1、2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟此事古难全，但愿千里共婵娟生活中的双曲线生活中的双曲线法拉利
2、主题公园法拉利主题公园巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆麦克唐奈天文馆1.1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程方程.（重点）（重点）2.2.会用待定系数法确定双曲线的方程会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）（难点）探究点探究点1 1 双曲线的定义双曲线的定义问题问题1 1：椭圆的定义？椭圆的定义？1F2F 0,c 0,cXYO yxM,平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距的距离的和等于常数（大于离的和等于常数（大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆.问题问题2 2：如果把椭圆定义中
3、的如果把椭圆定义中的“距离之和距离之和”改为改为“距距离之差离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？，那么点的轨迹是怎样的曲线？即即“平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的差等于非零常的距离的差等于非零常数的点的轨迹数的点的轨迹”是什么？是什么？如图如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|F|=|F2 2F|F|如图如图(B)(B)，|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=2|=2a a，由可得：由可得：|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2|=2a a（非零常数）（非零常数）.上面两条曲线合起来叫做上面两条曲线合起来叫做
4、双曲线双曲线,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支的一支.看图分析动点看图分析动点M M满足的条件：满足的条件：=2a.=2a.即即|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=-2|=-2a.a.图图图图 两个定点两个定点F F1 1，F F2 2双曲线的焦点双曲线的焦点;|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c双曲线的焦距双曲线的焦距.（1 1）2a2c2a0.2a0.双曲线定义双曲线定义|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(02a2c)|=2a(02a2c2a=2c,2a2c？不能不能.若为若为0 0，曲线就是，曲线就是F F1 1F F2 2的垂直平分线了；的垂直
5、平分线了；若若为为2a=2c,2a=2c,曲线应为两条射线；曲线应为两条射线；若为若为2a2c,2a2c,这样的曲线不存在这样的曲线不存在.探究点探究点2 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程1.1.建系建系.如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOyxOy，使，使x x轴经过两焦点轴经过两焦点F F1 1，F F2 2，y y轴为线轴为线段段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线.F2 2F1 1MxOy 设设M(xM(x,y),y)为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点,双曲线的焦距双曲线的焦距为为2c(c0),2c(c0),则则F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(
6、c,0)(c,0)，又设点，又设点M M与与F F1 1，F F2 2的距离的差的绝对值等于常数的距离的差的绝对值等于常数2a.2a.2.2.设点设点.3.3.列式列式由定义可知，双曲线就是集合：由定义可知，双曲线就是集合：P=M P=M|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a,=2a,22222()().xcyxcya 即即4.4.化简化简代数式化简得：代数式化简得：22222222()()yca xaa ca，222(),aca 两两边边同同除除以以得得222221.xyaca 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，2c2a0,2c2a0,即即ca,ca,故故c c2 2-a-a
7、2 20,0,令令c c2 2-a-a2 2=b=b2 2,其中其中b0,b0,代入上式，得：代入上式，得：2222100(,).xyabab 上面方程是双曲线的方程上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲我们把它叫做双曲线的标准方程线的标准方程.它表示焦点在它表示焦点在x x轴上，焦点分别是轴上，焦点分别是F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)的双曲线，这里的双曲线，这里c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.想一想：想一想：焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程应该是轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？什么？我们应该如何求解？222210
8、0,).yxabab（定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a,b,ca,b,c的的关系关系F F（c c，0 0）F F（c c，0 0）a0a0，b0b0，但，但a a不一不一定大于定大于b b，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2ab0ab0，a a2 2=b=b2 2+c+c2 2|MF|MF1 1|MF|MF2 2|=2a,02a|F|=2a,02a|F2a|F1 1F F2 2|椭椭 圆圆双曲线双曲线F F（0 0，c c）F F（0 0，c c）222210()xyabab222210()yxabab2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab【提升总结提升总
9、结】例例 1 1 已已知双曲线两个焦点知双曲线两个焦点1(5,0)F ,2(5,0)F,双曲线双曲线上一上一点点P到到 ，距离差的绝对值等于距离差的绝对值等于 6 6,求求双曲线双曲线的的标准标准方程方程.1F2F解：解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x x轴上，所以设它的标准轴上，所以设它的标准方程为方程为2222100(,).xyabab因为因为2a=6,2c=10,2a=6,2c=10,所以所以a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以2225316.b 因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为221916.xy例例2 2 已知已知A,BA,B两地相距两地相距800 m,80
10、0 m,在在A A地听到炮弹爆炸声比地听到炮弹爆炸声比在在B B地晚地晚2 s,2 s,且声速为且声速为340 340 m/sm/s,求炮弹爆炸点的轨迹方求炮弹爆炸点的轨迹方程程.分析分析:首先根据题意首先根据题意,判断轨迹的形状判断轨迹的形状.由声速及由声速及A A，B B两处听到爆炸声的时间差两处听到爆炸声的时间差,可知可知A A，B B两处与爆炸点的两处与爆炸点的距离的差为定值距离的差为定值.这样，爆炸点在以这样，爆炸点在以A A，B B为焦点的为焦点的双曲线上双曲线上.因为爆炸点离因为爆炸点离A A处比离处比离B B处远，所以爆炸点处远，所以爆炸点应在靠近应在靠近B B处的双曲线的一支
11、上处的双曲线的一支上.解解:如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xOyxOy,使使A A，B B两点在两点在x x轴上，并且坐标原点轴上，并且坐标原点O O与线段与线段ABAB的中点重合的中点重合.xyoPBA设爆炸点设爆炸点P P的坐标为的坐标为(x,yx,y)，则，则3402680PAPB ，即即 2 2a a=680=680，a a=340.=340.AB800，又又所以所以 2c=800,c=400,2c=800,c=400,44 400bca ，2 22 22 2340268000,.PAPBx因因为为所所以以1(0).115 60044 400 xyx2222因此炮弹爆
12、炸点的轨迹（双曲线）的方程为因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【举一反三举一反三】1.1.若在若在A,BA,B两地同时听到炮弹爆炸声两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点则炮弹爆炸点的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:爆炸点的轨迹是线段爆炸点的轨迹是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.2.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确
13、定爆炸点的的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢准确位置呢?解解:再增设一个观测点再增设一个观测点C C，利用，利用B B，C C（或（或A A，C C）两处测）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置位置.这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用.1 1已知两定点已知两定点F F1 1(5,0)5,0)，F F2 2(5,0)(5,0)，动点，动点P P满足满足|PFPF1 1|PFPF2 2|2 2a a，则
14、当，则当a a3 3和和5 5时，时，P P点的轨迹点的轨迹为为()A A双曲线和一直线双曲线和一直线B B双曲线和一条射线双曲线和一条射线C C双曲线的一支和一条射线双曲线的一支和一条射线D D双曲线的一支和一条直线双曲线的一支和一条直线C2.2.若方程若方程(k(k2 2+k-2)x+k-2)x2 2+(k+1)y+(k+1)y2 2=1=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y y轴上的轴上的双曲线，则双曲线，则k k .(-1,1)(-1,1)4m454n11697m16n1解得解得 m116n19 ，1.1.双曲线定义及标准方程；双曲线定义及标准方程；4.4.双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲
15、线与椭圆之间的区别与联系.2.2.双曲线焦点位置的确定方法；双曲线焦点位置的确定方法；3.3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）；求双曲线标准方程的关键（定位，定量）；如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功.小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪
16、，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一
17、个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家，可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时
18、那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师戴尔泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。
19、猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不到！”猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！”再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？”兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！”泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出圣经马太福音中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。圣经马太福音中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有
20、相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？”这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。”16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔盖茨。泰勒牧师讲的故事和比尔盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了28左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
