1、专题六:方案设计型一、考点综述方案设计问题的基本类型：（1)类型一：提供讨论材料，进行合理猜想.此类问题一般设置一段讨论的材料,让考生进行科学合理的判断、推理、证明。（2）类型二：画图设计,动手操作。此类问题一般给出图形和若干条信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案（3)类型三：设计方案，比较择优。此类问题一般给出问题情景，提出要求，让考生寻找最佳的解题方案，设计出合理的方案。二、例题精析应用方程（组)不等式（组）解决方案设计型例1（2009益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本(1）求每支钢
2、笔和每本笔记本的价格；(2）校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出解析:此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用，以两人的用的总钱数为等量关系,可以列出方程组第二问注意“不少的含义可以根据总钱数和钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组解:(1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元,依题意得: 解得：所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2)设买a支钢笔,则买笔记本(48a）本依题意得：，解得：，所以,一共有种方案即购买钢笔、笔记本的数量分别为：2
3、0,28； 21，27； 22,26; 23，25; 24，24点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，（或不等关系）列出相应的方程（或不等式组）同步检测：1 (2009安顺）在“五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图）,试根据图中的信息，解答下列问题:（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由 2.(2009益阳)开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本(1)求每支钢
4、笔和每本笔记本的价格；（2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出练习参考答案:1。 解:（1）设成人人数为x人,则学生人数为（12x）人 则35x + （12 x)= 350 解得:x = 8 故:学生人数为12 8 = 4 人， 成人人数为8人（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：350616 = 336元 336350 所以，购团体票更省钱所以，有成人8人，学生4人;购团体票更省钱2。 解：（1）设每支钢笔x元,每本笔记本y元,依题意得: 解
5、得：所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2）设买a支钢笔，则买笔记本(48a）本依题意得：,解得：,所以，一共有种方案即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24 二、应用函数设计方案问题：例2(2009安徽）（1)请说明图中、两段函数图象的实际意义 （2）写出批发该种水果的资金金额w(元）与批发量m(kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果(3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果
6、，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大解析：此类试题结合函数图像所提供的信息,对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据：销售利润=日最高销售量每千克的利润(每千克的利润零售价批发价），由此整理可得到关于的二次函数，解：(）图表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；图表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发 （2)由题意得：，函数图象略由图可知资金金额满足240w300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果(3)设日最高销售量为xkg（x60）则由图日零售价p满足：，于是销售利润，当x80时，,此
7、时p6即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元点评:注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用同步检测:3：（2009四川省南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A以每分钟0。1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0。06元的价格按上网时间计费假设顾客甲一个月手机上网的时间共有分钟，上网费用为元10100y/元Ox/分2050500P方式A方式B（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费元与上网时间分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象;（2）如何选择
8、计费方式能使甲上网费更合算？10100y/元O图7x/分练习参考答案：练习3。（1)方式A：，方式B：，两个函数的图象如图所示 (2)解方程组 得所以两图象交于点P(500，50)由图象可知：当一个月内上网时间少于500分时，选择方式A省钱；当一个月内上网时间等于500分时，选择方式A、方式B一样；当一个月内上网时间多于500分时,选择方式B省钱三、 设计图形剪拼方案例3（2009浙江省温州市)在所给的99方格中,每个小正方形的边长都是1按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上 （1）在图甲中画一个平行四边形,使它的周长是整数；（2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长
9、不是整数(注：图甲、图乙在答题纸上)解析：本题为图案设计题，在设计前一定要注意到要求，除了要满足所画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外，还要满足平行四边形的周长是否为整数的要求点评:本题考查的是设计图形题，在读清要求后，然后根据要求,进行方案的尝试设计,一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决.同步检测：4。 （2009河南)为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形种植花草部分用阴影表示请你在图、图、图中画出三种不同的的设计
10、图案提示：在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图、图只能算一种练习参考答案：解:下面给出参考方案：四、 设计测量方案（解直角三角形应用）例4（2009济宁）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪皮尺小镜子（1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高 图1为小华测量塔高的示意图她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角,在点和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角,然后用皮尺量出两点的距离为m,自身的高度为m请你利用上
11、述数据帮助小华计算出塔的高度（,结果保留整数）（2)如果你是活动小组的一员,正准备测量塔高,而此时塔影的长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： 在你设计的测量方案中,选用的测量工具是： ； 要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ 解析:本题以解直角三角形为依托，通过设计实际的测量活动,使学生能够灵活的应用所学知识，解决实际生活的问题,第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测量方案,但是要注意提供的工具和数据的选择使用解:（1）设的延长线交于点,长为,则,，,解得太子灵踪塔的高度为(2) 测角仪皮尺； 站在P点看塔顶的仰角自身的高度 (注:答案不
12、唯一)点评：本类试题关键在于画出直角三角形，再分析角边关系,选择合适的三角函数求解,另外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性,还经常与相似三角形结合同步检测:5.（2009四川省成都市）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度（计算过程和结果均不取近似值)练习参考答案：解：（1）设的延长线交于点，长为，则，,解得太子灵踪塔的高度为(2） 测角仪皮尺； 站在P点看塔顶
13、的仰角自身的高度 (注：答案不唯一)练习6.如图,由已知可得ACB=30,ADB=45在RtABD中，BD=AB。又在RtABC中，tan30=，=，即BC=AB.BC=CDBD，AB=CDAB，即（1)AB=60。AB=30（1）（米）答：教学楼的高度为30(1)米。五、设计游戏方案（概率应用)例5.(2009重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形,分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥
14、数，然后计算这两个数的积(1)请你用画树状图或列表的方法,求这两个数的积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数,小亮赢；否则，小红赢你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平解析：修改游戏规则,首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来解：列树形图如下：由树形图可见共有12种可能,并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平,概率应相等，我们可以修改为:若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数
15、，小红赢点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，游戏公平性方案设计，其关键是保证游戏双方获胜的概率相同同步检测：(2009广东省梅州市）“五一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图根据统计图回答下列问题： （1)前往 A地的车票有_张，前往C地的车票占全部车票的_； (2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下,每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为_； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一枚各面
16、分别标有数字1,2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张，否则给小李试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ABC地点车票(张)50403020100 练习参考答案:(1）30；20（2）(3）可能出现的所有结果列表如下：小李抛到的数字小张抛到的数字12341（1，1）（1,2）（1，3）(1,4）2(2，1）（2，2）(2，3）(2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）(3,4）4(4，1)（4,2)（4，3）（4，4)1 2 3 411 2 3 421 2 3 431 2 3 44
17、开始小张小李或画树状图如下：共有 16 种可能的结果,且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种: (2，1）,(3，1）,（3，2)，（4,1），(4，2），（4,3), P(小张获得车票）；则P（小李获得车票）1这个规则对小张、小李双方不公平综 合 训 练1（2009齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有(）A4种B3种C2种D1种2(2009襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金1575万元改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元;改
18、造两所类学校和一所类学校共需资金205万元(1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？（2)若该县的类学校不超过5所,则类学校至少有多少所？(3)我市计划今年对该县、两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元请你通过计算求出有几种改造方案？3（2009天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空,只需按照解答题
19、的一般要求,进行解答即可如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为23，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm20cm30cmDCAB图图30cm分析：由横、竖彩条的宽度比为23，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图的情况，得到矩形结合以上分析完成填空：如图，用含的代数式表示：=_cm；=_cm;矩形的面积为_cm；列出方程并完成本题解答4(2009烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台，为了
20、配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明:这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台(1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？5（2009达州）（6分）阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等首先,小明说：“我们用皮尺和三角尺(含30角）来测量”
21、于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15，小明的眼睛与地面的距离为16，如图9（甲）所示然后，小红和小强提出了自己的想法小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度”小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”根据以上情景，解答下列问题：（1）利用图9(甲），请你帮助小明求出旗杆AB的高度(结果保留整数参考数据：，,); (2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图(乙）中画出测量示意图，并简述测量步骤6（2009漳州)小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏,他们两人同时各掷一枚壹元硬币（1）若游戏规则为：当两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢，否则小刚赢请用画树状图或列
22、表的方法,求小刚赢的概率； （2）小红认为上面的游戏规则不公平,于是把规则改为:当两枚硬币正面都朝上时，小红得8分，否则小刚得4分那么，修改后的游戏规则公平吗？请说明理由;若不公平，请你帮他们再修改游戏规则,使游戏规则公平（不必说明理由)综合训练 参考答案：1C 2解：（1）设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元依题意得: 解之得答：改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元（2）设该县有、两类学校分别为所和所则类学校不超过5所 即：类学校至少有15所（3）设今年改造类学校所，则改造类学校为所，依题意得:解之得取整数 即：共有4种方案3解(）；(）根据
23、题意,得整理,得解方程,得（不合题意，舍去)则答:每个横、竖彩条的宽度分别为cm,cm4 解:（1）根据题意,得，即 （2）由题意，得整理，得解这个方程，得 要使百姓得到实惠,取所以，每台冰箱应降价200元 （3)对于，当时，所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元 5（1）过点D作DEAB于点E， 在RtBDE中，DE=AC=15m,BDE=30BE=DEtan3015058=870（m） AB=BE+AE=870m+16m=103m10m (2)小红和小强提出的方案都是可行的小红的方案：利用皮尺和标杆：（1）测量旗杆的影长AG（2）测量标杆EF的长度(3）测量同一时刻标杆影长FH 小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端步骤:(1）测出AP的长度(2）测出NP的长度（3）测出小强眼睛离地面的高度MN 6 解：由树形图可见共有4种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小红与小刚的获胜概率分别为，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等或者得分相同，我们可以修改为：两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢；若两枚硬币落地后都反面朝上时，小刚赢，（或者当两枚硬币正面都朝上时，小红得3分,否则小刚得1分）
