1、2.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解2.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组例例1 方程组方程组0001.4410001.31321xx准确解：准确解：TTxx1,1,21若若A及及b作微小变化，考虑扰动后的方程组：作微小变化，考虑扰动后的方程组：0002.4419999.21321xx准确解：准确解：TTxx10,2,21方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的交点，当其中一条
2、直线稍有变化时，新的交点与原交点相交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相差很远。差很远。例例2 方程组方程组3133233210957910685657787104321xxxx准确解为：准确解为：TTxxxx)1,1,1,1(),(4321（1）对右端）对右端b作微小扰动：作微小扰动：9.301.339.221.3210957910685657787104321xxxxTTxxxx)1.1,5.4,6.12,2.9(),(4321（2）对系数矩阵）对系数矩阵A作微小扰动：作微小扰动：3133233298.9999.499.6989.998.585604.508.72.71.871
3、04321xxxxTTxxxx)22,34,137,81(),(4321AAxxbbxx4488倍倍15111倍倍02.0001.001.0011.002.000004.008.02.01.000A0.30.9%330.10.3 0 3%3 3%136001136%136016.132.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 矩阵条件数的定义矩阵条件数的定义矩阵条件数的性质矩阵条件数的性质一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数)(111bbAAAAAAAAxx改写（改写（2.22）式：）式：Proof 矩阵条件数的定义：矩阵条件数的定义：矩阵条件数的性质
4、：矩阵条件数的性质：（6）Cond(AB)Cond(A)Cond(B)二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态答案：答案：TxAcond)0,2(,104)()1(4Txx)1,1()2(%50%,005.0)3(xxbb希尔伯特（Hilbert）阵njijihhHjinnji,2,1,11,)(,1212111111413121131211nnnnnnHn定义：定义：-最著名的病态矩阵最著名的病态矩阵对称正定矩阵对称正定矩阵在在MATLAB中，函数中，函数hilb（）提供了（）提供了Hilbert矩阵矩阵)4(4hilbH 10876441053.1)(1049.1)(,1055.1)(Hc
5、ondHcondHcond希尔伯特（Hilbert）阵-最著名的病态矩阵最著名的病态矩阵Hilbert矩阵的条件数：18201715131055109084.1)(10488.8)(106025.1)(,10761.4)(HcondHcondHcondHcond求解病态方程组出现的问题：求解病态方程组出现的问题：例：用例：用MATLAB求解线性方程组求解线性方程组bxHnTneeHb)1,1,1(,输入：输入：,;);1,(*);(;5xbHxnonesHbnhilbHn得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：输入：,;);1,(*);(;10 xbHx
6、nonesHbnhilbHn得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000输入：输入：,;);1,(*);(;5xbHxnonesHbnhilbHn得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.999 1.000，0.999，1.000，0.999，1.000,;);1,(*);(;10 xbHxnonesHbnhilbHn输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.001,0.
7、979 1.202 -0.141,4.886,-6.842,9.446,-2.9071 6.4271,-19.1914,24.787,9.577,-50.545,65.566,-47.751,27.814,-9.191,2.883,;);1,(*);(;20 xbHxnonesHbnhilbHn三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别、病态线性方程组的判别 2、病态线性方程组的求解、病态线性方程组的求解（1）采用高精度）采用高精度（2）（预处理）平衡法）（预处理）平衡法（3）残差校正法）残差校正法（4）奇异值分解法）奇异值分解法三、病态线性方程组的求解三、病态线
8、性方程组的求解1、病态线性方程组的判别、病态线性方程组的判别例（例（P49）三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别、病态线性方程组的判别10101.01.01.0A1110)(Acond1010101.01.010B1)(Bcond例（例（P49）2、病态线性方程组的求解、病态线性方程组的求解（2）预处理）预处理设有预处理矩阵设有预处理矩阵P，对方程组，对方程组AX=b预处理预处理PAX=Pb使使)()(AcondPAcond 2、病态线性方程组的求解、病态线性方程组的求解（1）采用高精度）采用高精度（2）预处理）预处理)()(AcondPAcond例例4（P
9、49）102110102.0101.01.01.0 xx1110)(Acond方程组病态方程组病态进行行平衡进行行平衡:)10,10(,10,1.0101021diagDss得同解方程组得同解方程组:DbDAx 12110112111xx4)(Acond(3)残差校正法残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（迭代求精法，迭代改善法）bAx xAbrrxAxxxx近似解xx Stop?0rxxYN(3)残差校正法残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（迭代求精法，迭代改善法）（4）奇异值分解法）奇异值分解法TUSVAU、V正交阵，正交阵，S对角阵对角阵在在MATLAB中，函数中，函数svd（）作矩阵
10、的奇异值分解（）作矩阵的奇异值分解a)奇异值分解（奇异值分解（Singular-Value Decomposition）如：求如：求H4的奇异值分解。输入的奇异值分解。输入)4(,hilbsvdVSU如：求如：求H4的奇异值分解。输入的奇异值分解。输入)4(,hilbsvdVSU得到：得到：U=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146S=1.5002 0 0 0 0 0.1691 0 0 0
11、 0 0.0067 0 0 0 0 0.0001V=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146b)用奇异值分解解线性方程组用奇异值分解解线性方程组TUSVA bAx bAx1bVSUTniiiTivbu1),(),(2121nnvvvVuuuUnS21思考思考:这种方法有问题吗？这种方法有问题吗？令令请大家自己查阅有关书籍请大家自己查阅有关书籍数值分析与实验，薛毅数值分析与实验，薛毅小小 结结
12、2.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态:病态和良态病态和良态三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解1)(AAAcond（1）采用高精度）采用高精度（2）（预处理）平衡法）（预处理）平衡法（3）残差校正法）残差校正法（4）奇异值分解法）奇异值分解法证明证明(1)只要证明只要证明A+A非奇非奇)()(1AAIAAA?11AA (2)bbxxAA)()(bbxAxAAxAxbxAxAAxxAAAxAbAx111xAAAxAbAx111xAAxAAbA111AAxbAxxAA111)1(AAxAxbAAxxxAA111)1(AAbbAA11)(111AAbbAAAAxx证毕证毕AAxbAxxAA111)1()(111AAbbAAAAAAxx
