a c c D.D.a a c c b b 解析解析 由由a a2 2+c c2 222acac2 2bcbc22acacb b a a,可排除可排除A A、D,D,令令a a=2,=2,可得可得c c=1=1或或4 4，可知，可知C C可能成立可能
25、成立.,25bC4.4.设设x x、y y、z zR R+，则则a a、b b、c c三数三数 ()()A.A.至少有一个不大于至少有一个不大于2 B.2 B.都小于都小于2 2 C.C.至少有一个不小于至少有一个不小于2 D.2 D.都大于都大于2 2 解析解析 假设假设a a、b b、c c都小于都小于2 2，则，则a a+b b+c c6,b b,则下列不等式中成则下列不等式中成 立的是立的是 ()()A.B.A.B.a a2 2 b b2 2 C.|C.|a a+b b|a a-b b|D.|D.解析解析 a a b b,a a-b b0.0.而而a a可能大于可能大于0 0，也可能小
26、于，也可能小于0 0，因此因此a a(a a-b b)0)0不一定成立，即不一定成立，即A A不一定成立；不一定成立；a a2 2 b b2 2(a a-b b)()(a a+b b)0,)0,1abbaab2211.0)(01baaaababa a-b b00，只有当，只有当a a+b b00时，时，a a2 2 b b2 2成立，故成立，故B B不一定不一定成立；成立；|a a+b b|a a-b b|(a a+b b)2 2(a a-b b)2 2abab0,0,而而abab0 b b,上式一定成立，因此只有上式一定成立，因此只有D D正确正确.答案答案 D D.0)(011222222
27、bababababaab由于6.6.设设a a，b b是两个实数，给出下列条件：是两个实数，给出下列条件：(1)(1)a a+b b1;(2)1;(2)a a+b b=2;(3)=2;(3)a a+b b2;2;(4)(4)a a2 2+b b2 22;(5)2;(5)abab1.1.其中能推出：其中能推出：“a a,b b中至少有一个大于中至少有一个大于1”1”的条的条 件是件是()()A.(2)(3)B.(1)(2)(3)A.(2)(3)B.(1)(2)(3)C.(3)D.(3)(4)(5)C.(3)D.(3)(4)(5)解析解析 但但a a1,1,b b1,2,2,故（故（4 4）推不出
28、；）推不出；若若a a=-2,=-2,b b=-3,=-3,则则abab1,1,故（故（5 5）推不出；）推不出；对于（对于（3 3），即），即a a+b b2,2,则则a a,b b中至少有一个大于中至少有一个大于1 1，反证法：假设反证法：假设a a11且且b b1,1,则则a a+b b22与与a a+b b22矛盾，矛盾，因此假设不成立，故因此假设不成立，故a a,b b中至少有一个大于中至少有一个大于1.1.答案答案 C C二、填空题二、填空题7.7.某同学准备用反证法证明如下一个问题某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数函数f f（x x）在在0,10,1上有意义，且上有意义，且
29、f f（0 0）=f f（1 1），如果对于），如果对于 不同的不同的x x1 1，x x2 20 0，1 1，都有，都有|f f（x x1 1）-f f（x x2 2）|x x1 1-x x2 2|,|,求证：求证：|f f（x x1 1）-f f（x x2 2）|.|.那么它的那么它的 反设应该是反设应该是 .21“x x1 1，x x2 20,10,1,使得使得|f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)|)|00时，不等式成立；时，不等式成立；当当x x00时，时，8 8x x3 30,0,而（而（x x+1+1）(x x2 2+1)(+1)(x x3 3+1)=(+1)=(x
30、 x+1)+1)2 2(x x2 2+1)(+1)(x x2 2-x x+1)+1)此时不等式仍然成立此时不等式仍然成立.,043)21()1()1(222xxx11.11.已知等比数列已知等比数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若a am m,a am m+2+2,a am m+1+1(m mN N*)成等差数列成等差数列,试判断试判断S Sm m,S Sm m+2+2,S Sm m+1+1是否是否 成等差数列，并证明你的结论成等差数列，并证明你的结论.解解 设等比数列设等比数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1,公比为公比为 q q(a a1 10,0
31、,q q0),0),若若a am m,a am m+2+2,a am m+1+1成等差数列，成等差数列，则则2 2a am m+2+2=a am m+a am m+1+1.2 2a a1 1q qm m+1+1=a a1 1q qm m-1-1+a a1 1q qm m.a a1 10,0,q q0,20,2q q2 2-q q-1=0.-1=0.解得解得q q=1=1或或.21q当当q q=1=1时，时，S Sm m=mama1 1,S Sm m+1+1=(=(m m+1)+1)a a1 1,S Sm m+2+2=(=(m m+2)+2)a a1 1,2,2S Sm m+2+2S Sm m+
32、S Sm m+1+1.当当q q=1=1时，时，S Sm m,S Sm m+2+2,S Sm m+1+1不成等差数列不成等差数列.当当 时，时，S Sm m，S Sm m+2+2,S Sm m+1+1成等差数列成等差数列.下面给出证明：下面给出证明：方法一方法一 （S Sm m+S Sm m+1+1）-2-2S Sm m+2+2=(=(S Sm m+S Sm m+a am m+1+1)-2()-2(S Sm m+a am m+1+1+a am m+2+2)=-=-a am m+1+1-2-2a am m+2+2=-=-a am m+1+1-2-2a am m+1+1q q21q,0)21(21
33、1mmaa22S Sm m+2+2=S Sm m+S Sm m+1+1.当当 时，时，S Sm m,S Sm m+2+2,S Sm m+1+1成等差数列成等差数列.方法二方法二21q211)21(1211)21(1,)21(134211)21(122111121212mmmmmmmaaSSaaS又.,21.2,)21(134)21(2)21(4232)21()21(23212122122111成等差数列时当mmmmmmmmmmmSSSqSSSaaa12.12.已知已知a a,b b,c c是互不相等的实数是互不相等的实数.求证：由求证：由y y=axax2 2+2+2bxbx+c c,y y=
34、bxbx2 2+2+2cxcx+a a和和y y=cxcx2 2+2+2axax+b b 确定的三条抛物线至少有一条与确定的三条抛物线至少有一条与x x轴有两个不同的轴有两个不同的 交点交点.证明证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不假设题设中的函数确定的三条抛物线都不 与与x x轴有两个不同的交点（即任何一条抛物线与轴有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x x 轴没有两个不同的交点），轴没有两个不同的交点），由由y y=axax2 2+2+2bxbx+c c,y y=bxbx2 2+2+2cxcx+a a,y y=cxcx2 2+2+2axax+b b,得得1 1=(2=(2b b)2
35、2-4-4acac0,0,2 2=(2=(2c c)2 2-4-4abab0,0,3 3=(2=(2a a)2 2-4-4bcbc0.0.上述三个同向不等式相加得，上述三个同向不等式相加得，4 4b b2 2+4+4c c2 2+4+4a a2 2-4-4acac-4-4abab-4-4bcbc0,0,22a a2 2+2+2b b2 2+2+2c c2 2-2-2abab-2-2bcbc-2-2caca0,0,(a a-b b)2 2+(+(b b-c c)2 2+(+(c c-a a)2 20,0,a a=b b=c c,这与题设这与题设a a,b b,c c互不相等矛盾，互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证因此假设不成立，从而命题得证.返回返回
