1、2022中考冲刺数学专题12方案设计问题【备考点睛】方案设计问题是指解决问题的方案决策问题。同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种。随着课程改革的全面展开和逐步深化,有利于考察学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,有利于培养学生重视动手操作和实践活动,更为重要的是能够让学生养成用数学的意识。【经典
2、例题】类型一 利用不等式进行设计例题1 （2022 福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：注:获利=售价-进价（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案 并直接写出其中获利最大的购货方案甲乙进价元/件1535售价元/件2045解答：（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件 根据题意，得 解得： 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件 （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进160-a件根据题意，得 解不等式组，得 65
3、a68 a为非负整数，a取66，67 160-a相应取94，93 答：有两种构货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件其中获利最大的是方案一 例题2 整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一根据国家药品政府定价办法，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为元经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为元那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元
4、 （2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元请问购进时有哪几种搭配方案解答：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒元，乙种药品的出厂价格为每盒元 则根据题意列方程组得： 解之得： 5（元） 63=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是元和18元（2）设购进甲药品箱（为非负整数），购进乙药品（100-）
5、箱，则根据题意列不等式组得： 解之得： 则可取：58，59，60，此时100-的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱； 类型二 利用二次函数进行设计例题3 （2022 河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格（元/件）与月销量（件）的函数关系式为 =150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额成本广告费）若只在国外销售，
6、销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10a40），当月销量为（件）时，每月还需缴纳2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额成本附加费）（1）当=1000时，= 元/件，w内= 元；（2）分别求出w内，w外与间的函数关系式（不必写的取值范围）；（3）当为何值时，在国内销售的月利润最大若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大参考公式：抛物线的顶点坐标是解答：（1）140 57500；（2）w内=（-20）-62500
7、 = 2130 ，w外 = 2（150）（3）当=6500时，w内最大；分由题意得 ， 解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）所以 a=30 （4）当 =5000时，w内 = 337500， w外 =若w内 w外，则a；若w内 = w外，则a=；若w内 w外，则a所以，当10a时，选择在国外销售；当a=时，在国外和国内销售都一样；例题4 （2022湖北恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要
8、支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售（利润销售总金额收购成本各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润最大利润是多少 解答：（1）由题意得与之间的函数关系式为=（110，且为整数）（2）由题意得：-102000-340=22500解方程得：=50 =150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。（2）设最大利润为，由题意得=
9、-10 2000-340 当时，100天110天 存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元类型三 利用几何知识进行设计例题5（2022湖北恩施自治州）1计算:如图,直径为的三等圆O、O、O两两外切，切点分别为A、B、C ，求OA的长（用含的代数式表示）（2）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图所示的方案一和如图所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为米，高为米用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多并求出一
10、个这样的集装箱最多能装运多少根钢管（）解答：1O、O、O两两外切， OO=OO=OO=a 又OA= OA OAOO OA= = （2） = =， 方案二装运钢管最多。即：按图10的方式排放钢管，放置根数最多根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得解得 为正整数 =35钢管放置的最多根数为：31183017=1068（根）类型四 利用一次函数进行设计例题6（2022辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：购1个书包，赠送1支水性笔；购书包和水性笔一律按9折优惠书包每个定价20元，水性笔每支定价5元小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）（1）分别
11、写出两种优惠方法购买费用（元）与所买水性笔支数（支）之间的函数关系式；（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济解答：（1）设按优惠方法购买需用元，按优惠方法购买需用元 （2）设，即， 当整数时，选择优惠方法 设，当时，选择优惠方法，均可 当整数时，选择优惠方法 （3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而，购买方案一：用优惠方法购买，需元；购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法购买4个书包，需要=80元，同时获赠4支水性笔；用优惠方法购买8支水性笔，需要元共需8036=116元显然116120 最佳购买
12、方案是：用优惠方法购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法购买8支水性笔例题7（2022黑龙江绥化）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元 （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案 （3）若若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件 B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大最大利润是多
13、少元解答：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元则解方程组得 购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元（2）设该商店购进A种纪念品个，购进B种纪念品个解得2025 为正整数 共有6种进货方案（3）设总利润为W元 W 2030202202 30 10 4000 2025100W随的增大而减小当20时，W有最大值W最大102040003800元当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元类型之五 利用概率大小进行设计例题8 在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角
14、器（如图所示）（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是 （填字母代号）；（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，在答题卡的指定位置画出草图（只须画出一种）； （3）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少（请画树状图或列表计算）解答：（1）根据轴对称图形的定义可知，图形B，C是轴对称图形；（2）因为B，C是轴对称图形，所以可将B，C进行组合，注意使它们具有相同的对称轴即可；（3）先通过画树状图或列表列举出所有等可能的结果，再逐一判断每个结果是否可拼成轴对称图案，在此基础上，求出相应概率详解：（1）B，C
15、；（2）如：（3）画树状图：开始ABCABCABCABC A,A A,B A,C B,A B,B B,C C,A C,B C,C或列表：小红ABCAA,AA,BA,CBB,AB,BB,CCC,AC,BC,C小明一共有9种等可能的结果，而其中能恰好拼成轴对称图形的结果有五种，分别是A,A 、B,B、C,C、B,C、C,B，ACB的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切
16、）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由方案一ABCD方案二ABCDO1O216 图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形图（a）（2）画一个面积为10的等腰直角三角形图（b）（3）画一个一边长为，面积为6的等腰三角形图（c）17迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950
17、盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种请你帮助设计出来（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低最低成本是多少元答案：1【答案】B 2【答案】A3【答案】（1）解法一: 设饮用水有件，则蔬菜有件 依题意，得 解这个方程，得 ， 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件 解法二：设饮用水有件，蔬菜有件 依题意，得 解
18、这个方程组，得 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件（注：用算术方法解答正确同样本小题给满分）（2）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆依题意，得 解这个不等式组，得 为整数，m2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案 设计方案分别为：甲车2辆，乙车6辆；甲车3辆，乙车5辆； 甲车4辆，乙车4辆（3）3种方案的运费分别为： 240063602960元；340053603000元；440043603040元 方案运费最少，最少运费是2960元 答: 运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元4【答案】（1）设购买甲种鱼苗尾，则购买乙种鱼苗尾，由题意得： 解这个方程，
19、得：答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾 （2）由题意得： 解这个不等式，得： 即购买甲种鱼苗应不少于2000尾 （3）设购买鱼苗的总费用为，则 由题意，有 解得： 在中 ，随的增大而减少 当时， 即购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低5【答案】 1 树状图如下： 列表如下：共有6种选购方案：高，精，（高，简），（中，精），（中，简），（低，精），（低，简）2 因为先选中高档粽子有2种方案，即高，精（高，简），所以高档粽子被选中的概率是3 由2可知，当选用方案高，精时，设购买高档粽子、精装粽子分别为，盒，根据题意，得 解得经检验不符合题意，舍去；当选用方案（高，简
20、）时，设购买高档粽子、简装粽子分别为，盒，根据题意，得解得答：该中学购买了14盒高档粽子6【答案】测量方案不唯一，如：用量角器分别量出A、B的大小用尺子量出AB的长，根据这三个数据加工的地砖能符合要求，理由是用“边角边公理”得不予考虑这两个三角形全等。7【答案】（1）设改造一的A类学校的校舍需资金万元，改造一所B类学校的校舍需资金万元，则 解之得答：设改造一的A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金130万元。（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8-a）所，则解得所以1a3即a=1，2，3答：有三种方案。方案一：A类学校1所，B类学校7所方案二：A类学校2所，B类学校2
21、所方案三：A类学校3所，B类学校5所8【答案】（1）解：设每个书包的价格为元，则每本词典的价格为8元根据题意得： 3 28124 解得：28 820 答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元 （2）解：设昀买书包个，则购买词典40本根据题意得： 解得：10 因为取整数，所以的值为10或11或12所以有三种购买方案，分别是：书包10个，词典30本； 书包11个，词典29本；书包12个，词典28本9【答案】1 种小麦需 1060=6亩，种种玉米、黄豆共4亩，黄豆种植面积为（4）亩，=；2取正整数，所以可取0、1、2、3、4共有5种方案； 3 随的增大而增大，所以当=4时，最大，最大为72
22、00元。10【答案】（1）由题意，装运A种西瓜的车数为,装运B种西瓜的车数为, 则装运C种西瓜的车数为40- 则有：45640- =200整理得：=40-2由（1）知，装运A、B、C三种西瓜的车数 种类方案ABC方案一（辆）102010方案二（辆）111811方案三（辆）121612方案四（辆）131413方案五（辆）141214方案六（辆）151015分别为、40-2、由题意得， ，解得1015为整数，的值是10、11、12、13、14、15安排方案有6种：（3）设利润为W（百元），则 W=416540-210612=200036由已知得：2000362500 ，13则14或15，故选方案五
23、或方案六。11 方案（1） 画法1：（1）过F作FHAD交AD于点H；（2）在DC上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；画法2：（1）过F作FHAB交AD于点H；（2）过E作EGAD交DC于点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形画法3：（1）在AD上取一点H，使DH=CF；（2）在CD上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形方案（2）画法：（1）过M点作M万元，乙需费用n万元，根据题意，得 解这个方程组得m=135,n=60 13 解：（1）设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和
24、万元依题意得： 解之得 答：改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元（2）设该县有、两类学校分别为所和所则 类学校不超过5所 即：类学校至少有15所 （3）设今年改造类学校所，则改造类学校为所，依题意得： 解之得 取整数即：共有4种方案14方法一解：（1）abccccbbbaaa（2）证明：大正方形的面积表示为大正方形的面积也可表示为，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方方法二解：（1）abc （2）证明：大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 15 解：（1）理由如下：扇形的弧长168，圆锥底面周长2r，圆的半径为4
25、cm 由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，方案一不可行 （2）方案二可行求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则， 由，可得，故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm 16 解：如图（a）、图（b）、图（c）图（a）图（b）图（c）17 解：设搭配A种造型个，则B种造型为个，依题意，得：解得：，是整数，可取31、32、33，可设计三种搭配方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；A种园艺造型33个，B种园艺造型17个（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案，成本最低，最低成本为：3380017960=42720（元）方法二：方案需成本：3180019960=43040（元）；方案需成本：3280018960=42880（元）；方案需成本：3380017960=42720（元）；应选择方案，成本最低，最低成本为42720元
