1、 7.1 预备知识一、空间直角坐标系二、向量代数简介三、空间曲面与方程四、平面区域的概念及其解析表示1.1.坐标系的建立坐标系的建立.,确定确定各轴的方向按右手规则各轴的方向按右手规则作三条相互垂直的数轴作三条相互垂直的数轴点点，过，过在空间任取一点在空间任取一点OzOyOxOO.,轴的正方向相同轴的正方向相同与与指的方向指的方向轴的正方向，而中指所轴的正方向，而中指所分别指着分别指着果将右手的拇指和食指果将右手的拇指和食指所谓右手规则是指：如所谓右手规则是指：如OzOyOx一、空间直角坐标系xyzO.Oxyz空间直角坐标系，记为空间直角坐标系，记为点称为坐标系原点；点称为坐标系原点；其中其中
2、O.,平面平面平面，平面，平面平面称为称为为坐标平面，分别为坐标平面，分别确定一个平面，称确定一个平面，称每两个坐标轴每两个坐标轴zOxyOzxOyxoy面面yoz面面zox面面xyOz轴；轴；轴、轴、轴、轴、称为坐标轴，分别称为称为坐标轴，分别称为zyxOzOyOx,.88个卦限个卦限称为称为个部分，个部分，空间分成空间分成这三个平面将这三个平面将2.2.空间中的点与三元有序数组的对应空间中的点与三元有序数组的对应,000zyxOzOyOxPPPzyx坐标分别为坐标分别为轴上的轴上的轴、轴、轴、轴、，在，在设点设点是空间中任意一点，是空间中任意一点，设设 PP),(000zyx一一对应一一对
3、应xyzxPzPyPPO0 x0y0z坐标，坐标，坐标，坐标，坐标，坐标，的的为点为点分别称分别称zyxPzyx000,.),(),(000000zyxPzyxP通常记为通常记为，的坐标为的坐标为而称点而称点zyxOxyz),(zyxM).0,0,0(O坐标原点坐标原点;,RQP坐标轴上的点坐标轴上的点;,CBA坐标面上的点坐标面上的点)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),0(zyB),0,(zxC)0,(yxA)0,0,0(O一些特殊点的坐标一些特殊点的坐标1.1.向量概念向量概念向量是一个既有大小又有方向的量向量是一个既有大小又有方向的量.大小相等、方向相同的两向量称为相等的向
4、量大小相等、方向相同的两向量称为相等的向量.表示表示的长度用的长度用向量向量aa方向；方向；为零向量，零向量没有为零向量，零向量没有，则称，则称若若aa0 二、向量代数简介空间中通常用有向线段表示向量空间中通常用有向线段表示向量.1P2P.1，则称为单位向量，则称为单位向量若若 a2.2.向量的加减法向量的加减法向量的加法向量的加法，设设bOBaOA ,COABabba .)(babaOCBCAOOBOA，记作，记作量量向向的和的和和和称为称为量量的对角线向的对角线向四边形四边形为邻边的平行为邻边的平行和和以以向量的加法有交换律与结合律，即向量的加法有交换律与结合律，即;1abba ）（.)(
5、)(2cbacba ）（向量的减法向量的减法.)(babacacb，记为，记为向量向量的差的差与与定义为定义为就就，则，则的和向量为的和向量为和和法的逆运算，即若向量法的逆运算，即若向量向量的减法定义为加向量的减法定义为加3.3.数量与向量的乘积（即数乘）数量与向量的乘积（即数乘）是向量，是向量，是一个向量，则乘积是一个向量，则乘积是一个实数，是一个实数，设设aa COABabba ,)(的绝对值的绝对值表示表示其中其中它的大小为它的大小为 aa 的方向相同，的方向相同，与与时，时，方向为：当方向为：当aa 0 的方向相反，的方向相反，与与时，时，当当aa 0.00意的意的这时它的方向可以是任
6、这时它的方向可以是任，时，时，当当 a 由以上定义易得：由以上定义易得：.;)i(零向量平行于任何向量零向量平行于任何向量，使得，使得一个实数一个实数存在存在互相平行的充要条件是互相平行的充要条件是和和两个非零向量两个非零向量abba .)(.11)ii(向量向量的单位化的单位化为为称向量称向量同方向的单位向量同方向的单位向量是一个与是一个与向量向量所得的所得的乘以它的长度的倒数乘以它的长度的倒数一个非零向量一个非零向量aaaaaaaaaa)(为实数为实数，列四条性质列四条性质数量与向量的乘积有下数量与向量的乘积有下 ;11aa ）（;)(2aaa ）（;)()()(3aaa ）（.)(4ba
7、ba ）（4.4.向量的分解与向量的坐标向量的分解与向量的坐标.,),(,zyxxyPPPPzyxPOxyzOOP及及作法，得到点作法，得到点如图如图的坐标为的坐标为点点终终的原点的原点直角坐标系直角坐标系是是的始点的始点设向量设向量由向量加法定义有由向量加法定义有zxyOPOPOP zyxOPOPOP zPyxPOxyPz),(zyxPxyPijk.,如图所示如图所示量量称这三个向量为坐标向称这三个向量为坐标向表示表示用用并分别并分别同同其方向与各轴的正向相其方向与各轴的正向相的三个单位向量的三个单位向量为始点为始点上分别取以原点上分别取以原点在坐标轴在坐标轴kjiOOzOyOx得得的代数长
8、度分别为的代数长度分别为及及方向相同方向相同分别与分别与于是由于是由zyxOPOPOPkjiOPOPOPzyxzyx,xiOPx,yiOPy zkOPz 因此因此zkyjxiOP 式，式，在三个坐标轴上的分解在三个坐标轴上的分解上式称为上式称为OP.,zyxOPOPzyxkji 记作记作的坐标，的坐标，称为向量称为向量的系数的系数对应于对应于)17(222 zyxOP故有故有而而,zOPyOPxOPzyx 222zyxOPOPOP 为为的长度的长度向量向量OPOP22zxyOPOPOP )27()()()(21221221221 zzyyxxPP）式式得得由由（17 ，即即212212212)
9、()()(zzyyxxOP 5.5.空间中两点间的距离公式空间中两点间的距离公式,),(),(22221111任任意意两两点点是是设设zyxPzyxPxyzO1P2PP1221OPOPPP kzzjyyixx)()()(121212 21PPOP kzzjyyixx)()()(121212 .)27(距离公式距离公式式即为空间中两点间的式即为空间中两点间的 6.6.两向量的标量积（即内积）两向量的标量积（即内积）.),(,),cos(,的夹角的夹角与与表示表示其中其中的标量积为的标量积为与与是两个向量，定义是两个向量，定义设设bababababababa 标量积的基本运算性质：标量积的基本运算
10、性质：;1abba ）（;)(2cbcacba ）（.,)()3(为一实数为一实数 baba 0 baba则则与与的坐标分别为的坐标分别为与与若若,222111zyxzyxba212121zzyyxxba 即两个向量的标量积等于它们对应坐标的乘积之和即两个向量的标量积等于它们对应坐标的乘积之和.两个向量垂直的充分必要条件是它们的标量积等两个向量垂直的充分必要条件是它们的标量积等于零，即于零，即时，时，当当ba ,212121zyxaa ,2aaa 又又,2121212zyxa .212121zyxa 即即三、空间曲面与方程.,都是点的几何轨迹都是点的几何轨迹面面空间中的任意曲空间中的任意曲下下
11、在空间直角坐标系在空间直角坐标系SOxyz)37(0),(),(zyxFzyx一个三元方程一个三元方程都要满足都要满足的坐标的坐标凡位于这一曲面上的点凡位于这一曲面上的点.)37(,)37(,)37(的图形的图形的几何图形称为方程的几何图形称为方程曲面曲面而而的方程的方程为曲面为曲面我们称方程我们称方程的坐标都不满足方程的坐标都不满足方程而不在这个曲面上的点而不在这个曲面上的点 SS例例1.,),(0000的方程的方程为半径的球面为半径的球面以以为中心为中心求以求以SRzyxP解解,),(的任意一点的任意一点上上是球面是球面设设SzyxP2202020)()()(Rzzyyxx 即即.0RPP
12、 则则得得由两点间的距离公式由两点间的距离公式)27(Rzzyyxx 202020)()()(.程程这就是所求的球面的方这就是所求的球面的方xyzO),(000zyxR例例2 .,)2,1,0()1,0,1(21迹方程迹方程点的距离相等的点的轨点的距离相等的点的轨求到这两求到这两与点与点设有点设有点 MM解解是所求轨迹上的点，是所求轨迹上的点，设设),(zyxP03622 zyx整理得整理得得得则由则由21PMPM 222222)2()1()0()1()0()1(zyxzyx.此即所求的轨迹方程此即所求的轨迹方程.21的垂直平分面的垂直平分面段段分线分线易知它表示的是垂直平易知它表示的是垂直平
13、MM例例3.)0(的方程的方程的平面的平面为为平面的距离平面的距离坐标平面且与坐标平面且与求平行于求平行于 kkxOyxOy解解上任意一点，上任意一点，是所求平面是所求平面设设),(zyxP,)0()()(222kzyyxxPPxy kzkz 或或到平面的距离为：到平面的距离为：),(zyxP的方程为的方程为即得即得.kzkzkxOy 或或的平面有两个：的平面有两个：平面平行且相距为平面平行且相距为这表明与这表明与xyzO),0,0(k),0,0(k xyzO例例4方程为方程为上的一个圆，这个圆的上的一个圆，这个圆的面面的交线是平的交线是平与平面与平面球面球面21211222 zzzyx.21
14、1222 zzyx 211222zzyx1.1.平面平面空间中平面的一般方程为空间中平面的一般方程为.,0不全为零不全为零均为常数，且均为常数，且其中其中cbadcbadczbyax xyzO1 zyxxyzO3 y2.2.柱面柱面定义定义7.1.)(,;,)(称称为为柱柱面面的的准准线线曲曲线线定定称称为为柱柱面面的的母母线线动动直直线线面面称称为为柱柱移移动动所所得得到到的的空空间间曲曲面面沿沿着着某某给给定定的的曲曲线线动动直直线线平平行行的的与与给给定定直直线线ClClLxyzO)(ClxyzO122 yxxyzO122 yx3.3.二次曲面二次曲面.0,)3,2,1(,0321321
15、232221不全为不全为均为常数，且均为常数，且曲面，其中曲面，其中所表示的曲面称为二次所表示的曲面称为二次三元二次方程三元二次方程iiiiiicbadicbadzcycxczxbyzbxybzayaxa 二次曲面有下面几种标准形式，它们分别表示：二次曲面有下面几种标准形式，它们分别表示：;)0(2222 RRzyx球面：球面：)0,(1222222 cbaczbyax椭球面：椭球面：;)0,(1222222 cbaczbyax双叶双曲面：双叶双曲面：);0,(0222222 cbaczbyax二次锥面：二次锥面：;)0,(22222 bazbyax椭圆抛物面：椭圆抛物面：.)0,(2)(22
16、22 bazbyax：马鞍面马鞍面双曲抛物面双曲抛物面);0,(1222222 cbaczbyax单叶双曲面：单叶双曲面：解解,),(满足上面的方程满足上面的方程如果如果zyx.33个坐标轴及原点均对称个坐标轴及原点均对称个坐标平面、个坐标平面、椭球面关于椭球面关于,czbyax 故椭球面被包含在一个直平行六面体内，它是有界故椭球面被包含在一个直平行六面体内，它是有界的图形的图形.例例5.1222222的图形的图形作椭球面作椭球面 czbyax.),(,),(),(),(),(),(,),(均满足方程均满足方程以及以及，则则zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx 故有故有个非负数之和，右边
17、为个非负数之和，右边为又因方程左边是又因方程左边是,13为椭圆；为椭圆；面截椭球面，截痕也均面截椭球面，截痕也均平平平面、平面、类似地用类似地用zOxyOz.012222平面的椭圆平面的椭圆这是这是平面截椭球面，截痕为平面截椭球面，截痕为易知，用易知，用xOyzbyaxxOy .),(,均为椭圆均为椭圆去截椭球面所得的截痕去截椭球面所得的截痕面面用平行于坐标平面的平用平行于坐标平面的平clbhaklzhykx .如图所示如图所示综上可知椭球面的图形综上可知椭球面的图形Ozyx例例6.1222222的图形的图形作单叶双曲面作单叶双曲面 czbyax解解.且它是无界图形且它是无界图形并并面均对称的
18、对称图形；面均对称的对称图形；原点、坐标轴、坐标平原点、坐标轴、坐标平面的图形是一个关于面的图形是一个关于由方程可知，单叶双曲由方程可知，单叶双曲、椭圆椭圆 012222zbyax是是个坐标平面的截痕分别个坐标平面的截痕分别图形与图形与3、双曲线双曲线 012222xczby 012222yczax双曲线双曲线的截痕也都是椭圆；的截痕也都是椭圆；图形与平面图形与平面hz .的截痕均为双曲线的截痕均为双曲线和和图形与平面图形与平面hxhy .的大致形状如图所示的大致形状如图所示综上可知，单叶双曲面综上可知，单叶双曲面xyzO)0,(2 2222 bazbyax椭圆抛物面椭圆抛物面xyOz)0,(
19、1 222222 cbaczbyax双叶双曲面双叶双曲面xyzoxyzO)0,(2 2222 bazbyax双曲抛物面双曲抛物面.)()(),()()(),(022020000000圆邻域，如图所示圆邻域，如图所示的的称为点称为点圆周圆周即不含即不含为半径的圆的内部为半径的圆的内部为圆心、为圆心、正数，以正数，以为一为一平面上的一定点，平面上的一定点，是是设设 PyyxxyxPPPPOPxOyyxP.)()(00000PPOPPPO 心邻域，记为心邻域，记为的去的去后，称为后，称为去掉中心去掉中心上述邻域上述邻域四、平面区域的概念及其解析表示xyO0P:的关系有以下三种的关系有以下三种与与上任
20、一点，则上任一点，则平面平面为为平面上的一点集，平面上的一点集，是是设设DPxOyPxOyD.,)(,0的内点的内点是是则称点则称点使得使得内点：若存在内点：若存在DPDPO .,的边界的边界的所有边界点集合称为的所有边界点集合称为的边界点的边界点为点集为点集则称则称的点的点又含有不属于又含有不属于的点的点既含有属于既含有属于的任何邻域内的任何邻域内边界点：若在边界点：若在DDDPDDP.,)(,0的外点的外点是是则称点则称点使得使得的某个邻域，即存在的某个邻域，即存在外点：若存在外点：若存在DPDPOP ,94),(22 yxyxD点集点集;9422的内点的内点的点都是的点都是满足满足Dyx
21、 ；它们都属于它们都属于的边界点的边界点的点均为的点均为满足满足DDyx,422 .942222 yxyxD与与的边界是圆周的边界是圆周；但它们都不属于但它们都不属于边界点边界点的的的点也均为的点也均为满足满足DDyx,922 xyO32.,为开集为开集则称则称的内点的内点内任意一点均为内任意一点均为如果如果DDD.,)(,2121称为闭区域称为闭区域集合集合与区域的边界所构成的与区域的边界所构成的区域区域或开区域或开区域为区域为区域则称则称连接起来连接起来与与条直线段组成的折线将条直线段组成的折线将内存在一条直线或有限内存在一条直线或有限若在若在内任意两点内任意两点为为与与为一开集为一开集设
22、设DPPDDPPD.;,)(,为无界区域为无界区域否则称否则称为有界区域为有界区域则称则称使得区域使得区域如果存在常数如果存在常数DDOODRR),()(,)(,)0,0()(222RyxyxOOROOORR 即即称为开圆盘称为开圆盘不含圆周不含圆周半径的圆的内部半径的圆的内部为为为中心为中心表示以原点表示以原点这里这里.0),(不是区域不是区域注意：注意：xyyxDxyOxyO例例7如图阴影部分，如图阴影部分，1)1,1(xyO0),(yxyxD),(xyyx ),(yxyx 例例8如图阴影部分，如图阴影部分，1,10),(yxxyxD0,10),(yxyyx 例例9如图阴影部分，如图阴影部分，21,220),(xyxxyxD 210,122),(0,220),(yxyyxyxyyx22xy xyO22xyO11 例例10如图阴影部分，如图阴影部分，1111,11),(22xyxxyxD 22,20),(22yyxyyyyx
