1、二次函数与几何综合 1（线段最值） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件： （1）M 在直线 AC 上方抛物线上一动点，过 M 点作 MN 平行于 y 轴交直线 AC 于点 N，当点 M 的坐标为多少时，线段 MN 有最大值，并求出最大值 二次函数与几何综合 2 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：点 M 是直线 AC 上方抛物线上一动点，过 M 点作 MN/y 轴交直线 AC 于点 N，作 M
2、EAC 于点 E，当点 M 的坐标为多少时，MEN 的周长有最大值。 二次函数与几何综合 3：线段的比（相似） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：如图，直线0kkxy与该抛物线在第二象限的交点为 M，与 AC 交于点 E，求 OE ME 的最大值 二次函数与几何综合 4：铅锤法（面积问题） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：点 M 是 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 M，使ACM
3、的面积最大？若存 在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 二次函数与几何综合 5：外铅锤法（面积问题） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：点 M 是直线 AC 下方抛物线上一动点，是否存在点 M，使？ 15 ACM S若存在，求 出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 二次函数与几何综合 6：平行转化法（面积问题） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件： 点 P 是抛物线上的顶点， 在抛物线
4、上是否存在异于点 P 的点 Q， 使 A C PA C Q SS ？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 7：面积的比（面积问题） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：点 M 是抛物线上一动点，是否存在点 M，使 ACOACM S23 S，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 8：异侧过中点（面积问题） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3
5、） 小条件：抛物线上是否存在点 P，使 OPAOPC S S，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在， 请说明理由 二次函数与几何综合模型 9：等腰直角三角形 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：点 P 是 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 点作 PE 垂直于 x 轴于 E，交 AC 于点 F， 若当CPF 为等腰直角三角形时，求 P 的坐标 二次函数与几何综合 10：等腰三角形 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点
6、 C（0,3） 小条件：在抛物线对称轴上是否存在点 Q，使BCQ 是等腰三角形？若存在，求出点 Q 的 坐标；若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 11：直角三角形 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为直角三角形；若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 12：三角形的周长最小 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：在
7、抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使BCQ 的周长最小；若存在，求出点 Q 的 坐标与周长的最小值；若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 13：线段差最大 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使CQ-AQ最大；若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 14：四边形周长最小 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：若 D 点的坐标为（
8、0,1） ，P 是抛物线对称轴上一动点，Q 是 x 轴上一动点，当 P、Q 两点的坐标为多少时，四边形 CPQD 周长的最小值 二次函数与几何综合 15：胡不归问题 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：抛物线对称轴与 x 轴交于点 E，有一动点 Q 从点 E 出发以每秒 1 个单位长度的速度 运动到线段 AC 上的点 M 后再以每秒2个单位长度的速度运动到点 C，求 Q 点运动时间的 最小值并写出此时点 M 的坐标 二次函数与几何综合 16：天桥模型 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象
9、与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：E（1，a）F（-1，a+1）是抛物线对称轴上的两个动点，当 a 为何值时四边形 EFCB 的周长最小？并直接写出四边形 EFCB 周长的最小值 二次函数与几何综合 17：水平直角相似 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：点 Q 是抛物线上一动点，过点 Q 作 QE 垂直于 x 轴，垂足为 E，是否存在点 Q，使 以点 A、Q、E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，
10、请说 明理由 二次函数与几何综合 18：斜直角相似 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件： 点 P 是抛物线的顶点， 作 PHAB 于 H， Q 是 x 轴上方一动点 （点 Q 与点 P 不重合） ， 过 Q 点作 QMAP 于 M，当QMP 与APH 相似时，求点 Q 的坐标 二次函数与几何综合 19：45 度角 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件：抛物线上是否存在点 Q，使QBC=45，若存
11、在，求出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由 二次函数与几何综合 20：两角和为 45 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:抛物线上是否存在点 Q，使QCA+OCB=45，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由 二次函数与几何综合 21：二倍角 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:抛物线的对称轴于 x 轴交于点 E，在对称轴上是否存在一点 Q，使AQE=2BCO， 若存在，求出点
12、 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 二次函数与几何综合 22：相似与角度综合 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:M 为线段 AB 上一动点，过点 M 作 MN/AC 交 BC 于点 N， 若ACMCMN，求点 M 的坐标 变式：求MCN 面积的最大值及此时点 M 的坐标 二次函数与几何综合 23：平行四边形 1 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:M 为抛物线上一动点，过点 M 作 MN/y
13、 轴交直线 AC 于点 N，当以 OCMN 为顶点的 四边形是平行四边形时，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由。 二次函数与几何综合 24：平行四边形 2 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 Q 为抛物线上一动点，点 M 是抛物线对称轴上一动点，当以 AOMQ 为顶点的四 边形是平行四边形时，求出点 Q 的坐标 二次函数与几何综合 25：平行四边形 3 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小
14、条件:点 Q 为抛物线上一动点，点 M 是抛物线对称轴上一动点，当以 ACMQ 为顶点的四边 形是平行四边形时，求出点 Q 的坐标 二次函数与几何综合 26：矩形 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 P 是抛物线对称轴上的一动点，点 Q 在坐标平面内，若以 BCPQ 为顶点的四边形 为矩形，求点 Q 的坐标；若以 BCPQ 为顶点的四边形能是正方形吗？若能，请写出此时点 P 和点 Q 的坐标 （矩形的存在性转化为直角三角形的存在性问题） 二次函数与几何综合 27：正方形 大前提：在平面直角
15、坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 P 为抛物线上一动点， 以 AP为边作按顺时针方向作如图所示一侧的正方形 APMN， 当点 M 或者 N 点落在 y 轴上时，求点 P 的坐标 二次函数与几何综合 28：菱形 1（双动点） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:Q 为直线 AC 上一动点，点 P 在坐标平面内，若以 A、O、P、Q 为顶点的四边形为菱 形，求 P 点的坐标 变式：点 Q 为抛物线上一动点，点
16、 P 在坐标平面内，若以 A、C、P、Q 为顶点的四边形为菱 形，求 Q 点的坐标 二次函数与几何综合 29：菱形 2（三动点） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 P 为抛物线上一动点，点 M 是 y 轴上一点，点 Q 是直线 AC 上一点，当以 C、Q、 P、为顶点的四边形为菱形时，求点 P 的坐标 二次函数与几何综合 30（折叠 1） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:D 是抛物线
17、的顶点，P 是线段 AD 上一动点，PE 垂直于 y 轴于点 E，把PEA 沿着 EA 折叠，点 P 的对应点为 P,当点 P落在坐标轴上时，求出点 P 的坐标 二次函数与几何综合 31（折叠 2） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:将该抛物线位于 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，其余保持不变，得到如同 M 的新图像 记作点 M，请你结合新图像回答，当直线nxy与图象 M 有两个公共点时，求 n 的取值 范围。 习题，D 是抛物线的顶点，P 是线段 AD 上一动点，PE 垂直于 y 轴于点
18、E，作 PF 垂直于 x 轴 于 F，当矩形 PEOF 的面积取最大时，把PEF 沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为 P，求 P的 坐标并判断点 P是否落在抛物线上。 二次函数与几何综合 32（直线旋转+最值） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:过点 C 的直线l绕着点 C 旋转，在旋转过程中与抛物线的另一交点为 P，当点 B 到直 线l的距离最大时，求 P 点的坐标并直接写出其最大距离 变式： 点 P 是抛物线上第二象限内的一动点， 设 A、 C 两点到直线 BP 的距离分别为 d1
19、和 d2， 求 d1+d2 的取最大值时直线 BP 的解析式，并求出最大值。 二次函数与几何综合 33（直线旋转+定值） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:直线 L 绕点 A 以 AB 为起始位置逆时针旋转到 AC 位置为止，L 与 BC 交于点 D，P 是 AD 的中点， 求点 P 的运动路程 过点 D 作 DE 垂直 x 轴于点 E，作 DFAC 所在直线于点 F，连结 PE、PF，在 L 的运动过程 中，EPF 的大小是否发生改变？请说明理由 连结 EF，求PEF 周长的最小值 二次函
20、数与几何综合 34（旋转） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:过点 C 作直线 CD 垂直于 y 轴，P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，PD 垂直 CD 于 D， 把PCD 沿绕点 C 逆时针旋转，旋转的角度等于，其中 3 4 tan，点 P 的对应点为 P ， 当点 P落在坐标轴上时，求点 P 的坐标 二次函数与几何综合 35（的平移） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:将OBC 沿
21、x 轴的负方向以每秒 1 个单位平移，当点 B 与点 A 重合时停止运动，求 平移过程中OBC 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并求当 t 为何值时， S 有最大值？ 基本思路：1、分析基本图形，弄清图形中的线与角；2、确定时间范围，画出不同图形 3、设时间为 t，写出关键线段长度 4、根据题意利用几何列方程或函数表达式 5、检验 t 是否在相应的范围 二次函数与几何综合 36（抛物线的平移） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:将抛物线沿着 AC 所在的直线平移，平移后
22、 A、C 的对应点分别为 E、F，在直线 AC 的下方作等腰直角三角形 EFM，当点 M 落在原抛物线上时，求出此时点 M 点的坐标 二次函数与几何综合 37（韦达定理的应用） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:将圆抛物线平移到顶点为原点，直线 y=kx+b（b0）与抛物线相交于 E、F，与 y 轴 交于点 M，点 M 关于 x 轴的对称点为 N， 求证：ENM=FNM 变式：将圆抛物线平移到顶点为原点，直线 y=kx+b 与抛物线相交于 E、F，连接 EO、FO， 当EOF=90时，求 b
23、 的值 二次函数与几何综合 38（点到直线的距离 1） 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:在抛物线上是否存在点 Q 到直线 BC 的距离到 x 轴的距离相等？若存在求出点 Q， 若 不存在，请说明理由； （角平分线问题） 变式：在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使Q 与 x 轴和直线 BC 都相切 二次函数与几何综合 39（点到直线的距离 2） 2 00 00 1 d ),P k ybkx bkxyyx 的距离到直线（点 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0
24、） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C （0,3） 小条件:在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 到直线 BC 的距离与到 x 轴的距 离相等？若存在求出点 Q，若不存在，请说明理由； （角平分线问题） 变式：在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，是圆 Q 与 x 轴和直线 BC 都相切 二次函数与几何综合 40 ：焦点与准线 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:将原抛物线平移到顶点为原点，P 是平移后抛物线上一动点，作 PE 垂直于直线 y= 4 1 于 E，点 F 的坐标为（0， 4 1
25、 ）,求证：PE=PF 变式 1：求证 FE 平分PFO 变式 2：点 M 的坐标（-1，-2） ，当点 PM +PF 最小时（或PMF 的周长最小时）的点 P 的坐标 变式 3：若直线 PF 与抛物线的另一交点为 Q，过点 Q 作 QH 垂直于直线 y= 4 1 于 H，判断 EFH 的形状。 二次函数与几何综合 41：与圆相切 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 P 以每秒 1 个单位速度，沿线段 BA 由 B 向 A 运动，同时，点 Q 以每秒2个单位 的速度，从 A 开始沿射线 A
26、C 运动，当 P 到达 A 时，整个运动随即结束，设运动的时间为 t 秒 求证：PQ 的中点始终在抛物线的对称轴上， 直接写出线段 PQ 的中点在整个运动过程中所经过的路径长 在整个运动过程中，以 PQ 为直径的圆能否与 y 轴相切？若能，求出相应的 t 值；若不能， 请说明理由。 二次函数与几何综合 42：圆中最值 1 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:以 O 为圆心 OB 的长为半径作圆 O， 点 P 为圆 O 上一动点， 线段 OA 上是否存在一点 点 M，使 PA PM 的值为定值，
27、若存在，求出点 M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由； 求 PC+PA 3 1 的最小值 （变式：求 PC 3 1 PA 的最大值） 变式： 点M的坐标为 （2,0） ， 将线段OM绕着点O逆时针旋转到某个角度到OM， 使MC+ 3 2 MA 有最小值，求这个最小值（或 3MC+2MA 最小值） 二次函数与几何综合 43：圆中最值 2 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:以 O 为圆心 OB 的长为半径作圆 O，点 P 是圆 O 上一动点，D 为抛物线的顶点，M 为 DP 的中点，求 OM
28、的最小值（或最大值） 二次函数与几何综合 44：路径长问题 1 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 M 是线段 OA 上一动点，从 O 点出发，运动到点 A 停止运动，过点 A 作 AN 垂直 于直线 CM 于点 N，求点 N 的运动路径长 变式 1：在 CM 的延长线上有一点 N 满足AON=ACM，求点 N 的运动路径长 变式 2：点 M 是线段 OA 上一动点，点 F 也从点 O 出发以相同的速度向 C 运动，连接 AF、 CM 相交于点 Q，求 Q 点的运动路径长 小结：定弦对定角
29、，路径为弧长 蝴蝶相似，对角互补，一中同长等考虑辅助圆；路径长的常见类型：圆弧和线段 二次函数与几何综合 45：路径长问题 2 大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x 轴交于 A（-3,0） ，B（1,0） ，两点，与 y 轴交于点 C（0,3） 小条件:点 M 是线段 OC 上一动点，从 O 点出发，运动到点 C 后停止运动，以 BM 为直角边 作如图所示的直角三角形 BMN，使MNB=OCB，求点 N 的运动路径长 变式：点 M 是线段 OC 上一动点，从 O 点出发，运动到点 C 后停止运动，以 BM 为直角边 作如图所示的直角三角形 BMN，使MNB=30，求点 N 的运动路径长。 变式练习 1、点 M 是线段 OA 上一动点，从点 O 出发，运动到点 A 后停止运动，以 CM 为直 角边作如图所示的直角三角形，求点 N 的运动路径长， 变式练习 2，将变式练习 1 中的等腰直角三角形改为等边三角形，求点 N 的运动路径长
