1、人教版人教版两种数学思想两种数学思想如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：在河流的不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边一条岸边B点，选对岸正对的一棵树点，选对岸正对的一棵树A；沿河岸直走；沿河岸直走20步有一棵步有一棵树树C，继续前，继续前 行行20步到达步到达D处；从处；从D处沿岸垂直的方向行处沿岸垂直的方向行走，当走，当到达到达A树正好被树正好被C树遮挡住的树遮挡住的E处停止行走；测得处停止行走；测得DE的长就是河的长就是河宽宽AB.请你证明他们
2、做法的正确性请你证明他们做法的正确性由做法知：由做法知：ABC EDC(ASA)ABED，即他们的做法是正确的即他们的做法是正确的建模思想建模思想1如图，已知如图，已知ABAE，CD，BCED，点，点F是是CD的中点，则的中点，则AF平分平分BAE，为什么？，为什么？转化思想转化思想1连接连接BF，EF.BCF EDF(SAS)BFEF.ABF AEF(SSS)BAFEAF.AF平分平分BAE.四种思考方法四种思考方法1如图，已知如图，已知ABC，以，以 AB，AC为边分别向为边分别向ABC外作等边外作等边ABD和等边和等边ACE，连接，连接BE，CD，请你完成图形，请你完成图形(尺规作图，尺
3、规作图，不写作法，保留作图痕迹不写作法，保留作图痕迹)，并证明：，并证明：BECD；构造全等三角形法构造全等三角形法完成作图，如图所示完成作图，如图所示解：解：证明：证明：ABD和和ACE都是等边三角形，都是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60.BADBACCAEBAC，即即CADEAB.CAD EAB.CDEB，即，即BECD.点点变式：如图，已知变式：如图，已知ABC，以，以AB，AC为边分别向为边分别向ABC外作正方外作正方形形ABFD和正方形和正方形ACGE，连，连 接接BE，CD，猜想，猜想BE与与CD有什么有什么数量关系？数量关系？并说明理由并说明理由 BECD.理由如
4、下：理由如下：四边形四边形ABFD和四边形和四边形ACGE都是正方形，都是正方形，ADAB，ACAE，BADCAE 90.BADBACCAEBAC，即，即 CADEAB.CAD EAB.CDEB，即，即BECD.1构造全等三角形法构造全等三角形法已知：如图，已知：如图，ABAC，BD CD，DEAB于点于点E，DFAC于点于点F，求证：，求证：DEDF.构造角平分线法构造角平分线法证明：证明：连接连接AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABD ACD，BADCAD，AD是是EAF的平分线的平分线DEAB，DFAC，DEDF.2证明证明：过点：过点E作作EGAF，垂足为点，垂足为点G.连接连接E
5、F.BAEEAF，AE为为BAF的平分线的平分线又又EBAB，EGAF，EBEG.在在RtABE和和RtAGE中，中，EBEG，AEAE，RtABE RtAGE(HL)，ABAG.3截长截长(补短补短)法法如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E是是BC的中点，的中点，点点F在在CD上，上，EAFBAE.求证：求证：AF BCFC.点点在正方形在正方形ABCD中，中，ABBC，BCAG.又又点点E是是BC的中点，的中点，BEECEG.在在RtEGF和和RtECF中，中，EGEC，EFEF，RtEGF RtECF(HL)GFCF，AFAGGFBCFC.如图，在正方形如图，在正方形ABC
6、D中，点中，点E是是BC的中点，的中点，点点F在在CD上，上，EAFBAE.求证：求证：AF BCFC.3截长截长(补短补短)法法 如图，如图，CE，CB分别是分别是ABC，ADC的中线，的中线，且且ACBABC.求证：求证：CD2CE.倍长中线法倍长中线法4如图，延长如图，延长CE到点到点F，使，使EFCE，连接连接FB，过点过点A作作AGBC于点于点G，在在BEF和和AEC中，中，BEAE，BEFAEC，EFEC，BEF AEC(SAS)EBFEAC，BFAC.倍长中线法倍长中线法4 如图，如图，CE，CB分别是分别是ABC，ADC的中线，的中线，且且ACBABC.求证：求证：CD2CE.
7、则则AGCAGB90.ABCACB，AGAG，AGC AGB.ACAB.又又ABCACB，CBDBACACBEBFABCCBF.CB是是ADC的中线，的中线，ABBD.又又ABAC，ACBF，BFBD.倍长中线法倍长中线法4 如图，如图，CE，CB分别是分别是ABC，ADC的中线，的中线，且且ACBABC.求证：求证：CD2CE.在在CBF和和CBD中，中，CBCB，CBFCBD，BFBD，CBF CBD(SAS)CFCD.CD2CE.倍长中线法倍长中线法4 如图，如图，CE，CB分别是分别是ABC，ADC的中线，的中线，且且ACBABC.求证：求证：CD2CE.如图，如图，ABCD，CE，BE分别平分分别平分BCD和和 CBA，点，点E在在AD上，求证：上，求证：BCABCD.能力拓展能力拓展通过这节课的学习，你有什么收获？通过这节课的学习，你有什么收获？我学会了我学会了使我印象最深的是使我印象最深的是我感到最困难的是我感到最困难的是最使我受启发的是最使我受启发的是
