1、第一讲 集 合第一章：集合与常用逻辑用语考情精解读A考点帮知识全通关目录CONTENTS命题规律聚焦核心素养考点1 集合的含义与表示考点2 集合间的基本关系考点3 集合的基本运算考法1 集合的含义与表示考法2 集合间的基本关系考法3 集合的基本运算 B考法帮题型全突破C方法帮素养大提升专题 集合中的创新问题理科数学 第一章：集合与常逻辑用语考情精解读命题规律聚焦核心素养理科数学 第一章：集合与常逻辑用语考点内容考纲要求考题取样对应考法1.集合的含义与表示理解2018全国,T2考法12.集合间的基本关系理解2015重庆,T1考法23.集合的基本运算掌握2018全国,T2考法3命题规律1.命题分析
2、预测 从近五年的全国卷的考查情况来看,该讲是全国卷的必考内容,设题稳定,难度较低,均以集合的基本运算为主,同时考查不等式的求解,设在试卷的第1题或第2题,分值5分.2.学科核心素养 本讲主要以函数、方程、不等式为载体,以集合的语言和符号为表现形式,考查考生的分类讨论思想和数学运算素养.聚焦核心素养A考点帮知识全通关考点1 集合的含义与表示考点2 集合间的基本关系考点3 集合的基本运算理科数学 第一章：集合与常逻辑用语1.集合的有关概念 考点1 集合的含义与表示(1)由集合的概念可知,一组对象能否组成集合,其依据是该组对象是否具有“确定性”.(2)集合的元素必须满足“三性”:确定性、互异性、无序
3、性.(3)集合的表示方法有:列举法、描述法、图示法.(4)使用描述法xI|P(x)表示集合时,要先弄清楚元素所具有的类型.2.常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N+ZQRC考点2 集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都在集合B中(即若xA,则xB)AB(或BA)或 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A,B中的元素完全相同或集合A,B互为子集A=B注意 (1)AB(子集)(2)涉及集合之间的关系时,勿忘空集和集合本身的可能性.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语规律总结
4、集合间的基本关系必须熟记的3个结论1.空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集,即 A,B(B).2.任何一个集合是它本身的子集,即AA.空集只有一个子集,即它本身.3.含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语考点3 集合的基本运算（重点）运算符号语言Venn图运算性质交集AB=x|xA且xB(AB)A,(AB)B;A=AA;AB=BA;AB=AAB,A=并集AB=x|xA或xBA(AB),B(AB);A=AA;AB=BA;AB=BAB,A=A补集UA=x|xU且x AUU=,U=U,U(U
5、A)=A,A(UA)=U,A(UA)=,U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB)B考法帮题型全突破考法1 集合的含义与表示考法2 集合间的基本关系考法3 集合的基本运算理科数学 第一章：集合与常逻辑用语考法1 集合的含义与表示1.集合元素的“三性”示例1 2014福建,16,4分已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 .解析 可分下列三种情形:(1)若只有正确,则a2,b2,c=0,所以a=b=1,与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有正确是不可能的;(2)若只有正确,则b=2,a=2,c=0,这与集合中元
6、素的互异性相矛盾,所以只有正确是不可能的;(3)若只有正确,则c0,a=2,b2,所以b=0,c=1,所以100a+10b+c=1002+100+1=201.突破攻略 解决本例的关键在于集合元素“三性”(确定性、互异性、无序性)的灵活运用,即:一方面利用“三性”寻找解题突破,另一方面在求出有关参数后,应检查集合的元素是否满足“三性”(特别是互异性).理科数学 第一章：集合与常逻辑用语2.求集合中元素个数 示例2 2018全国卷,2,5分理已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.4理科数学 第一章：集合与常逻辑用语解法二 根据集合A的元素特征及圆
7、的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即集合A的元素个数为9.答案 A理科数学 第一章：集合与常逻辑用语答题模板 求集合中元素个数的步骤(1)确定集合中的元素是什么,即是数还是点;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合法求解.易错警示 当集合用描述法表示时,要注意集合的元素表示的意义是什么.集合x|f(x)=0 x|f(x)0 x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)代表元素方程f(x)=0的根.不等式f(x)0的解.函数y=f(x)的自变量的取值.函数y=f(x)的函数值.函数y=f(x)图象上的点.理
8、科数学 第一章：集合与常逻辑用语理科数学 第一章：集合与常逻辑用语拓展变式22017全国卷,1,5分理已知集A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x,则AB中元素的个数为 A.3B.2C.1D.0理科数学 第一章：集合与常逻辑用语2.BA表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以AB中元素的个数为2.考法2 集合的基本关系示例3 (1)已知集合A=xZ|x2-2x-30,B=y|y=2x,则AB子集的个数为A.10B.16C.8D.7(2)已知集合A=0,1,B=x|xA,则下列集合A与B的关系中正确的是A.BAB
9、.ABC.BAD.AB思维导引(1)根据集合A,B,确定集合AB,代入公式求解.(2)确定集合B,即可判断集合A,B的关系.解析(1)(公式法)因为A=-1,0,1,2,3,B=(0,+),所以AB=1,2,3,其子集的个数为23=8.(2)因为xA,所以B=,0,1,0,1,又集合A=0,1是集合B中的元素,所以AB.答案(1)C(2)D注意 第(2)题易错选B.题中所给的两个集合比较特殊,集合B中的元素就是集合,当集合A是集合B中的元素时,A与B是属于关系.点评 解题时要思考两个问题:(1)两个集合中的元素分别是什么;(2)两个集合中元素之间的关系是什么.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语
10、方法总结 1.子集个数的求解方法(1)穷举法:将集合的子集一一列举出来,从而得到子集的个数,适用于集合元素个数较少的情况.(2)公式法:含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.2.判断集合之间关系的方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系.(2)用列举法表示集合,从元素中寻找关系.(3)利用数轴,在数轴上表示出两个集合(集合为数集),比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合的关系.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语示例4已知集合A=x|y=lg(x-x2),B=x|x2-cx0,若AB,则实数c的取值范围是 A.(0,1B.1,+)C.
11、(0,1)D.(1,+)思维导引思路一 思路二 取特殊值进行排除求解.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语解析解法一由题意知,A=x|y=lg(x-x2)=x|x-x20=(0,1),B=x|x2-cx0=(0,c).由AB,画出数轴,如图所示,得c1.解法二因为A=x|y=lg(x-x2)=x|x-x20=(0,1),取c=1,则B=(0,1),所以AB成立,可排除C,D;取c=2,则B=(0,2),所以AB成立,可排除A.答案B理科数学 第一章：集合与常逻辑用语归纳总结 已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件,应注意子集与真子集的区别,此类
12、问题多与不等式(组)的解集相关.常常需要利用数轴、Venn图辅助分析.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语易错警示 由于是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A满足AB或A B,则有A=和A两种可能,此时应分两种情况讨论.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语理科数学 第一章：集合与常逻辑用语考法3 集合的基本运算示例5 (1)2018全国卷,2,5分理已知集合A=x|x2-x-20,则RA=A.x|-1x2 B.x|-1x2C.x|x2D.x|x-1x|x2(2)2017全国卷,1,5分理已知集合A=x|x1,B=x|3x1,则A.AB=x|x1 D.AB=解析(1)解法一 A=x|(x-2)(
13、x+1)0=x|x2,所以RA=x|-1x2.解法二 因为A=x|x2-x-20,所以RA=x|x2-x-20=x|-1x2.(2)因为集合A=x|x1,B=x|x0,所以AB=x|x0,AB=x|x-1.注意 这里a不能取-1,因为当a=-1时,B=x|x-1,这时AB=,不符合题意.(2)根据并集的概念,可知a,a2=4,16,故a=4.答案(1)D(2)D理科数学 第一章：集合与常逻辑用语答题模板根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般
14、利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语拓展变式4(1)2019三湘名校联考若全集U=R,集合A=x|x2-5x-60,B=x|2x1,则图中阴影部分表示的集合是A.x|2x3B.x|-1x0C.x|0 x6D.x|x-1(2)2019河北九校第二次联考已知集合M=x|x2,N=x|x2-x0,则下列正确的是()A.MN=R B.M(RN)=R C.N(RM)=RD.MN=M理科数学 第一章：集合与常逻辑用语4.(1)C 由x2-5x-60,得-1x6,所以
15、A=x|-1x6.由2x1,解得x0,所以B=x|x0.又题图中阴影部分表示的集合为(UB)A,UB=x|x0,所以(UB)A=x|0 x6,故选C.(2)B 因为N=x|x2-x0=x|0 x1,所以RN=x|x0或x1,所以M(RN)=R.故选B.理科数学 第一章：集合与常逻辑用语C方法帮素养大提升专题 集合中的创新问题集合中的创新问题理科数学 第一章：集合与常逻辑用语示例72015湖北,9,5分理已知集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合A B=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则A B中元素的个数为
16、A.77B.49C.45D.30专题 集合中的创新问题解析集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,所以集合A中有 5个元素(即5个点),即图中圆内及圆上的整点.集合B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ中有25个元素(即25个点),即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点.集合A B=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B中的元素可看作图中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点,共77-4=45(个).答案C理科数学 第一章：集合与常逻辑用语示例8 设整数n4,集合X=1,2,3,n.令集合S=(x,y,z)|x,y,zX,
17、且三条件xyz,yzx,zxy恰有一个成立.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是A.(y,z,w)S,(x,y,w)SB.(y,z,w)S,(x,y,w)SC.(y,z,w)S,(x,y,w)SD.(y,z,w)S,(x,y,w)S理科数学 第一章：集合与常逻辑用语解析 解法一(直接法)若(x,y,z)S,则xyz,yzx,zxy,这三个式子中恰有一个成立;若(z,w,x)S,则zwx,wxz,xzw,这三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况:第一种,成立,此时wxyz,于是（y,z,w)S,(x,y,w)S;第二种,成立,此时xyzw,于是（y,z,w)S,(x,
18、y,w)S;第三种,成立,此时yzwx,于是（y,z,w)S,(x,y,w)S;第四种,成立,此时zwxy,于是（y,z,w)S,(x,y,w)S.综上所述,可得（y,z,w)S,(x,y,w)S.解法二(特殊值法)不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)S,(x,y,w)=(2,3,1)S.答案 B理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语解后反思(1)遇到新定义问题,应耐心读题.(2)按新定义的要求“照章办事”,逐步分析、验证、运算,使问题得以解决.(3)对于选择题,可以结合选项通过验证,采用排除、对比、取特殊值等方法来解决.理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语归纳总结1.紧扣新定义,首先分析新定义的特点,常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到解题的过程中,这是解答新定义问题的关键所在.2.用好集合的性质.集合的性质(元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件,在关键之处用好集合的性质.
