1、微分方程微分方程 复习课复习课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.线性方程线性方程6.6.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容1 1、基本概念、
2、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 一、主要内容一、主要内容通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程
3、的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题2 2、一阶微分方程及其解法、一阶微分方程及其解法(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(形形如如解法解法 dxxfdyyg)()(2)齐次型方程齐次型方程)(xyfdxdy 形如形如解法解法xyu 令令(分离变量法分离变量法)(变量代换法变量代换法)(3)一阶线性微分方程一阶线性
4、微分方程)()(xQyxPdxdy 形如形如,0)(xQ当当齐次齐次,0)(xQ当当非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）(4)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()(形如形如)1,0(n时时，当当1,0 n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1,0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 利用变量代换利用变量代换法法化为线性微分方程化为线性微分方
5、程,1 nyz 令令.)1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法)()1()(xfyn 型型解法解法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解),()2(yxfy 型型特点特点.y不显含未知函数不显含未知函数解法解法),(xPy 令令,Py 代入原方程代入原方程,得得).(,(xPxfP ),()3(yyfy 型型特点特点.x不不显显含含自自变变量量解法解法),(xPy 令令,dydpPy 代入原方程代入原方程,得得).,(P
6、yfdydpP 2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形形如如也也是是解解则则是是解解若若221121,ycycyyy 是是通通解解则则是是两两无无关关解解若若221121,ycycyyy （2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy 形形如如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解=齐通解齐通解+非齐特解非齐特解2121)()()(yyyxfxfxf 则若的的特特解解分分别别是是则则的的特
7、特解解是是若若)(),(,)()()(21212121xfxfyyxjfxfxfy jyy 3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.0 qyypy特征方程为特征方程为02 qprr 特征根的情况特征根的情况 通解的表达
8、式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(111011104 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)
9、(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.型型)()()1(xPexfmx ,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk()ln2;xAe2()ln2;xBe()ln2;xCe 2()ln2.xDe(一一)、选择题、
10、选择题20()()ln2.2xtf xfdt的解为B1.满足满足0()()yP x yQ x y1122yC yC y2.设函数设函数y1,y2 都是方程都是方程的解，的解，是此是此方程方程通解。则必有通解。则必有 .1212()0;Ay yy y1212()0;By yy y1212()0;Cy yy y1212()0;Dy yy yD()cos;AxBx()sin;CxDx cossin;AxBx()cos()sin.AxBxCxDx3.微分微分方程方程的特解形式的特解形式是是 .(A)(B)(C)(D)D 4 cosyyxxC20()2().xf xf t dtx的解为21();2xAC
11、ex211();22xBex211();22xCex21().2xDCex4.满足满足()()()yP x yQ x yf x321,CCC5.设线性无关的函数设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程都是方程的解，的解，为任意常数，则其通解为为任意常数，则其通解为 .11223();AC yC yy112233();BC yC yC y1122123()(1);C C yC yCCy1122123()(1);D C yC yCCyCxxxeyxeyey3,2,3216.以以为特解的三阶常系数为特解的三阶常系数的齐次线性微分方程是的齐次线性微分方程是 .0;yyyy0;yyyy0;yyyy0.y
12、yyy(A)(B)(C)(D)D00sin(),().xyyefxf x的的解解，则则在在8.若若 y=f(x)是是 (A)x0的某邻域内单调增加；的某邻域内单调增加；(B)x0的某邻域内单调减少；的某邻域内单调减少；(C)x0处取极小值；处取极小值；(D)x0处取极大值处取极大值.C;xaebxc;xaxebxc();xaxex bxc().xaex bxc 7.微分微分方程方程的一个特解的一个特解是是 .(A)(B)(C)(D)B 2 3xyyyex()lim()0;xAp x()lim();xBp x ()();aCp x dx 收收敛敛()();aDp x dx 发发散散0()dyp
13、x ydxlim()0,xy x 9.设函数设函数p(x)在在 a,+）连续非负，）连续非负，如果微分方程如果微分方程则必有则必有 .的每一个解的每一个解y(x)都满足都满足D(二二)、填空填空题题1.微分微分方程方程的通解是的通解是_(4)20yyy2.微分微分方程方程满足满足y(1)=1的一个特解的一个特解是是 _14dyydxx 3.微分微分方程方程的通解是的通解是_sinxdyydxxdx4.微分微分方程方程有两个解有两个解0yaybycyxex和和，_a ，则_b ，_c .5.以以为特解的最低阶常系数齐次线性为特解的最低阶常系数齐次线性12sin,cos,yxyx微分方程微分方程_
14、切于该点的积分曲线切于该点的积分曲线 2(1)20 xdyxydx的通解为12xy 21Cyx答案：答案：311162yxx答案：答案：6.方程方程7.y =x的经过点的经过点M(0,1),且与直线且与直线 8.通解为通解为 y=C1ex+C2e-2x 的最低阶的齐次线性方程的最低阶的齐次线性方程20yyy答案：答案：1012()(),()f xf ux duf x则则 9.已知已知2()f xCx答案：答案：是是例例 1 求微分方程求微分方程23dyxyxydx的通解.23dyxdxyyxdxyydy232111332(lnln)yyxC13,CCe 则通解为则通解为记记 两边积分得两边积分
15、得 解解 分离变量得分离变量得2323.xyCey三、典型例题三、典型例题例例 2 求微分方程求微分方程lndyyxydxxyux，dyduuxdxdx则，则，1(ln)dxduxuu，11,.CxCxueyxe积分得积分得即原方程化为即原方程化为解解 设设的通解的通解.lnlnln(ln1),xCuln1,Cxu222120()x ydxx dy，2120()()uudxx dudxx212()dudxux，112ln,xCu 即即121ln xCxy，这就是方程的通解，这就是方程的通解，1121ln.xxy 代入代入x=1,y=2，得得 C=-1,于是积分曲线是于是积分曲线是两边积分得两边
16、积分得解解 设设u=xy,则则 du=yd x+xd y,于是于是且过点（且过点（1，2）的积分曲线）的积分曲线.例例 3 求满足方程求满足方程例例 4 求求2222dxdyxxyyyxy2221()()yydyxxyydxxx，积分得积分得 解解 原方程化为原方程化为 的通解的通解.,ydyduuuxxdxdx设则于是方程为1311()1222dxduuuux321,(2)uyCxuxuu代入23()(2).yxCy yx例例5 若若y=ex是方程是方程()dyxp x yxdx1()(),xp xx e(1)1xyey这是一个一元线性非齐次方程这是一个一元线性非齐次方程，于是，于是于是有于
17、是有程有程有解解 首先，求出未知函数首先，求出未知函数p(x),把把y=ex 代入原方代入原方求满足求满足 y(ln2)=0 的特解的特解.11 1xxxxeedxdxeeyeedxC.xx exCee12(ln2)0,yCe 由于12.xexxyee 故所求特解为的一个解，的一个解，例例6 若若 10112()(),().f ux duf xf x求求解解 设设 ux=t,则则,dtdux当当 u=0,t=0;当当u=1,t=x.01()()1,2xdtf tf xx0()(),2xxf xf t dtx12()(),fxf xxx 2()dxdxxxf xeedxCx2.Cx例例 7 设设
18、 f(x)在在0，+）上连续，且）上连续，且00lim(),xf xba又又()(),lim().xdybayf xy xy xdxa的一切解 均有解解 方程方程()dyayf xdx的解为的解为证明方程证明方程0(),xaxatyeCf t e dt0()lim()limxataxxxCf t e dty xe()lim.axaxxf x ebaea例例 8 解方程解方程解解21ln0,xxyyx 满足初始条件111,2xxyy 的特解.12lnln1,xxydxCxxx 1(1)23,yC，ln1(3)xydxxx 22ln3ln,2xxxC2(1)12,yC，2233ln2,22xxyx
19、xC31(1)0,2yC223ln12.222xxxyx例例9 解方程解方程 212().xyxy解解 设设,yp 221,dpxdxpx积分得积分得 再积分得原方程的通解为再积分得原方程的通解为.32311CxCxCy则原方程可化为则原方程可化为21(1),pCx21(1),yCx 即22()()1yy(0)0,0)1,(0)0yyy例例 10 求微分方程求微分方程适合条件适合条件的特解的特解.解解 设设,yp 21,pp 则原方程化为则原方程化为解之解之1arcsin.pxC 由于由于积分两次有积分两次有.sin32CxCxy(0)0,(0)1,yy1(0)(0)0,0,pyCsin.yx
20、 2sin;sin.yxxyx或222221()1d yydyd xydx的通解.例例 11 求方程求方程解解 设设,dpypypdy则则原方程可化为原方程可化为,11222pyydydpp221,1dpydypyarctan2arctan112(1),1yyepyCyeC dxdyy或arctan12,(yC xeCyC也包含于此通解中).当当p=0时，时，y=C是方程的解，当是方程的解，当p 0时，有时，有积分得积分得例例 13 求方程求方程76sinyyyx的通解.的通解.解解 不难求出特征根为不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的，对应的齐次方程的 6,xxhyCeDe可以判断出其特
21、解为可以判断出其特解为代入初始条件解得代入初始条件解得57,7474AB通解为通解为*sincos,yAxBx*()cossin,yAxBx*()sincos.yAxBx 5sin7cos7474xxyy65sin7cos.7474xxxxCeDe例例 14 解方程解方程22448sin2.xyyyxex解解 不难求出方程的特征根为不难求出方程的特征根为2，2.方程方程2448yyyx的特解的特解;2*1CBxAxy方程方程244xyyye的特解的特解;22*2xeDxy方程方程442sinyyyx的特解的特解.2sin2cos*3xFxEy原方程的特解原方程的特解*3*2*1*yyyy代入初
22、始条件，并解方程组，求得代入初始条件，并解方程组，求得112,4,3,0.28ABCDEF22*2cos2243;28xx exyxx 2*12().xyeCC xy原方程的通解为 解解 21222()()(),yy u xx u xyyy则把代入原方程，则把代入原方程，20()().uPuPQu由于由于()yx是原方程的解，故是原方程的解，故0,PQ20().uPu例例15 设设y1=(x)是方程是方程0()()yP x yQ x y21(),yy u x的一个解的一个解,若若求出此方程的另一个与求出此方程的另一个与 y1线性线性无关的解无关的解,并写出所给方程的通解并写出所给方程的通解.令
23、令原方程的通解为原方程的通解为).(221dxeCCyPdx2(),duPdxu 12,PdxC eu 122,PdxeuCC 121,0,CC212()Pdxeydxyx（与线性无关），例例 16 设设 y(x)是是 x的连续可微函数的连续可微函数,且满足且满足).(,)()1()(00 xydtttyxdttyxxx求解解 两边对两边对 x 求导求导,得到得到,)()()1()()(00 xxdtttyxxyxdttyxxy整理即整理即,)()()(020 xxdtttyxyxdtty再求导，并整理得到微分方程再求导，并整理得到微分方程,312dxxxydy解之得解之得,lnln31lnC
24、xxy即即13,xCeyx130,0lim()0,.0,0 xxCexxy xyx23(4)()0 xxyex例例 17求方程求方程解解 23111,()yxxyyyyy 代入原方程得代入原方程得 24,xyye解这个微分方程，得其通解为解这个微分方程，得其通解为.41222xxxxeDeCey的通解的通解.例例 18 若可微函数若可微函数f(x)满足方程满足方程31()()1,().()xf tdtf xf xt f tt求 的无积分的表达式解解 由所给方程可知由所给方程可知 f(1)=1,两边对两边对 x 求导求导,得得3()(),()f xfxx f xx记记 y=f(x),则上述方程化
25、为则上述方程化为,13xxydydx这是关于这是关于 n=3 的伯努力方程的伯努力方程.则则,)2(2231Cdyeexydyydy整理即整理即222().()3Cf xxfx2325()2()5(1)1,.333fxfxfCx 例例 19 设函数设函数f(x)满足满足 xf (x)3 xf(x)=6x2求由求由曲线曲线y=f(x),x=1与与x轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕x轴旋转轴旋转一周的旋转体的体积最小一周的旋转体的体积最小.解解 原方程可化为原方程可化为旋转体的体积为旋转体的体积为3()()6,fxf xxx 33()(6)dxdxxxyf xex edxC326.Cxx令
26、令.7,0)(CCV又又,072)(CV所以所以V(C)在此唯一驻点处取最小值，所求函数为在此唯一驻点处取最小值，所求函数为.76)(32xxxf120()()V Cyx dx 1320(6)Cxxdx 236(2).75CC 例例 20 若若f(x)可微可微,00(),f).(),()()(xfxfeyfeyxfyx求解解 令令 y=0,则则.0)0(),()0()(fxffexfx对任何对任何x,y,有有0()()()limhf xhf xfxh0()()()limxhhe f he f xf xh00()(0)1lim()limhxhhf hfeef xhh(0)()xe ff x2()
27、.xef x()()2,xfxf xe解方程解方程得通解得通解,2)(xxCexexf代入条件代入条件 f(0)=0,则则 C=0,所以所以.2)(xxexf例例 21 若若 xxxxxxxeexeyexeyexey23221,解解 由线性方程的理论可知由线性方程的理论可知xxeeyyY2211是对应齐次方程的解，是对应齐次方程的解，xeyyY312也是对应齐次方程的解，也是对应齐次方程的解，所以所以xeYYY2313也是对应齐次方程的解，也是对应齐次方程的解，于是于是xxee,2都是对应的齐次方程的解，都是对应的齐次方程的解，是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程是某二阶非齐次线性方
28、程的三个解，求这个微分方程.不难写出这个齐次方程为（因为特征根是不难写出这个齐次方程为（因为特征根是-1和和2）20.yyy设所求的非齐次方程为设所求的非齐次方程为2(),yyyf x代入代入21,xxyxee则则 2(),xxf xexe所以所求线性非齐次方程为所以所求线性非齐次方程为2yyy2.xxexe例例22 设函数设函数 f(x)在正实轴上连续，且等式在正实轴上连续，且等式 xyyxdttfxdttfydttf111)()()(解解 固定固定 x,对对 y 求导，求导，对任何正数对任何正数x,y 都成立，又都成立，又f(1)=3,求求 f(x).1()()(),xxf xyf t dtxf y1,(1)3,yf1()()3,xxf xf t dtx3(),()3ln,fxf xxcx(1)3,3,()3ln3.fcf xx 两边再对两边再对x求导求导,整理得整理得令令
