1、第九章 直线与圆的方程第一节 直线的方程与两条直线的位置关系题型100 倾斜角与斜率的计算2014年（2014辽宁文8）已知点在抛物线：的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）A B C D题型101 直线的方程2014年1.（2014福建文6）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是 （ ）.A. B. C. D. 2015年1.（2015重庆文12）若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为_.1. 解析 ,，所以，所以切线方程为化简得题型102 两直线的位置关系2014年1.（2014四川文9）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）.A. B.
2、C. D.题型103 有关距离的计算及应用2016年3.（2016上海文3），则的距离为 .3. 解析 由题意.题型104 对称问题暂无第二节 圆的方程题型105 用二元二次方程表示圆的充要条件2016年1.（2016浙江文10）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.1.； 解析 由于此方程表示圆的方程，所以，解得或.当时，带入得方程为，即，所以圆心为，半径为；当时，带入得方程为，即，此方程不表示圆的方程.由上所述，圆心为，半径为.题型106 求圆的方程2013年1. （2013江西文14）若圆经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆的方程是 .2014年1. （2014山东文14）圆心在直
3、线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .2015年1.（2015北京文2）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）.A. B. C. D. 1. 解析 由已知得，圆心为，半径为，圆的方程为.故选D.2.（2015江苏文10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 2. 解析 解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为解法二（代数法基本不等式）：由题意 ，当且仅当时，取“”故标准方程为解法三（代数法判别式）：由题意，设，则，因为，所以，解得，即的最大值为3. （2015湖北文16）
4、如图所示，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且.（1）圆的标准方程为 .（2）圆在点处切线在轴上的截距为 .4. 解析 (1)由条件可设圆的标准方程为（为半径）.因为，所以，故圆的标准方程为.(2)在中，令，得.又，所以，所以圆在点处的切线斜率为，即圆在点处的切线方程为.令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为.2016年1.（2016天津文12）已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为_.1. 解析 ，则，得，故圆的方程为.2017年1.（2017天津卷文12）设抛物线的焦点为，准线为.已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点.若，则圆的
5、方程为 .1.解析 如图所示，设坐标原点为，由题意，得，.因为，所以，所以的坐标为， ，所以圆的方程为.题型107 点与圆的位置关系的判断2016年1.（2016四川文15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .1. 解析 对于，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对
6、于，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以正确；对于，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的序号为.题型108 与圆的方程有关的最值或取值范围问题2013年1. (2013重庆文4）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 2. （2013山东文13）过点作圆的弦，其中最短弦的长为 2014年1.（2014北京文7）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）.A. B. C. D.2. （2014新课标2文12）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围
7、是（ ） A. B. C. D.3（2014湖北文17）已知圆和点，若定点和常数满足： 圆上任意一点，都有，则（） ； （） .4.（2014辽宁文20）如图所示，圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为.（1）求点的坐标；（2）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于，两点，若的面积为，求的标准方程.2017年1.（2017北京卷文12）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_1.解析 解法一：利用坐标法求数量积.设点，则，且，当时，的最大值为6.解法二：利用数量积的定义.所以最大值是6.解法三：利用数量积的几何意义.如图所示，点是单位圆上的动点，当，三点共
8、线时，的长度最大，且向量与向量同向，易得.2.（2017江苏卷13）在平面直角坐标系中，点，点在圆上若，则点的横坐标的取值范围是 2. 解析 不妨设，则，且易知因为，故所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.联立，得，如图所示，结合图形知 评注 也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致题型109 与圆的方程有关的轨迹问题2014年1.（2014新课标文20）已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积.2015年1.（2015广东文20）已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求
9、线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由1. 解析 （1）圆的标准方程为，所以圆心坐标为.（2）设线段的中点，由圆的性质可得，斜率存在，设直线的方程为，则.又，所以，所以，即.因为动直线与圆相交，所以，得.所以，即，解得或，又因为，所以.所以满足，即中点的轨迹的方程为.（3）由题意作图，如图所示.由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在轴下方的圆弧.设，则.而当直线与轨迹相切时，解得.在这里暂取，因为，所以.结合图形，可得对于x轴对称
10、下方的圆弧，当或时，直线与轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知或时，直线与轴上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当或时，直线与曲线只有一交点.2016年1.（2016四川文9）已知正的边长为，平面内的动点，满足，则的最大值是（ ）.A. B. C. D. 1.B解析 正三角形的对称中心为，易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则.设，由已知，得.又，所以，所以.因此.它表示圆上的点与点距离平方的，所以.故选.第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系题型110 直线与圆的位置关系2013年1. (2013陕西文8）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）.A. 相切 B.
11、相交 C. 相离 D. 不确定2.（2013湖北文14）已知圆：，直线：（）设圆上到直线的距离等于的点的个数为，则 2014年1. （2014安徽文6）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）. A. B. C. D.2015年1. （2015安徽文8）直线与圆相切，则的值是（ ）.A或 B2或 C或 D2或1. 解析 记直线为，圆的圆心为.由题意可得圆的标准方程为，则.由直线与圆相切，可得，解得或.故选D.2. （2015湖南文13）若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则_.2. 解析 如图直线与圆交于两点，为坐标原点，且，则圆心到直线的距离为，所以.3. （2015山
12、东文13）过点作圆的两条切线，切点分别为则 . 3. 解析 根据题意，作出图形，如图所示.由平面几何知识，得.由切线长定理，得.在中，所以.可得.所以.2016年1.（2016北京文5）圆的圆心到直线的距离为（ ）.A. B. C. D. 1. C 解析 圆的圆心坐标是，半径长是.由点到直线的距离公式，可求得圆心到直线即的距离是.故选C.2.（2016全国甲文6）圆的圆心到直线的距离为，则( ).A. B.C. D.2.A 解析 将圆化为标准方程得，则圆心到直线的距离，解得.故选A.题型111 直线与圆的相交关系及应用2013年1. (2013安徽文6）直线被圆截得的弦长为（ ）.A. B.
13、C. D. 2. (2013浙江文13）直线被圆所截得的弦长等于_.3(2013福建文20）如图，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线交于不同的两点（1）若点的纵坐标为，求；（2）若，求圆的半径.4. (2013四川文20）已知圆的方程为，点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围；（2）设是线段上的点，且.请将表示为的函数.2014年1.（2014浙江文5）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是（ ）. A B C D2.（2014江苏9）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 3.（2014重庆文14）已知直线与圆心为的圆相交于两点，
14、且，则实数的值为_.2015年1.（2015全国1文20）文已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，两点.（1）求k的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求.1. 解析 （1）由与圆交于两点，所以直线的斜率必存在.设直线的斜率为，则直线的方程为.由圆的方程，可得圆心为，则，即，解得.（2）设，则，.把直线代入到中，得.由根与系数的关系，得，.则，解得.所以直线的方程为.又圆心到直线的距离，即直线过圆心.所以.2016年1.（2016全国乙文15）设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为 . 1. 解析 由题意直线即为，圆的标准方程为，所以圆心到直线的距离，所以，故，所以.2.（2016全国丙
15、文15）已知直线与圆交于、两点，过、分别作的垂线与轴交于、两点，则_.2. 解析 由已知条件得圆的圆心到直线的距离为，则.因为的斜率，所以直线与轴的夹角，因此.题型112 直线与圆的相切关系及应用2013年1（2013广东文7）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（ ）A B C D2. (2013天津文5）已知过点的直线与圆相切， 且与直线垂直， 则( ).A. B. C. D. 3. （2013江苏17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 2014年1.（
16、2014大纲文16）直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1，3），则与的夹角的正切值等于 .2. 170 m60 m东北OABMC（2014江苏18）如图所示，为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸）， （1）求新桥的长； （2）当多长时，圆形保护区的面积最大？2015年1. （2015四川文10） 设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D.
17、 1. 解析 设直线的方程为，代入抛物线方程得，则.又中点，则，即.代入，可得，即.又由圆心到直线的距离等于半径，可得.由，可得.故选D.题型113 直线与圆的相离关系及应用暂无题型114 圆与圆的位置关系2014年1.（2014湖南文6）若圆与圆外切，则（ ）.A. B. C. D. 2016年1.（2016山东文7）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）.A.内切 B.相交 C.外切 D.相离1. B 解析 由得，所以圆的圆心为，半径为.因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得.圆的圆心为，半径为，所以，因为，所以圆与圆相交. 故选B.第十三章 推理与证明第一节 合情推理
18、与演绎推理题型143 归纳推理2013年1. (2013陕西文13） 观察下列等式：照此规律，第个等式可为 . 2014年1.（2014陕西文14）已知， ， 则的表达式为_.2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；，以此类推，设，则 .2015年1.（2015陕西文16）观察下列等式：据此规律，第个等式可为_.1.解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为，分母是到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.2.（2015江苏23）已知集合，设整除或整除，令表示集合所含元素
19、的个数（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明2. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质带标记的表示为的倍数或约数（其实是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或约数，此题不作研究）这样研究时，可直接得:，当时，可直接得：这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究解析 （1）当时，可取，共个，故（2）当时，证明：当时，枚举可得，符合通式；假设时，成立，即成立，则当时，此时，此时比多出有序数对个，即多出，从而，符合通式；另外，当，同理可证，综上，即，即
20、当时也成立例如时，则，综上所述：2016年1.（2016山东文12）观察下列等式：；照此规律，_.1. 解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.题型144 类比推理暂无题型145 演绎推理隐含在好多题目的证明过程中补充题型 逻辑推理2014年1.（2014新课标文14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 .2017年1.（2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老
21、师询问成语竞赛的成绩老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”根据以上信息，则（ ）.A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.第二节 证明题型146 综合法与分析法证明2015年1.（2015全国II文24）选修4-5：不等式选讲设，均为正数，且.证明：(1)若，则；(2)是的充要条件.1. 分
22、析（1）由，及 ，可证明 ，两边开方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析 （1）因为，由题设，得，因此.（2）(i)若，则，即.因为，所以，由（1）得.(ii)若，则，即.因为，所以，于是，因此.综上，是的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016年1.（2016四川文18（1）在中，角，所对的边分别是，且证明：.1. 解析 根据正弦定理，可设，则，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以2.（2016浙江文16（1）在中，内角，所对的边分别
23、为，.已知.证明：.2.解析 （1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以题型147 反证法证明2014年1. （2014山东文4）用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）.A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根2015年1.（2015湖南理16（3）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.1. 解析 证明： 由，得 .（）由基本不等式及，有，即.() 假设与同时成立，则由及得；同理，从而，与相矛盾. 故与不可能同时成立.2016年1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有和，和，
24、和. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_. 1. 解析 由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲满足；若丙，则乙，甲不满足，故甲.2.（2016上海文22）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列.（1）若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项公式.2. 解析 （1）易知，而，所以，从而与不是无穷互补数列.（2）由题意，因为，所以.数列的前项的和为.（3）设的公差为，则.由，得或.若，则，与“与是无穷互补数列”矛盾，因为此时不是无穷数列；若，则，.综上所述，.
