1、二次函数专题复习二次函数专题复习二二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值次函数中几何图形线段、周长、面积的最值类型一 线段最值问题1.(综合与探究）如图,直线y=-x+4交x轴于点A,交y轴于点C,抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2),点D为抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,交直线AC于点P,设点D的横坐标为m.12(1)求抛物线的解析式.(2)当点D在直线AC下方的抛物线上运动时,求出PD长度的最大值.类型二 几何图形周长最值2.如图,已知抛物线y=ax2+c过点(-4,5),过定点F(0,2)的直线l:y=kx+2与抛物线交于A,B两点,点B在点A的右侧.5(1,
2、)4(1)求抛物线的解析式;(2)设点D(a,0)在x轴上运动,连接FD,作FD的垂直平分线与过点D的x轴的垂线交于点I,判断点I是否在抛物线y=ax2+c上,并证明你的判断;(3)若k=1,设AB的中点为M,抛物线上是否存在点P,使得PMF周长最小,若存在,求出周长的最小值,若不存在,说明理由.类型三 几何图形面积最值3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),顶点为M.(1)求抛物线的解析式和点M的坐标;(2)点E是抛物线BC段上的一个动点,设BEC的面积为S,求出S的最大值,并求出此时点E的坐标.【解析】(1)抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A
3、(-1,0),B(3,0),解得 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则M(1,4).a b 3 09a 3b 3 0 ，a1.b 2(2)如图,作EFy轴交BC于点F,B(3,0),C(0,3),直线BC的解析式为:y=-x+3.设E(m,-m2+2m+3),则F(m,-m+3).EF=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m.S=EFOB=(-m2+3m)3=当m=时,S最大=.此时,点E的坐标是121223327(m).228322783 15(,).2 44.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),C(3,0),点B为抛物线顶点,直线BD为抛物线的对称
4、轴,点D在x轴上,连接AB,BC,ABC=90,AB与y轴交于点E,连接CE.(1)求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式;(2)点P为第一象限抛物线上一个动点,设PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B和点C的坐标分别为(3,0),(0,-3),抛物线的对称轴为x=1,D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)点E为线段BC上一动点,过点E作x轴的垂线,与抛物线交于点F,求四边形ACFB面积的最大值,以及此时点E的坐标.练习反馈：1.如图,抛物线y=x2+bx+c与
5、x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)求此函数的解析式.(2)判断ACD的形状,并说明理由.练习反馈：2.若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2-ax有最大值还是最小值,并求出其最值.练习反馈：3.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.练习反馈：4.二次函数y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BCx轴,
6、垂足为C(-3,0).(1)填空:b=,c=.(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过点N作NPx轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值.(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的点N的坐标.练习反馈：5.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)求此函数的解析式.(2)在对称轴上找一点P,使BCP的周长最小,求出此时P点坐标及BPC的周长.练习反馈：6.如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线yx2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对
7、称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GDGB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；练习反馈：7.在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请
8、说明理由练习反馈：8.如图，已知抛物线yx2bxc与直线AB相交于A(3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；(2)连接BC，求ABC的面积；练习反馈：9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为 ，求a的值；练习反馈：10.如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式.(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
