1、第二节第二节 相似矩阵与对角化条件相似矩阵与对角化条件一、相似矩阵的概念与性质一、相似矩阵的概念与性质二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件 问题：对角矩阵是矩阵中形式最简单、运算最方便的一类矩阵。那么，对于任意方阵是否可化为对角矩阵，且保持方阵的一些原有性质不变，这在理论和应用上都具有重要的意义，本节将讨论这个问题。2 相似矩阵与矩阵对角化条件一、相似矩阵的概念与性质引例引例 污染与工业发展水平关系的定量分析污染与工业发展水平关系的定量分析.设设0 x是某地区的污染水平是某地区的污染水平，0y是目前的工业发是目前的工业发展展水平水平.以以 5 5 年为一个发展周期，一个周期后的污年为一
2、个发展周期，一个周期后的污染水平染水平1x和工业发展水平和工业发展水平1y之间的关系是之间的关系是 1003xxy，10022yxy 若记若记kx和和ky为第为第k个发展周期后的污染水平个发展周期后的污染水平和工业发展水平，则增长模型为和工业发展水平，则增长模型为 113kkkxxy，1122kkkyxy （1,2,k）写成矩阵形式，就是写成矩阵形式，就是 113122kkkkxxyy或或1,kk A,kkkxy 3122A 如果当前的水平为如果当前的水平为0，利用此递推关系得，利用此递推关系得 003122nkkxxyy 或或 0nk A 因此，求因此，求nA就是解决问题的关键就是解决问题的
3、关键.问题问题：寻找一种确定：寻找一种确定nA的简单方法？的简单方法？哪么什哪么什么样的矩阵其么样的矩阵其 n 次次幂幂最容易计算呢？最容易计算呢？答案答案：对角方阵的对角方阵的 n 次幂次幂最容易计算。最容易计算。方法方法：如果有可逆矩阵如果有可逆矩阵P，使得，使得1PAPD，也即也即1APDP，并且，并且nD容易计算，那么容易计算，那么 11111()()()()APDPPDPPDPPDPPD Pnnn 于是于是nA就容易计算了就容易计算了.为了寻找简单的矩阵为了寻找简单的矩阵D（nD容易计算），就需容易计算），就需要研究形如要研究形如1PAP这样的矩阵，为此引入相似矩阵这样的矩阵，为此引
4、入相似矩阵的概念的概念.定义定义 1 1 设设,A B都是都是n阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在n阶可阶可逆矩阵逆矩阵P，使，使1PAPB，则称矩阵则称矩阵A与与B相似，记相似，记为为AB.例例 设设3113A，1112P，1 111Q，则，则QP,均可逆均可逆.由由 1PAP11131114312131202 111 1311 14011131102 Q AQ可知可知 4340,0202AA由此可以看出，与矩阵由此可以看出，与矩阵A相似的矩阵不是唯一的，相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵也未必是对角矩阵.相似矩阵的基本性质：相似矩阵的基本性质：设设,A B C都是都是n阶方阵，则阶方阵，
5、则 (1)(1)反身性：反身性：AA;(2)(2)对称性：若对称性：若AB，则，则BA；(3)(3)传递性：若传递性：若AB，BC，则，则AC；相似的两个矩阵之间，还存在着许多共同的性质相似的两个矩阵之间，还存在着许多共同的性质.定理定理 1 1 若矩阵若矩阵A与与B相似，则相似，则 (1)(1)A与与B有相同的特征多项式和特征值；有相同的特征多项式和特征值；(2)(2)A与与B的行列式相等，即的行列式相等，即AB；(3)(3)A与与B的秩相等，即的秩相等，即()()ABRR；(4)(4)矩阵矩阵mA与与mB相似，其中相似，其中m为正整数为正整数.证证 (1)(1)由相似定义可知，存在可逆矩阵
6、由相似定义可知，存在可逆矩阵P，使，使得得1PAPB，于是，于是 111()BEPAPP PPAE P 1PAE PAE 即即A与与B的特征多项式相同，故的特征多项式相同，故有相同的特征值有相同的特征值.定理定理 1 1 若矩阵若矩阵A与与B相似，则相似，则 (1)(1)A与与B有相同的特征多项式和特征值；有相同的特征多项式和特征值；(2)(2)A与与B的行列式相等，即的行列式相等，即AB；(3)(3)A与与B的秩相等，即的秩相等，即()()ABRR；(4)(4)矩阵矩阵mA与与mB相似，其中相似，其中m为正整数为正整数.(2)(2)由由1BPAP，有，有11BPAPPA PA，即即A与与B的
7、行列式相等的行列式相等.(3)(3)由相似定义可知，由相似定义可知，A与与B等价，从而等价，从而A与与B的秩相等，即的秩相等，即()()ABRR.(4)(4)由由1BPAP，有，有 11111()()()()mmmBPAPPAPPAPPAPPA PL 所以，所以，矩阵矩阵mA与与mB相似，其中相似，其中m为正整数为正整数.二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件定义定义 2 2 对对n阶方阵阶方阵A，如果存在，如果存在n阶对角阵阶对角阵，使，使A，则称，则称A可对角化可对角化.定理定理 2 2 n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必相似于对角矩阵的充分必要条件是要条件是A有有n个线性无关的
8、特征向量个线性无关的特征向量.推论推论 如果如果n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相同的特征个互不相同的特征值，则矩阵值，则矩阵A可相似对角化可相似对角化.说明说明：定理：定理 2 2 及推论给出了判别及推论给出了判别矩阵矩阵A是否是否可可相似对角化相似对角化的条件的条件.定理定理 2 2 n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必相似于对角矩阵的充分必要条件是要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.*证证 必要性必要性 设设A可对角化，即存在可逆矩阵可对角化，即存在可逆矩阵P和和n阶对角阵阶对角阵12(,)ndiag L，使，使 121nP APO则有则有APP.将将P按列分块为按列
9、分块为12(,)nPL ，则，则APP可写成可写成 121122(,)(,)nnnAAALL由此可得由此可得(1,2,)iiiinAL 由于由于P为可逆矩阵，为可逆矩阵，(1,2,)iin 0 L，所以，所以12,n L分别是分别是A的属于特征值的属于特征值12,nL 的特的特征向量，征向量，由由P可逆知可逆知列向量组列向量组12,n L线性无关线性无关.充分性充分性 设设12,n L为为A的分别属于特征值的分别属于特征值为为12,nL 的的n个线性无关的个线性无关的特征向量，则有特征向量，则有 (1,2,)iiiinAL 取取12(,)nPL ，因为，因为12,n L线性无关，线性无关，所以
10、所以P可逆，于是由上式有可逆，于是由上式有APP，其中其中 12(,)ndiagL，则则1PAP，即，即A与与对角矩对角矩阵阵相似相似.问题问题：当当A的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的个线性无关的特征向量，从而特征向量，从而A不一定能对角不一定能对角化，此时化，此时A能否对角化如何能否对角化如何判别判别？下面定理给出了？下面定理给出了答案。答案。定理定理 3 3 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件可对角化的充分必要条件是是A的的k重特征值有重特征值有k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.说明说明：定理定理 2 2 和定理和定理 3 3 给出了
11、一个矩阵可对角给出了一个矩阵可对角化的充要条件，而且定理化的充要条件，而且定理 2 2 的证明本身还给出了对的证明本身还给出了对角化的具体方法。角化的具体方法。(1)(1)求求A的的特征值特征值 求 出求 出n阶 矩 阵阶 矩 阵A的 所 有 不 同 特 征 值的 所 有 不 同 特 征 值12,m L，它们的重数分别为，它们的重数分别为12,mn nnL 矩阵对角化方法：矩阵对角化方法：(2)(2)求求A的特征向量的特征向量.对每个特征值对每个特征值i（1,2,imL），求出齐次线性），求出齐次线性方 程 组方 程 组()AE xi0的 一 个 基 础 解 系，设 为的 一 个 基 础 解
12、系，设 为12,iiiisL（1,2,imL）(3)(3)判别判别A是否可对角化是否可对角化.若对若对A的的in重特征值重特征值i(1,2,)imL，对应的，对应的有有in()iisn个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，则，则A可对角化，可对角化，否则否则()iisnA不可对角化不可对角化.(4)(4)A可对角化时求可对角化时求可逆矩阵可逆矩阵P和对角矩阵和对角矩阵.P111121(,nL221222,nLL12,)mmmmnL 121122,mmmnnndiag LLLL144 4244 4 3 144244314442444 3 例例 判别矩阵判别矩阵110021003A是否可以对角
13、化，若是否可以对角化，若能对角化，求出相应的矩阵能对角化，求出相应的矩阵P和对角矩阵和对角矩阵.解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 )3)(2)(1(300120011 EA 令令0 AE，得得A的的特征值为特征值为3,2,1321，由于由于A有三个互异的特征值，因此有三个互异的特征值，因此A可以对角化可以对角化.000100010200110010EA得基础解系得基础解系T)0,0,1(1.同样地，同样地，当当22时，解方程组时，解方程组(2)AE x0，得 基础解系得 基础解系T)0,1,1(2.当当33时，解 方程组时，解 方程组(3)AE x 0，得基础解系得基础解系T)2,2,
14、1(3.取取 123111(,)012,002 P123123则有则有 1PAP.当当11时，解时，解方程组方程组()AE x0，由，由 例例 设矩阵设矩阵 3221423A kk问当问当k为何值时为何值时A可可 以对角化，并求出可逆矩阵以对角化，并求出可逆矩阵P和相应的对角阵和相应的对角阵.解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 32110221324122331kkkccEA 2)1)(1(1001022113krr令令0 AE，得得A的的特征值为特征值为1,1321 当当121时，解时，解方程组方程组()AE x0 由由00002/12/112240224kkkkEA要使要使A可以对角
15、化，可以对角化，A应有两个线性无关的特征向应有两个线性无关的特征向量，即基础解系向量个数为量，即基础解系向量个数为 2 2，所以，所以()1AER，由此得由此得0k.解得解得()AE x0的基础解系为的基础解系为 T)0,2,1(1，T)2,0,1(2 即即A的属于的属于121的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为21,.当当13时，解方程组时，解方程组()AE x 0，由，由 000010101424020222EA 得基础解系得基础解系T)1,0,1(3.因此，因此，当当0k时，矩阵时，矩阵A可以对角化，令可以对角化，令 123111(,)200021P ，123111 则有则有1PAP.
