1、7.3 7.3 平面向量的平面向量的坐标表示坐标表示探究探究如图，导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量 ，导弹的飞行速度用向量 表示，若以点 o 为起点，作向量 ，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为 M 和 N.,1a2eaOP1e（2）用向量）用向量 ，表示表示向量向量 ；OMONOP（3）用单位向量）用单位向量 ，表示表示向量向量 .1e2eOPOMON1e2e1e1e1e（1）分别用单位向量）分别用单位向量 ,表示向量表示向量 ，；110eOM26eONONOMOPONOMOP21610ee
2、在平面上，建立一个直角坐标系在平面上，建立一个直角坐标系 xOy，设，设x轴正方向上的单轴正方向上的单位向量为位向量为 ，y 轴正方向上的单位向量为轴正方向上的单位向量为 .ijoxyija点，将它的起点移至任意向量对于直角坐标系平面内Oa，其终点坐标为),(yxP),(yxPOMPNOP为对角线，做矩形以MN形法则可知：由向量加法的平行四边ONOMOPi xOMj yONj yi xOPj yi xa平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示成成 的形式的形式.的坐标形式叫做向量我们把aj yi xa把把 叫做向量叫做向量 在在 x x 轴上的分向量
3、轴上的分向量;i xj yaa把有序数对（把有序数对（x,yx,y）叫做向量）叫做向量 在直角坐标系中的坐标在直角坐标系中的坐标把把 叫做向量叫做向量 在在 y y 轴上的分向量轴上的分向量;a的坐标表示）叫做向量（记做ayxa,22yxaj yi xa的模向量jia35)1(ib5)2(jc)3(例例1.写出下列向量的坐标表示写出下列向量的坐标表示)3,5(35)1(jia解：)0,5(05)2(jib),0(0)3(jic0)4()0,0(000)4(ji例例2 写出向量写出向量edcba,的坐标，并求它们的模长的坐标，并求它们的模长)3,1(3)1(jia解：103122a)1,3(3)
4、2(jib101322b)0,3(03)3(jib30322c)3,2(32)4(jid133222d)4,0(40)5(jie44022d思考交流思考交流（1）平行于）平行于x轴与轴与y轴的向量，坐标各有什么特点？轴的向量，坐标各有什么特点？（2）怎样通过坐标确定两个向量相等？）怎样通过坐标确定两个向量相等？平行于平行于x轴的向量，其纵坐标为轴的向量，其纵坐标为0平行于平行于y轴的向量，其横坐标为轴的向量，其横坐标为0当两个向量的横坐标与纵坐标分别相等时，两个向量相等当两个向量的横坐标与纵坐标分别相等时，两个向量相等练习练习 P 52P 52=（+)i+（+)j1x2x1y2y即即同理可得同
5、理可得两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算借助向量的坐标表示，可以向量的加法、减法和数借助向量的坐标表示，可以向量的加法、减法和数乘运算转化为向量坐标之间的代数运算乘运算转化为向量坐标之间的代数运算b-aba),(b),(a.12211，求，已知yxyxjyixjyix2211ba解：2121bayyxx，2121b-ayyxx，2.2.设设 ,为一实数，则为一实数，则),(yxc jyixj yi xc)()()(即即),(yxc 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的实数与向量的积的坐
6、标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标向量的相应坐标)3,5()4,3(.3ba，已知向量例b3a2baba，求)3,5()4,3(ba)1,8()3,5()4,3(ba)7,2()3,5(3)4,3(2b3a2)9,15()8,6()17,9(思考交流思考交流？否得出，能之，当这个关系成立时之间满足什么关系？反，时，当，设两个非零向量bayxyxbayxbyxa/),(),(22112211oxy),(11yxa),(22yxb1x2x1y2y由相似三角形知由相似三角形知2121yyxx1221yxyx01221yxyxba01221yxyx即方向相同与）（是何值时，当，向量例babaxxbx
7、a)2(/1),4()1,(.4得）由解：（011221yxyxba04-2x2x方向相同与时，）当（bax22问题解决：问题解决：如图，在直角坐标系中，已知两点如图，在直角坐标系中，已知两点 ，求向量求向量 的坐标的坐标.),(11yxM),(22yxNMN),(11yxM),(22yxNoxy2121,MNxx yy),(1212yyxxN若已知平面向量始、终点的坐标，若已知平面向量始、终点的坐标，则向量的坐标为其终点相应坐标减则向量的坐标为其终点相应坐标减去始点相应坐标去始点相应坐标)0,0(M练习练习 P 54P 54小结小结1 1、向量坐标定义、向量坐标定义.2 2、向量加、减法法则
8、、向量加、减法法则.3 3、实数与向量积的运算法则、实数与向量积的运算法则.4 4、向量平行、向量平行5 5、向量坐标、向量坐标01221yxyxba若若M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2)则则2121,MNxx yy 7.3 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 回回顾旧顾旧知知2学习学习目目标标1新授新授3小小结结4作作业业5课题学习目标n1、知识目标：、知识目标：1）了解平面向量的坐标表示的生成过程，会求所给向量的了解平面向量的坐标表示的生成过程，会求所给向量的坐标，并会通过向量的坐标求向量的模；坐标，并会通过向量的坐标求向量的模；2）能根据所给向量
9、的坐标进行加、减、数乘运算，能运用）能根据所给向量的坐标进行加、减、数乘运算，能运用坐标判定两向量是否平行，会求给定始终点坐标的向量坐标判定两向量是否平行，会求给定始终点坐标的向量的坐标的坐标；n2、能力目标：、能力目标：1）平面向量的坐标表示是一个几何问题代数化的典型例子，）平面向量的坐标表示是一个几何问题代数化的典型例子，通过学习重点发展学生的数形结合的能力；通过学习重点发展学生的数形结合的能力；2）渗透数形结合的思想，同时培养学生分析、比较、抽象、）渗透数形结合的思想，同时培养学生分析、比较、抽象、概括的数学思维能力概括的数学思维能力。回顾旧知回顾旧知1 1、向量加法的平行四边形法则、向
10、量加法的平行四边形法则（要点（要点：）2 2、向量的数乘运算、向量的数乘运算探究1如图，导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量 ，导弹的飞行速度用向量 表示，若以点o为起点，作向量 ，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N.1e2e,1aaOP1e2eaOP1e2eaOP1e2e如图，导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量 ，导弹的飞行速度用向量 表示，若以点o为起点，作向量 ，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，
11、垂足分别为M和N.1e如图，导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量 ，导弹的飞行速度用向量 表示，若以点o为起点，作向量 ，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N.1e如图，导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量 ，导弹的飞行速度用向量 表示，若以点o为起点，作向量 ，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N.1e探究1（2）用向量）用向量 ，表示表示向量向量 ；OMONOP（3）用）用单单位向量位向量
12、 ，表示向量表示向量 .1e2eOP（3）用）用单单位向量位向量 ，表示向量表示向量 .1e（3）用）用单单位向量位向量 ，表示向量表示向量 .1e（3）用）用单单位向量位向量 ，表示向量表示向量 .1e（1）分）分别别用用单单位向量位向量 ,表示向量表示向量 ，；OMON1e2e（1）分）分别别用用单单位向量位向量 ,表示向量表示向量 ，；（1）分）分别别用用单单位向量位向量 ,表示向量表示向量 ，；1e（1）分）分别别用用单单位向量位向量 ,表示向量表示向量 ，；1e（1）分）分别别用用单单位向量位向量 ,表示向量表示向量 ，；1e（1）分）分别别用用单单位向量位向量 ,表示向量表示向量
13、，；1e在平面直角坐标系内，起点不在坐标原在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探究探究2:2:oxya调用几何画板在平面直角坐标系内，起点不在坐标原在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探究探究2:调用几何画板可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到坐将向量的起点移到坐标的原点标的原点O处处.解决方案:Aoxyaa新授(1)(1)平面向量的坐标形式的生成过程平面向量的坐标形式的生成过程 :ij建系；建系；在在x x轴和轴和y y轴的正方向上取单向量轴的正方向上取单向量 和和 ；将平面内
14、任一向量将平面内任一向量 ,平移，起点移至坐标原点平移，起点移至坐标原点O,O,终点终点为为P P，设，设P P坐标为坐标为 ，得，得 ,则则 ;a,x yOPOPa OPxiy j 结论结论:平面直角坐标系中的任一平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示成向量都可以唯一地表示成 的形式的形式.j yi xa对对 进行分解，作矩形进行分解，作矩形OMPN;OMPN;OPOPOMON 得得 ；,OMxi ONy j 得得 ；新授(2)(2)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 叫做向量叫做向量 的坐标形式的坐标形式;axiy ja ,叫做向量叫做向量 在在 轴上的分向量轴上的分向量;i xj
15、yayx,ax ya 叫做向量叫做向量 的坐标表示；有序数对的坐标表示；有序数对 叫做向量叫做向量 在直角坐标系中的坐标在直角坐标系中的坐标,其中其中 叫做向量叫做向量 的的横坐标横坐标,叫做向量叫做向量 的纵坐标的纵坐标.),yx（aaayx例如例如,即向量即向量 的坐标是的坐标是 ,可以写成可以写成jia23 a)2,3()2,3(a向量向量 的模的模j yi xa22yxa13a例题：例例1 1：写出下列向量的坐标表示：写出下列向量的坐标表示（1）（2）（3）jia35 ib5jc解解：（：（1 1），（3-535jia）（0,5-5 ib（2 2），（0 jc（3 3）解解：由图可知：
16、由图可知1223aAAAAij(2,3)a23(2,3)bij 23(2,3)cij 23(2,3)dij 同理同理例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,13dcb例题：133222a例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求
17、它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,例例2如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标，并求它们的坐标并求它们的坐标.AA2A1dcba,练习：练习：书书P52.1.2.3.平面向量可以用坐标表示，向量的运算可平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？以用坐标来运算吗？（1）已知）已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，求求a+b,a b .（2）已知已知a=(x1,y1)和实数和实数 ，求求 a的坐标的坐标.如何计算？如何计算？调用几何画板探究探究2平面向量的坐标运算平
18、面向量的坐标运算1.已知已知a ，b ，求，求a+b，a-b),(11yx),(22yx 解：解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a+b同理可得同理可得a-b),(2121yyxx 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差新授平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算新授2.又设又设 ,为一实数为一实数,则则),(yxc jyixj yi xc)()()(即即),(yxc 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的
19、向量的相应坐标应坐标例题：例例3.3.已知已知 ,求求)4,3(a)3,5(b，ba，ba.32ba解解);1,8()3,5()4,3(ba);7,2-()3,5(-)4,3(-ba).17,9()9-15-)8,6()3,5(3-)4,3(23-2，（ba思考交流思考交流如图如图,设两个非零向量设两个非零向量 ,当当 时时,之间满足什么关系之间满足什么关系?反之反之,当这个关系当这个关系成立时成立时,能否得出能否得出?),(),(2211yxbyxaba2211,yxyxbayxo1x1y2x2yab1y2y设设1122,ax ybxy则则01221yxyxba例题：例例4 4 向量向量 ，
20、当，当 是何值时，是何值时，（1 1）；（；（2 2）与与 方向相同？方向相同？)1,(xa),4(xb xbaab解解（1 1），2014xxxba（2）当）当 时，时，与与 方向相同方向相同.2xab问题解决：问题解决：如图，在直角坐标系中，已知两点如图，在直角坐标系中，已知两点 ，求向量求向量 的坐标的坐标.),(11yxM),(22yxNMN),(11yxM),(22yxNoxy2121,MNxx yy 解解练习：练习：书书P54.1.2.3.小结：小结：1 1、向量坐标定义、向量坐标定义.2 2、向量加、减法法则、向量加、减法法则.3 3、实数与向量积的运算法则、实数与向量积的运算法则.4.4.向量平行向量平行5 5、向量坐标、向量坐标01221yxyxba若A(x1,y1),B(x2,y2)则 =(x2 -x1,y2 y1)AB作业：作业：P54/P54/习题习题 1-31-3
