1、12022 学年第二学期高三年级学业质量调研数 学 试 卷考生注意：1本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页2作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位在草稿纸、试卷上作答一律不得分4用 2B 铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第16 题每题4 分，第712 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1设全集2,1,0,1,2U ，集合2,0,2A ，则A _2若实数x、y满足lgxm、110
2、my，则xy _3已知复数z满足(1 i)iz（i为虚数单位），则z的虚部为_4已知圆柱的底面积为9，侧面积为12，则该圆柱的体积为_5已知常数0m，6()mxx的二项展开式中2x项的系数是60，则m的值为_6 已知事件 A 与事件 B 互斥，如果()0.3P A，()0.5P B，那么()P AB _7今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗.若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为_80ln(4)2ln2limhhh_9若关于x的方程112xmx在实数范围内有解，则实数m的取值范围是_10已知在等比数列na中，3a、7a
3、分别是函数32661yxxx的两个驻点，则5=a_11已知抛物线21:8Cyx,圆222:(2)1Cxy，点M的坐标为(4,0)，P、Q分别为1C、2C上的动点，且满足|=|PMPQ，则点P的横坐标的取值范围是_212平面上有一组互不相等的单位向量12,nOA OAOA ，若存在单位向量OP 满足120nOP OAOP OAOP OA ，则称OP 是向量组12,nOA OAOA 的平衡向量.已知12,3OA OA ，向量OP 是向量组123,OA OA OA 的平衡向量，当3OP OA 取得最大值时，13OA OA 的值为_二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题
4、 4 分，第15、16 题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）（A）0y（B）1yx（C）2yx（D）2xy 14在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在50,60)内的人数为16，则下列结论正确的是（）（A）样本容量1000n（B）
5、图中0.025x（C）估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分（D）若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为 A 等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是 A 等15已知()cos2sinf xxax，若存在正整数n，使函数()yf x在区间(0,)n内有 2023 个零点，则实数a所有可能的值为（）（A）1（B）1（C）0（D）1或116若数列 nb、nc均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得1,mnnbc c，则称数列 nb为数列 nc的“M 数列”已知数列na的前n项和为nS，则下列选项中为假命题的是（）（A）存在等差数列na，使得na是nS的“M 数列
6、”（B）存在等比数列na，使得na是nS的“M 数列”（C）存在等差数列na，使得nS是na的“M 数列”（D）存在等比数列na，使得nS是na的“M 数列”3三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为abc、,已知sinsin2AB，4a，6b（1）求cosB的值；（2）求ABC的面积18（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第
7、 2 小题满分小题满分 8 分）分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，2PDAD，4AB，点E在线段AB上，且14BEAB.（1）求证：CE 平面PBD；（2）求二面角PCEA的余弦值.19（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病.设事件A表示试验者的检测结果为阳性，事件B表示试验者患有此疾病.据临床统计显示，()P A B0.99，()0.98P A B 已知该地人群中患有此种疾病的概率为0.001.（下列两小题计算结果中的
8、概率值精确到0.00001）（1）对该地某人进行抗原检测，求事件A与B同时发生的概率；（2）对该地3个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量X表示检测结果为阳性的人数，求X的分布和期望420.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8已知O为坐标原点，曲线2212:1(0)xCyaa和曲线222:142xyC有公共点，直线111:lyk xb与曲线1C的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M（1）若曲线1C和2C有且仅有两个公共点，求曲线1C的离心率和渐近线方程；（2）若直线OM经过曲线
9、2C上的点2,1T，且2a为正整数，求a的值；（3）若直线222:lyk xb与曲线2C相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：22121kk21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）如果曲线()yf x存在相互垂直的两条切线，称函数()yf x是“正交函数”已知2()2lnf xxaxx，设曲线()yf x在点00,M xfx处的切线为1l（1）当(1)0f 时，求实数a的值；（2）当8a ，08x 时，是否存在直线2l满足12ll，且2l与曲线()yf x相
10、切？请说明理由；（3）当5a 时，如果函数()yf x是“正交函数”，求满足要求的实数a的集合D；若对任意aD，曲线()yf x都不存在与1l垂直的切线2l，求0 x的取值范围5参考答案参考答案一.填空题一.填空题 11,1；210.；312；418；52；60.2；712；814；92,；102；117 15,62；12366.二.选择题二.选择题13D；14C；15B；16C三.解答题17三.解答题17 解（1）在ABC中，由已知得sin2sincosABB，2分由正弦定理得2 cosabB，4 分而4a，6b，所以1cos3B；6 分（2）在ABC中，由余弦定理得2221cos23acb
11、Bac，8 分即238600cc，而0c，解得6c，10 分因为1cos3B，则sin232B，12 分1=sin8 22ABCSacB=，所以ABC的面积为8 2.14 分1818解（1）设BD与CE相交于点H，因为PD 平面ABCD，CE 平面ABCD，所以PDCE，2 分由4AB，14BEAB，得1BE，因此1tan2ECB，1tan2ABD，可得ECBABD，4 分因为DBCADB，所以0=90BHCBAD，即BDCE，又因为PDCE，PDBDD，所以CE 平面PBD；6 分（2）如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,4,0)C，(0,0,2)P，(2,3,0)E，所以(0,4,2
12、)PC ，(2,1,0)CE ，8 分设平面PCE的一个法向量(,)nx y z，6则0,0,n CEn PC 即20,420.xyyz令1x，则2y，4z，于是(1,2,4)n，10 分平面ACE的一个法向量为(0,0,1)m，则44 21cos,21|11416m nm nm n ，12 分由图形可知二面角PCEA为锐角，所以二面角PCEA的余弦值是4 2121.14 分19解(1)由题意可得，()()()0.020.9990.01998P ABP A B P B；6分(2)设()P A Bp，则()1P A Bp，033(0)(1)0.00000P XCp，023(1)(1)0.0003
13、0P XC pp，8 分023(2)(1)0.02940P XC pp，333(3)0.97030P XC p 10 分X的分布为012300.000300.029400.97030，12 分()3()3 0.992.97E XP A BA B 14 分2020解（1）由条件知2a，曲线1C的半焦距5c，所以曲线1C的离心率52cea，2 分渐近线方程为12yx；4 分（2）联立方程组222111xyayk xb，得22222211 111210a kxa k b xab，所以21 12211Ma k bxa k，21 111122221111Ma k bbykba ka k，7故直线OM的方
14、程为211yxa k，依题意直线OM经过点2,1T，代入得212a k ，6 分因为直线1l与曲线1C的左支相交于两点，故221221101aba k，得2211a k 8 分又曲线1C和2C有公共点，所以204a，且2a为正整数，根据22212aa k，得21a，所以1a；10 分【供参考：因为直线111:lyk xb与曲线1C的左支相交于A、B两点，所以11|ka，又42421212a kaaa，2a为正整数，所以21a】（3）由（2）可得121MMykxa(02)a，12 分同理，联立直线222:lyk xb与曲线222:142xyC，可得212NNykx，14 分因为NMMNyyxx，
15、所以2212akk，16 分又因为2211a k，所以424222222211121112144a ka kkkkka k，即22121kk18 分2121解（1）由题设，函数定义域为0,，且2()2faxxx，2分由(1)40fa，则4a ；4 分（2）当8a 时，2()28fxxx，则33(8)4f，6 分即1l的斜率1334k，假设2l存在，则2l的斜率2433k ，则2()fxk有解，即242833xx 在0,上有解，8 分该方程化简为233130330 xx，解得311x 或113，符合要求，因此该函数存在另外一条与1l垂直的切线2l；10 分8（3）21()22fxaxxaxx，当
16、0,1x时，()fx严格减；当1,x时，()fx严格增；10 分【供参考：令()()h xfx，则21()2 1h xx，当0,1x时()0h x，()fx严格减；当1,x时()0h x，()fx严格增.】设曲线()yf x的另一条切线的斜率为0()f t.1当4a 时，2()20 xfxax，显然不存在00()()1fxf t，即不存在两条相互垂直的切线；12 分2当54a 时，()(1)4fxfa，且(1)40fa，x趋近于 0 或x趋向于正无穷大时，()fx都趋向于正无穷大，所以()fx在 0,11,、上各有一个零点12xx、，故当10,xx或2,xx时，都有()(0,)fx，当12(,
17、)xx x时()4,0fxa，故必存在00()()1fxf t，即曲线()yf x存在相互垂直的两条切线，所以=5,4D.14 分因为5,4a，由 2知，曲线()yf x存在相互垂直的两条切线，不妨设012012,0,xx xtxx，满足00()()1fxf t，001()()ftfx，04()0afx0011()()4ftfxa，所以00011()24f ttata，故00111446442 taataa （当且仅当5a 时等号成立），由0013tt，解得035350,22t，16 分0000022()20220fxxaxaxx220161644aaaax ，因为22116412416aaaa ，216124aa，所以01,22x.综上可知，对任意满足54a 的所有函数不存在与1l垂直的切线2l的0 x的取值范围是35 135,2,22218 分9【供参考：对任意54a ，曲线()yf x都不存在与1l垂直的切线2l，有0002()20fxxax恒成立0000222025520 xxxx，解得010,2,2x，综上可知，对任意满足54a 的所有函数不存在与1l垂直的切线2l的0 x的取值范围是35 135,2,222】
