1、精心整理解直角三角形的应用一选择题（共5小题）1如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A100米B50米C米D50米2如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A26米B28米C30米D46米3如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MNPQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BCMN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42，则二
2、楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin420.67，tan420.90）（）A10.8米B8.9米C8.0米D5.8米4如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（）A20海里B10海里C20海里D30海里二填空题（共5小题）5如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52、35，则广告牌的高度BC为_米（精确到0.1米）（sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin520.79，co
3、s520.62，tan521.28）6长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了_m7为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出_个这样的停车位（1.4）8如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米某人在河岸b上的点P处测得APC=75，BPD=30，则河流的宽度约为_米三解答题（共5小题）9图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30的夹
4、角，示意图如图2在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：1.41，1.73，2.45）10如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tanCED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡AE的长度（参考数据：1.41
5、，结果精确到0.1米）11如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm（1）当CED=60时，求C、D两点间的距离；（2）当CED由60变为120时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当CED的变化范围为60120（包括端点值）时，求x的取值范围（结果精确到0.1cm）（参考数据1.732，）12如图是某通道的侧面示意图，已知ABCDEF，AMBCDE，AB=CD=EF，AMF=90，BAM=30，AB=6m（1）求
6、FM的长；（2）连接AF，若sinFAM=，求AM的长13一艘观光游船从港口A以北偏东60的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间（温馨提示：sin530.8，cos530.6）解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2012?襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼
7、镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60刻度线，则假山的高度为（）A（4+1.6）mB（12+1.6）mC（4+1.6）mD4m考点：解直角三角形的应用分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30=，进而得出CD的长解答：解：BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，AOE=60，DB=AK，AB=KD=1.6米，CAK=30，tan30=，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米故选：A点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30=解答是解答此题的关键2（2014?随州）
8、如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A100米B50米C米D50米考点：解直角三角形的应用专题：几何图形问题分析：过B作BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案解答：解：过B作BMAD，BAD=30，BCD=60，ABC=30，AC=CB=100米，BMAD，BMC=90，CBM=30，CM=BC=50米，BM=CM=50米，故选：B点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=
9、BC，掌握直角三角形的性质：30角所对直角边等于斜边的一半3（2014?衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A26米B28米C30米D46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：几何图形问题分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD解答：解：坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，AE=1.5BE=18米，BC=10米，AD=2AE+BC=218+10=46米，故选：D点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题4（
10、2014?西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MNPQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BCMN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin420.67，tan420.90）（）A10.8米B8.9米C8.0米D5.8米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：几何图形问题分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到解答：解：延长C
11、B交PQ于点DMNPQ，BCMN，BCPQ自动扶梯AB的坡度为1：2.4，=设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米AB=13米，k=1，BD=5米，AD=12米在RtCDA中，CDA=90，CAD=42，CD=AD?tanCAD120.9010.8米，BC5.8米故选：D点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形5（2014?临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（）A20海里B10海里
12、C20海里D30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题专题：几何图形问题分析：如图，根据题意易求ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度解答：解：如图，ABE=15，DAB=ABE，DAB=15，CAB=CAD+DAB=90又FCB=60，CBE=FCB，CBA+ABE=CBE，CBA=45在直角ABC中，sinABC=，BC=20海里故选：C点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题解题的难点是推知ABC是等腰直角三角形二填空题（共5小题）6（2009?仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52、35，则广告牌的高度BC为3.5
13、米（精确到0.1米）（sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin520.79，cos520.62，tan521.28）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：应用题；压轴题分析：图中有两个直角三角形ABD、ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD和CD，求差即可解答：解：根据题意：在RtABD中，有BD=AD?tan52在RtADC中，有DC=AD?tan35则有BC=BDCD=6（1.280.70）=3.5（米）点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形7（2009?安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时
14、调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：压轴题分析：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可解答：解：由题意知：平滑前梯高为4?sin45=4?=平滑后高为4?sin60=4?=升高了2（）m点评：本题重点考查了三角函数定义的应用8（2014?宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位（1.4）考点：解直角三角形的应用专题：调配问题分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角
15、函数可求EF，再根据停车位的个数=（56BE）EF+1，列式计算即可求解解答：解：如图，BC=2.2sin45=2.21.54米，CE=5sin45=53.5米，BE=BC+CE5.04，EF=2.2sin45=2.23.14米，（565.04）3.14+1=50.963.14+116+1=17（个）故这个路段最多可以划出17个这样的停车位故答案为：17点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算9（2014?十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，
16、观测灯塔C位于北偏西25方向上，则灯塔C与码头B的距离是24海里（结果精确到个位，参考数据：1.4，1.7，2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题专题：几何图形问题分析：作BDAC于点D，在直角ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角BCD中，利用三角函数即可求得BC的长解答：解：CBA=25+50=75作BDAC于点D则CAB=（9070）+（9050）=20+40=60，ABD=30，CBD=7530=45在直角ABD中，BD=AB?sinCAB=20sin60=20=10在直角BCD中，CBD=45，则BC=BD=10=10102.4=24（海里）故答案是：24点评：本题主要
17、考查了方向角含义，正确求得CBD以及CAB的度数是解决本题的关键10（2014?抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米某人在河岸b上的点P处测得APC=75，BPD=30，则河流的宽度约为100米考点：解直角三角形的应用专题：几何图形问题分析：过点P作PEAB于点E，先求出APE及BPE、ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论解答：解：过点P作PEAB于点E，APC=75，BPD=30，APB=75，BAP=APC=75，APB=BAP，AB=PB=200m，ABP=30，PE=PB=100m故答案为：10
18、0点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键三解答题（共5小题）11（2014?南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30的夹角，示意图如图2在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：1.41，1.73，2.45）考点：解直角三角形的应用分析：（1）连接DE根据菱形的性质和角的和差关系可得CDE=BED=90，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根
19、据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解解答：解：（1）猜想CDEB证明：连接DE中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30的夹角，菱形的锐角为60CDE=6022+30=90，BED=6022+30=90，CDE=BED，CDEB（2）BE=2OE=210cos30=10cm，同理可得，DE=10cm，则BD=10cm，同理可得，AD=10cm，AB=BD+AD=2049cm答：A，B两点之间的距离大约为49cm点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题12（2014?铁岭）如图，小丽假
20、期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tanCED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡AE的长度（参考数据：1.41，结果精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到ECF=30，作辅助线EFAC，通过平角减去其他角从而得到AEF=45即可求出AE的长
21、度解答：解：作EFAC，根据题意，CE=1815=270米，tanCED=1，CED=DCE=45，ECF=904515=30，EF=CE=135米，CEF=60，AEB=30，AEF=180456030=45，AE=135190.35米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线EFAC，以及坡度和坡角的关系13（2014?抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm（1）当CED=60时，求C、D两点间的距离；（2）当CED由
22、60变为120时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当CED的变化范围为60120（包括端点值）时，求x的取值范围（结果精确到0.1cm）（参考数据1.732，可使用科学计算器）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质分析：（1）证明CED是等边三角形，即可求解；（2）分别求得当CED是60和120，两种情况下AD的长，求差即可；（3）分别求得当CED是60和120，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围解答：解：（1）连接CD（图1）CE=DE，CED=60，CED是等边三角形，CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当CED=60时，AD=
23、3CD=60cm，当CED=120时，过点E作EHCD于H（图2），则CEH=60，CH=HD在直角CHE中，sinCEH=，CH=20?sin60=20=10（cm），CD=20cm，AD=320=60103.9（cm）103.960=43.9（cm）即点A向左移动了43.9cm；（3）当CED=120时，DEG=60，DE=EG，DEG是等边三角形DG=DE=20cm，当CED=60时（图3），则有DEG=120，过点E作EIDG于点IDE=EG，DEI=GEI=60，DI=IG，在直角DIE中，sinDEI=，DI=DE?sinDEI=20sin60=20=10cmDG=2DI=2034
24、.6cm则x的范围是：20cmx34.6cm点评：本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120或60时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形14（2014?宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知ABCDEF，AMBCDE，AB=CD=EF，AMF=90，BAM=30，AB=6m（1）求FM的长；（2）连接AF，若sinFAM=，求AM的长考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：几何图形问题分析：（1）分别过点B、D、F作BNAM于点N，DGBC延长线于点G，FHDE延长线于点H，根据ABCDEF，AMBCDE，分别解RtABN、RtDCG、RtFEH，求出BN、DG、FH的长
25、度，继而可求出FM的长度；（2）在RtFAM中，根据sinFAM=，求出AF的长度，然后利用勾股定理求出AM的长度解答：解：（1）分别过点B、D、F作BNAM于点N，DGBC延长线于点G，FHDE延长线于点H，在RtABN中，AB=6m，BAM=30，BN=ABsinBAN=6=3m，ABCDEF，AMBCDE，同理可得：DG=FH=3m，FM=FH+DG+BN=9m；（2）在RtFAM中，FM=9m，sinFAM=，AF=27m，AM=18（m）即AM的长为18m点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形，注意勾股定理的应用15（20
26、14?邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间（温馨提示：sin530.8，cos530.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题专题：几何图形问题分析：过点C作CDAB交AB延长线于D先解RtACD得出CD=AC=40海里，再解RtCBD中，得出BC=50，然后根据时间=路程速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间解答：解：如图，过点C作CDAB交AB延长线于D在RtACD中，ADC=90，CAD=30，AC=80海里，CD=AC=40海里在RtCBD中，CDB=90，CBD=9037=53，BC=50（海里），海警船到大事故船C处所需的时间大约为：5040=（小时）点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键2019年9月
