1、2.1.1 曲线与方程的概念曲线与方程的概念导入新课导入新课观察与分析观察与分析 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？抛物线抛物线双曲线双曲线椭圆椭圆 如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双曲线，和椭圆曲线，他们
2、分别是抛物线，双曲线，和椭圆.观察与分析观察与分析 因此我们通常把因此我们通常把抛物线抛物线，双曲线双曲线和和椭圆椭圆统称为统称为圆圆锥曲线锥曲线.圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系密切的关系.早在早在16，17世纪之交，开普勒就发现行星绕太世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆阳运行是一个椭圆.喷泉喷出美丽喷泉喷出美丽的抛物线的抛物线 发电厂冷却塔的外形发电厂冷却塔的外形是双曲线是双曲线 我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是方程是x-y=0，这就是说，如果点，这就
3、是说，如果点 M（x0，y0）是这条直线上）是这条直线上的任一点，它到坐标轴的距离相等，的任一点，它到坐标轴的距离相等，即即 x0=y0，那么，那么，点点 M（x0，y0）是方程是方程 x-y=0的解的解.M(x0，y0)反过来，如果（反过来，如果（x0，y0）是方程）是方程x-y=0的解，即的解，即x0=y0，那么以这个解为那么以这个解为坐标的点到坐标轴的距离相等坐标的点到坐标轴的距离相等.M(x0，y0)让我们回顾一下圆及其方程的意义。让我们回顾一下圆及其方程的意义。如图，以点如图，以点O为圆心，半径为为圆心，半径为r(r0)的圆，记作的圆，记作 (O,r)，以以O为原点建立直角坐标系为原
4、点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2.上述圆的方程表示的意义是：上述圆的方程表示的意义是：（1）设）设M(x0,y0)是是 (O,r)上任意一上任意一点，则它到圆心点，则它到圆心O的距离等于的距离等于r，因而满足方程因而满足方程 ，即，即x2+y2=r2.2200 xyr 这就是说这就是说(x0,y0)是此方程的一个解；是此方程的一个解；如果点如果点(x0,y0)不在不在 (O,r)上，则必有，上，则必有，2200 xyr 即有即有x2+y2r2.(x0,y0)就不会是方程就不会是方程x2+y2=r2的解。的解。（2）如果）如果(x0,y0)是方程
5、是方程x2+y2=r2的一个解，则可以推得，的一个解，则可以推得，2200 xyr 即点即点M(x0,y0)到圆心的距离等于到圆心的距离等于r，点，点M在在 (O,r)上；上；如果如果(x0,y0)不是方程不是方程x2+y2=r2.的解，则可以推出的解，则可以推出 2200 xyr 即点即点M(x0,y0)不在不在 (O,r)上。上。以上两点说明了以上两点说明了 (O,r)上的点与方程上的点与方程x2+y2=r2的解之的解之间有间有一一对应一一对应关系。关系。我们知道我们知道 (O,r)可以看成一个动点可以看成一个动点M运动的轨迹运动的轨迹，于，于是在坐标平面上，当是在坐标平面上，当 (O,r
6、)上一个动点上一个动点M运动时，点运动时，点M的坐标的坐标(x,y)随着点随着点M的运动而变化，点的运动而变化，点M运动的轨迹可运动的轨迹可以用方程以用方程x2+y2=r2来表达。来表达。（2）方程）方程）0(2aaxy 是关于是关于y轴对称的抛物线如图轴对称的抛物线如图0 xy）0(2aaxy M满足关系：满足关系：（1）、如果）、如果)y,x(00),(00yx是抛物线上的点，那么是抛物线上的点，那么一定是这个方程的解一定是这个方程的解),(00yx（2）、如果、如果是方程是方程）0(2aaxy 的解，那么以它为坐标的点一定的解，那么以它为坐标的点一定在抛物线上在抛物线上图象上的点图象上的
7、点M与此方程与此方程y=ax2有什么关系？有什么关系？曲线和方程之间有什么对应关系呢？曲线和方程之间有什么对应关系呢？说这条抛物线的方程是说这条抛物线的方程是2(0yaxa),2(0yaxa方 程）表示的曲线是这条抛物线表示的曲线是这条抛物线.一般地，一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程方程又常称为某种条件的点的轨迹方程。一个二元方程总可以通过移项写成一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)=0的形式。的形式。其中其中F(x，y)是关于是关于x,y的解析式，例如的解析式，例如y=x2可以写成可以写成x2y=0的
8、形式。的形式。在平面直角坐标系中，如果曲线在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程与方程F(x，y)=0之之间具有下列关系：间具有下列关系：（1）曲线）曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；的解；（2）以方程）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上。上。那么曲线那么曲线C叫做叫做方程方程F(x，y)=0的曲线的曲线，方程，方程F(x，y)=0叫做叫做曲线曲线C的方程的方程。这就是说，如果曲线这就是说，如果曲线C的方程是的方程是F(x,y)=0.则则M(x，y)C F(x，y)=0.因此方程因此方程F(x，y)=0可作为描述曲线可作为描述
9、曲线C的特征性质。曲的特征性质。曲线线C用集合特征性质描述法，可以描述为用集合特征性质描述法，可以描述为C=M(x，y)|F(x，y)=0.在坐标系选定以后，曲线被它的方程所在坐标系选定以后，曲线被它的方程所惟一确定惟一确定，但，但曲线的方程表示曲线的方程表示不是惟一的不是惟一的，除与我们选取的坐标系有，除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。已知两条曲线已知两条曲线C1和和C2的方程分别为的方程分别为F(x，y)=0，G(x，y)=0，则交
10、点的坐标必须满足上面两个方程，反之如果，则交点的坐标必须满足上面两个方程，反之如果(x0,y0)是上面两个方程的公共解，则以是上面两个方程的公共解，则以(x0,y0)为坐标的为坐标的点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲线点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲线C1和和C2的交的交点坐标，只要求方程组点坐标，只要求方程组 的实数解就可以得到。的实数解就可以得到。(,)0(,)0Fx yGx y曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形.1.1.下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方
11、程吗？为什么？下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)(1)线线C C为过点为过点A(1A(1，1)1)，B(-1B(-1，1)1)的折线的折线(如图如图(1)(1)其方程为其方程为(x x-y y)()(x x+y y)=0;)=0;(2)(2)曲线曲线C C是顶点在原点的抛物线其方程为是顶点在原点的抛物线其方程为x x+=0;+=0;(3)(3)曲线曲线C C是是,象限内到象限内到x x轴，轴，y y轴的距离乘积为轴的距离乘积为1 1的点集其方程为的点集其方程为y y=10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y提问：提问：说明过说明过A（2，0）
12、平行于）平行于y轴的直线与方程轴的直线与方程x=2的关系的关系、直线上的点的坐标都满足方程、直线上的点的坐标都满足方程x=2、满足方程、满足方程x=2的点的点不一定不一定在直线上在直线上结论：过结论：过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线的方程轴的直线的方程不是不是x=20 xy2A思考与推论：思考与推论：下面两个命题正确吗？下面两个命题正确吗？（1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x；（2）如图，）如图，MA和和MB分别是动点分别是动点M(x，y)与两定点与两定点A(1，0)，B(1，0)的连线，的连线，使使AMB为直角的动点轨迹方程是：为直角的
13、动点轨迹方程是：x2+y2=1.不正确不正确不正确不正确证明证明：与两条坐标轴的距离的积与两条坐标轴的距离的积是常数是常数k（k0）的点的轨迹方程）的点的轨迹方程是是xy=k的解的解.MROQ图图2.1-3例例1：证明证明：（1）如图如图2.1-3，设，设M（x0，y0）是轨迹上的任一点是轨迹上的任一点.因为点因为点M与与x轴的距离为轴的距离为|y0|，与与y轴的距离为轴的距离为|x0|，所以，所以|x0|y0|=k，即（即（x0，y0）是）是方程方程 x y=k的解的解.MROQ如图如图2.1-3（2）设点设点M1的坐标（的坐标（x1，y1）是方程）是方程xy=k 的解则的解则x1y1=k
14、即即|x1|y1|=k，|x1|，|y1|正是点正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数到这两条直线的距离的积是常数k，点，点M1是曲线上的点是曲线上的点.由（由（1）（）（2）可知）可知x y=k是与两条坐标的距离的积为常是与两条坐标的距离的积为常数数k（k0）的点的轨迹方程）的点的轨迹方程.课堂小结课堂小结（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点上的点 那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做曲线方程曲线方程；“曲线方程曲线方程”的概
15、念的概念：课堂练习课堂练习1.下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（）.（A）y2=x与与y=x（B）y=x与与 y/x=1（C）y=x与与y2=x2（D）y=lgx2与与y=2lgxC 2.如果命题如果命题“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)0的点都在曲的点都在曲线线c上上”是不正确的，那么下列命题正确的是是不正确的，那么下列命题正确的是（）.A.坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)0的点都的点都 不在曲线不在曲线c上上 B.坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)0的点有的点有 些在曲线些在曲线c上，有些不在曲线上，有些不在曲线c上上 C.曲线曲线c上的
16、点不都满足方程上的点不都满足方程f(x,y)0 D.一定有不在曲线一定有不在曲线c上的点，其坐标满足上的点，其坐标满足 方程方程f(x,y)0 D如线段与直线如线段与直线例例2.已知曲线已知曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，的解，则下列命题中正确的是（则下列命题中正确的是（）(A)满足方程满足方程f(x，y)=0的点都在曲线的点都在曲线C上上(B)方程方程f(x，y)=0是曲线的方程是曲线的方程(C)曲线曲线C是满足方程是满足方程f(x，y)=0的曲线的曲线(D)方程方程f(x，y)=0的曲线包含曲线的曲线包含曲线C上的任意一点上的任意一点D4.命题命题“曲线
17、曲线S上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程F(x，y)=0”是正是正确的，则下列命题正确的一个是（确的，则下列命题正确的一个是（）(A)方程方程F(x，y)=0的曲线是的曲线是S(B)满足方程满足方程F(x，y)=0的点都在曲线的点都在曲线S上上(C)曲线曲线S是方程是方程F(x，y)=0的轨迹的轨迹(D)方程方程F(x，y)=0的曲线不一定是的曲线不一定是SD填空题：填空题：1.已知已知ABC的面积为的面积为4，A、B两点的坐标分别是（两点的坐标分别是（2，0）、）、（2，0），则顶点），则顶点C的轨迹方程是的轨迹方程是 _.y=2和和 y=2 已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是已知等腰
18、三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），），B（-2，0），），C（2，0）.问问：中线中线AO（O为原点）所在直线的方程是为原点）所在直线的方程是 x=0吗？吗？为什么？为什么？P37教材习题答案教材习题答案解解：是，由图可知，等腰三角形：是，由图可知，等腰三角形ABC的边的边BC上的中线上的中线AO所在直所在直线的方程是：线的方程是：x=0ABCOxy 这里的这里的“曲线曲线”指的是三角形指的是三角形ABC中中BC的中线所在的直线的中线所在的直线x=0是这条曲线的方程是这条曲线的方程.在理解什么是在理解什么是“曲线曲线”时，要注意曲线是满时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解足条件的图形；
19、在理解“方程方程”时，要注意方程包时，要注意方程包含对其中未知数的限制含对其中未知数的限制.比如本例题中，三角形比如本例题中，三角形ABC中中BC的中线的方程的中线的方程是是x=0（0y3）.2.已知方程已知方程ax2+by2=2的曲线经过的曲线经过A(0,)和点和点B(0,0)求求a，b的值的值.解：解：a=，b=3532251825P37教材习题答案教材习题答案 A组的第组的第1题：题：点点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10)是否在方程是否在方程 x2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？表示的曲线上？为什么？解：解：点点A(1,-2),C(3,10)在该曲线上，而在该曲线上
20、，而B(2,-3)不在不在该曲线上该曲线上.P37教材习题答案教材习题答案例例3.设圆设圆M的方程为的方程为(x3)2+(y2)2=2,直线直线l的方程是的方程是x+y3=0，点，点P的坐标是的坐标是(2，1)，那么（，那么（）(A)点点P在直线在直线l上，但不在圆上，但不在圆M上上(B)点点P不在直线不在直线l上，但在圆上，但在圆M上上(C)点点P在直线在直线l上，也在圆上，也在圆M上上(D)点点P不在直线不在直线l上，也不在圆上，也不在圆M上上C课堂练习课堂练习1.下列各组方程中表示相同曲线的是（下列各组方程中表示相同曲线的是（）(A)(B)(C)(D),1yyxx2,yxyx|,yxyx
21、22|,yxyxD3.曲线曲线y=x2与与x2+y2=5的交点是（的交点是（）14(A)(2，1)(B)(2，1)(C)(2，1)或或(2 ，5)(D)(2，1)或或(2 ，5)55B5.方程方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是（表示的曲线是（）(A)一个点一个点 (B)两条互相平行的直线两条互相平行的直线(C)两条相交但不垂直的直线两条相交但不垂直的直线 (D)两条相互垂直的直线两条相互垂直的直线C6.经过两圆经过两圆2x2+2y23x+4y=0与与x2+y2+2x+6y6=0的交的交点的直线方程为点的直线方程为 。7.P(m+1，m+4)在曲线在曲线y=x2+5x+3上，则上，则m的
22、值的值为为 。7x+8y12=01或或5xy0MBA(,)x y思考思考1 1xy0(,)x yCABDM思考思考2xy0ABCMlO xy0ABCMl活用几何性质活用几何性质xy0ABCMl3.已知方程已知方程 的曲线经过的曲线经过点点 ,则则m=_,n=_.0422 nymx)1,2(),2,1(BA4.方 程（2x+3y-5)(x-3-1)=0表 示 的 曲线为线为()A、两条直线、两条直线 B、两条射线、两条射线C、两条线段、两条线段 D、一条直线与一条射线、一条直线与一条射线A5.已知两圆已知两圆C1：x2+y2+6x-16=0,C2:x2+y2-4x-5=0求证：对任一不等于求证：
23、对任一不等于1的实数的实数，方程，方程 x x2 y2+6x-16+(x2+y2-4x-5)=0是通过两个已知圆交点的圆的方程。是通过两个已知圆交点的圆的方程。证明：方程证明：方程x2+y2+6x-16+(x2+y2-4x-5)=0可以变形为：可以变形为：（1）x2+(1+)y2+(6-4)x-16-5=0 因为因为-1,得：得：表示的是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足两已知圆的方表示的是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足两已知圆的方程，当然也满足方程，因此方程表示的圆通过两圆的交点。程，当然也满足方程，因此方程表示的圆通过两圆的交点。思考？思考？方程中，如果方程中，如果 1，那么得到的方程还是
24、圆吗？这个方程表示的是，那么得到的方程还是圆吗？这个方程表示的是什么图形？与两圆有什么关系？什么图形？与两圆有什么关系？8.“点点M在曲线在曲线y=|x|上上”是是“点点M到两坐标轴距离相等到两坐标轴距离相等”的的 条件。条件。9.已知已知02，点，点P(cos，sin)在曲线在曲线(x2)2+y2=3上，则上，则的值为的值为 .充分不必要充分不必要533或例例1.已知两圆已知两圆C1：x2+y2+6x16=0，C2：x2+y24x5=0，求证：对任一不等于求证：对任一不等于1的实数的实数，方程，方程x2+y2+6x16+(x2+y24x5)=0是通过两圆交点的圆的方程。是通过两圆交点的圆的方程。证明：方程证明：方程x2+y2+6x16+(x2+y24x5)=0可以变形为可以变形为(1+)x2+(1+)y2+(64)x165=0,因为因为1，得，得 2222329925()1(1)xy 因为方程中等号右端大于因为方程中等号右端大于0，所以它是一个圆的方程，所以它是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。
