1、1第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.复数代数运算复数代数运算2.复数的各种表示法复数的各种表示法3.乘幂与方根运算公式乘幂与方根运算公式4.复数方程表示曲线以及不等式表示复数方程表示曲线以及不等式表示区域区域22117310,.xxxxx 已知求的值例例2 2解解),1)(1(123 xxxx因为因为,012是一个三次单位根故而xxx1,37211 xxxxx从而从而.0123711xxxxx所以3211,1.nn设 是任意一个不等于 的 次单位根 求的值例例3 3解解1 n 因为因为121 n 所以所以.011 n424(49)0.zizi解方程例例4 4解解.0)94(4)2(
2、422 iiizz原方程为原方程为iiz9)2(2 即即iiz92 于是于是1,0,222sin222cos3 kkik,22322231iz 故故.22322232iz 5;0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例5 5 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区域域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域.0)(Im zxyO 是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域.,y y解解 )(Imz6622)3(zz 是以是以 为焦点为焦点,以以3为半为半长轴的椭圆
3、闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不是区域域.2 32,32arg3)4(zz且且 不是区域，因为图中不是区域，因为图中32arg,3arg zz解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点.oy23xoxy 3 2 2 37例例6 6 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？zw1 zw22(1)9,(2)2xyx解解9 222 zyx因为因为又又iyxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圆平面上的圆.w22yxiyx ),(91iyx (1)8.2)2(x解
4、解iyiyxz 2因为因为iyzw 211所以所以224,42yyvyu 22222)4(4yyvu 因因为为02 22 uvu所所以以表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.w 0,4141ivuyiy 242,2412uy 1614122 vu9第二章第二章 解析函数解析函数1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别（函数解析性的判别（C-R方程）方程）3.几个常用初等函数几个常用初等函数103.3.初等解析函数初等解析函数1)1)指数函数指数函数.)sin(cos.的指数函数的指数函数为为称称设设zyiyeeiyxzxz 定义定义;0,0,)(zx
5、zeeeza则则对任意复数对任意复数性质性质;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上处处解析平面上处处解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以iedz 11 2)2)三角函数三角函数.,2cos.,2sin余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数定义定义称为称为称为称为izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zz 性质性质.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(为周期为周期以以正弦函数和余弦函数都正弦函数和
6、余弦函数都12(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz .cossintan正切函数正切函数定义定义称为称为zzz .cos,sin,1cossin)5(22不是有界函数不是有界函数但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质.tan)tan(:tan)2(zzz 为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以 13其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1ec zzs 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割
7、函数余割函数.cos1)(tantan)3(2zzz 在解析区域有在解析区域有 143 3）对数函数）对数函数.Ln ,)()0(zwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln).,2,1,0(k所以所以支支的的数数称为对数函称为对数函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz ).,2,1,0(2lnLn kikzz15.,的一个分支的一个分支称为称为可确定一个单值函数可确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zkLn;Ln)1(是一个无穷多值的函数是一个无穷多值的函数z性
8、质性质;LnLnLn,LnLnLn,0,0)2(2121212121zzzzzzzzzz 则则设设且且处解析处解析处处实轴外实轴外在平面上除去原点和负在平面上除去原点和负,ln,)3(z.1)(lnzz 164)4)幂函数幂函数:,0,的幂函数的幂函数用下列等式定义用下列等式定义对于对于是任意复数是任意复数设设zz 定义定义).0(Ln zezwz .0,0,zz时时补充规定补充规定是正实数时是正实数时当当;,lnLn.,)1(ln的主值的主值称为幂函数称为幂函数时时取主值取主值当当是一个无穷多值函数是一个无穷多值函数一般说来一般说来 zezzzzz 性质性质.)()2(1 zz17典型例题典
9、型例题.)(33仅在原点有导数仅在原点有导数证明函数证明函数iyxzf 例1例1证证zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),(yxyixyx.00)(处的导数为处的导数为在在故故 zzf.在在再证其他处的导数不存再证其他处的导数不存18)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 则则沿路径沿路径若若,0yyz 030300)()(xxxxzzzfzf 则则沿路径沿路径若若,0 xxz)(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 当当.)(,000的导数不存在的导数不存在否则否则故除非故除非zf
10、yx )(3020 xxx当当19例例2 2 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2,12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上处处上处处在直线在直线由解析函数的定义知由解析函数的定义知 yzf故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.)(zf时，时，当且仅当当且仅当21 y20例例3 3 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cb
11、a,解解 设设ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故.3,3,1 cba21 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,000iyxz z0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf 当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例4 4 研究研究 的可导性的可导性
12、.zzzfRe)(22)(01)()(000yyizzzfzf ,1 当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知处不可导且由处不可导且由在在故故00)(zzzf例例4 4 研究研究 的可导性的可导性.zzzfRe)(.)(处处处处不不可可导导zf23例例5 5 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22.kz),2,1,0(k24例例6 6 求出求出 的值的值.2)2(解解)2ln(22)2(e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike),2,1,0(k
13、25解解例例7 7 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1(2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek),2,1,0(k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1(ieii 2ln24242lnkike26 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1.复积分的计算公式及基本性质复积分的计算公式及基本性质2.复积分的基本定理复积分的基本定理 3.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式27积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算（1 1）化成线积分）化成
14、线积分且且存在存在则积分则积分连续连续沿逐段光滑的曲线沿逐段光滑的曲线设设,d)(,),(),()(CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则284.积分的性质积分的性质;d)(d)()1(CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3(CCCzzgzzfz
15、zgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连结而成连结而成由由设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)5(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线29 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理).d)(,)(无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的
16、任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数30 闭路变形原理闭路变形原理,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末31).,:(,212
17、1顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC.0d)()2(zzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf32柯西积分公式柯西积分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.则有则有是
18、圆周是圆周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf33 高阶导数公式高阶导数公式.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 34.),(0,),(2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如
19、果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.35.,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为和函数中和函数中的两个调的两个调内满足方程内满足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,.),(),(,),(的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共内的解析
20、函数的虚部为实部的共轭调和函数轭调和函数.共轭调和函数共轭调和函数36 典型例题典型例题例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线.czzd)0,0()1,1(;10,ttytx)0,0()0,1(,10,0,:1 tytxC)0,1()1,1(10,1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1,1()0,1(C1C2COxy;1 37zzzzzzcccddd)221 1010d)1(dtiittt i
21、2121.1i 说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.38.10,d)1(3光滑曲线的闭与是不经过其中计算CzzzeCz例5例5解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也不包含也不包含既不包含既不包含若封闭曲线若封闭曲线,10)1C,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz .0d)1(3 Czzzze古萨基本定理得古萨基本定理得由柯西由柯西39则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线,10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(
22、2 zzzei.2 i 40则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线,01)3C,)(内解析内解析在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(!22fi 132)22(zzzezzi.ie 41,01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1,0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据复合闭路定理有据复合闭路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzex
23、yOC 11C2C42 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分43解解0)1(1)1()!1(2d)1(znznnizz;0 0)1(1)()!1(2d)2(znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 为大于为大于1的自然数的自然数.n 例例6 6 计算下列积分计算下列积分所以所以的奇点的奇点和和是是因为因为,10nznzezz 44).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfy
24、xvxyyxyxu 及解析函数及解析函数轭调和函数轭调和函数求其共求其共已知调和函数已知调和函数例7例7解法一解法一 不定积分法不定积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又45,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为任意常数为任意常数因此因此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(222
25、2.)2(22iCiz 46解解xuyv 因为因为yyxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因为因为)666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(.0)0(f例例8 8 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件,312322yxyx 47)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0(f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且,0 C4
26、8第四章第四章 级级 数数1、复数列、复级数收敛充要条件、复数列、复级数收敛充要条件2、幂级数收敛半径求法幂级数收敛半径求法3、函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数49,!21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)4(1253 nzzzzznn常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式)1(z)1(z)(z)(z,)1()1(111)3(02 nnnnnzzzzz50,)!2()1(!4!21cos)5(242 nzzzznn)(z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)
27、1(z 32!3)2)(1(!2)1(1)1()7(zzzz ,!)1()1(nznn )1(z51根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法将函数展为洛朗级数的方法将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法直接展开法,d)()(2110 Cnnzfic 根据洛朗定理求出系数根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf 然后写出然后写出52典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因为因为发散，
28、发散，121nn收敛，收敛，.21 1发散发散所以所以 nnin53典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.;251)2(1 nni解解,226251 nni 因为因为,0226lim nn.251 1发散发散所以所以 nni54;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因为因为 614121,51311 i.1收敛收敛故故 nnni收敛收敛收敛收敛典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.55.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 设设innnn321limlim 1 因为因为131,1 由正项级数的比值判别法知由正项级数
29、的比值判别法知 1)32(1nni绝对收敛绝对收敛.典型例题典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.56例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径.)4(!)3(!)2()1(100022kknnnnnnzznnznz解解nnncc1lim )1(由由22)1(lim nnn,1.1 R得得nnncc1lim )2(由由)!1(!lim nnn,0.R得得nnncc1lim )3(由由!)!1(limnnn ,.0 R得得57 12)4(kkz .,1;,0,22knknCn即即因为级数是缺项级数因为级数是缺项级数,1lim1 nnnCR故故.1 R58分析：分析：
30、采用间接法即利用已知的展开式来求采用间接法即利用已知的展开式来求.解解)(21cos izizzzeeeze 因为因为21)1()1(ziziee 00!)1(!)1(21nnnnnnnzinzinnnnziin)1()1(!1210 )(z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)(0 z解析函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方法59nnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn )(z由于由于,214iei ;214iei 60例例7 7.1 )1(1 3内的泰勒展开式内的泰勒展开式在在求函数求函数 zz分析：分
31、析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解 )1(21)1(1 13zz因为因为)1(z所以所以 0321)1(1nnzz22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1(z61例例9 9.0 )1)(3(785)(2234的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法.即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后,应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解2)1(1322)(zzzzf1313131 zznnnz 0131)3(z)(1111zz nnnz 0)1()1(z62 11
32、12)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1(z故故2)1(1322)(zzzzf,)1()1(1112 nnnznz)1(z两端求导得两端求导得63nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn)1()1(2 nnnnznz 2132)1()1(921312)1(z64,0 内内在在 z nzznzzzez!1!2111 2212所以所以.!1!31!2122 nznzzz 0!nnznze因为因为例例1010.0 12的去心邻域的洛朗级数的去心邻域的洛朗级数在在求求 zezz解解,!101 nnzzne65例例111
33、11()()(2).fzziz将在 下 列 圆 环 域 内展 开 成 洛 朗 级 数,21)1(z.2)2(z解解,21 )1(内内在在 z有有.12,1 zzi )2)(1)(zizzf zizi2112166 21211121zzizi 00112)(21nnnnnnzzii.221)(210110 nnnnnnzizii,2 )2(内内在在 z12,1 zzi 21121)(zizizf故故67 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的是不同的
34、.68,1 时时在在 z zzzzzf111)1(1)(2 zzz11111 211111zzzz解解例例1212.)1(1)(,3 ,d)(2 zzzfzCzzfC且且周周为正向圆为正向圆其中其中的值的值求积分求积分69 d)()(21 10 CnnzfiC因因为为 d)(21 1 CfiC所所以以12d)(iCzzfC.0d)1(12 zzzC故故 4323211zzzz 4321zz70 第五章第五章 留留 数数1、孤立奇点的判别、孤立奇点的判别2、留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理711）定义定义 如果如果函数函数)(zf0z在在 不解析不解析,但但)(zf在在0z的某一去心邻域
35、的某一去心邻域 00zz内处处解析内处处解析,则称则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.孤立奇点的概念与分类孤立奇点的概念与分类孤立奇点孤立奇点奇点奇点2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点可去奇点;ii)极点极点;iii)本性奇点本性奇点.72定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那末那末0zz 0z)(zf孤立奇点孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.i)可去奇点可去奇点73ii)极点极点 01012020)()()()(
36、czzczzczzczfmm 0,1 mcm )(01zzc,)()(1)(0zgzzzfm 0zz 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的10)(zz,)(0mzz 负幂项负幂项,其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成74极点的判定方法极点的判定方法0z在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 )(zg0z.0)(0 zg)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.
37、(a)由定义判别由定义判别(b)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(c)利用极限利用极限 )(lim0zfzz判断判断.75如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,注意注意:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为.iii)本性奇点本性奇点76i)零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在,0)(0 z解析且解析且m为某一正整数为某一正整数,
38、那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点.3)函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系零点与极点的关系如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点,那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.77 2.留数留数记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的的系系数数幂幂项项 zzc为为中中心心的的圆圆环环在在即即0)(zzf定义定义 如果如果)(0zfz 为为函函数数的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含0z的的任意一条简单闭曲
39、线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称为.)(0的的留留数数在在zzf以以781)留数定理留数定理 设函数设函数)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤nzzz,21外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末 nkkCzzfizzf1),(Res2d)(立奇点立奇点留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.79(1)如果如果0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点,则则.0),(
40、Res0 zzf)()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末0z)(zf a)(2)如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点,则需将则需将成洛朗级数求成洛朗级数求1 c)(zf)(zf展开展开(3)如果如果0z为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf2)留数的计算方法留数的计算方法80 c)设设,)()()(zQzPzf)(zP及及)(zQ在在0z如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那末0z为一级极点为一级极点,且有且有都解析，都解析，.)()(),(Res000zQzPzzf 如果如果 为为 的的 级
41、极点级极点,那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz b)81.),(Res1 Czf也可定义为也可定义为 Czzfid)(21记作记作 Czzfizfd)(21),(Res1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 z0内解析内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分那末积分值为值为)(zf在在 的留数的留数.的值与的值与C无关无关,则称此定则称此定 Czzfid)(21 3)无穷远点的留数无穷远点的留数82如果函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只
42、有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf 定理定理83在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算 0,11Res),(Res2zzfzf计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法:0,11Res2d)(2zzfizzfC此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.84典型例题典型例题解解:0)()1(内的洛朗展式为内的洛朗展式为在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7!5!31sin)(75333 !9!7!5!31642zzz.)(,)(0的本性奇点的本性奇点是
43、是的可去奇点的可去奇点是是得得zfzzfz 求函数求函数sin()zzf zz3奇点及类型。奇点及类型。85例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.,11sin)1(z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz解解(1)在在 内内,10z,)1(!311111sin3 zzz11,)1sin(1Res Cz所以所以.1 86,!5!3sin53 zzzz因为因为内内，所所以以在在 z0 5322!51!3111sinzzzzzz 3!51!31zzz120,1sinRes Czz故故.61 解解zz1sin)2(287zzsin1)3(解解),2,1,0(nn
44、z为奇点为奇点,0 n当当 时时 为一级极点，为一级极点，nzznznzsin1)(lim 因为因为)sin()1(limnzznznnz ,1)1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是二级极点是二级极点知知 z,1 88,1)1(,sin1Resnnzzn 所以所以 zzzzzzzsin1ddlim0,sin1Res20zzzzz20sincossinlim .0 89 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 计算计算.d)1)(3(1255zzzz ),(Res3),(Res),(Res51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(
45、lim3),(Res53 zzzzfz,2421 90 55511311)1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz,0),(Res zf所所以以 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 91积分变换积分变换1、傅里叶变换的概念、基本性质、傅里叶变换的概念、基本性质2、傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用9222()()(),().dy ty tf tdtf t 求求常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的解解 其其中中为为未未知知函函数数例例93解解=设()Y),(ty()F )(tf方程两端取方程两端取Fourier变换，得变换，得：2()()()(),jYYF 21()()1YF 所以所以Fourier上上式式两两端端再再逆逆变变换换，可可得得方方程程的的解解211()()21j ty tFed|1()21()2ttef tfed P11 3(1)
