1、专题26 相似三角形的存在性破解策略 探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题， 相似三角形的基本模型有： 1“A”字形 已知：在ABC中点D在AB上，点E在AC上DEBC 结论：ABCADE2反“A”字形（1）已知：在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，AEDABC结论：ABCAED（2）已知：在ABC中，点D在AB上，ACDABC结论：ABCA（：D3“8”字形已知：在ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DEBC结论：ABCAED4反“8”字形 已知：在ABC中，点D在CA的延长
2、线上，点E在BA的延长线上，ADEABC 结论：ABCADE5双垂直已知：ABC中，BAC，AD为斜边BC上的高结论：ABCDBA，ABCDAC，ABDCAD6一线三等角（1）已知RtABC和RtCED，B，C，E三点共线，结论：ABCCED（2）已知ABC和CDE，B，C，E三点共线，结论：ABCCED（3）已知ABC和CED，B，C，E三点共线，结论：ABCCED例题讲解例1如图，已知A（1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点A，C重合）若ABG与ABC相似，求点G的坐标 解：设直线AC的表达式为， 把A，C两点坐标代入可得，解得所以直线AC的表达式为设点G
3、的坐标为（k，2k2）， 因为点G与点C不重合， 所以ABG与ABC相似只有AGBABC一种情况所以而AB5， ， ，所以， 即， 解得， （舍）所以点G的坐标例2 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴交抛物线于点D P是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B为顶点的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：存在因为点A（2，0），B（4，0），C（0，），过点D（2，）作DEAB于点E，由勾股定理得 如图，当ABD时， 所以 过点作AB于点，所以， 解得，点的坐标为（8，），因为此时点不在抛物线上
4、，所以此种情况不存在当BDA时，所以过点作AB于点，所以，解得因为，所以，所以点的坐标为（4，），将x4代入抛物线的表达式得，所以点在抛物线上由抛物线的对称性可知：点与点关于直线x1对称，所以的坐标为（6，）当点位于点C处时，两个三角形全等，所以点的坐标为（0，）综上所得，点P的坐标为（4，），（6，）或（0，）时，以P，A，B为顶点的三角形与ABD相似例3 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒设抛物线
5、顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由解： 与x轴交于点A，与y轴交于点B， A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入， 得，解得，所以抛物线的解析式为点M的坐标为（1，4），所以， 如图， 设运动时间为t秒， 则OPt， 当BOPQBM时， ， 即，整理得： ，而，所以此种情况不存在；当BOPMBQ时， ， 即 ，解得所以当时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似进阶训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象交
6、x轴于，两点，交y轴于点C （1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQPA，在x轴上是否存在点D，使得ACD与APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由解：（1）抛物线的表达式为，对称轴为（2）存在点D的坐标为，提示（2）由题意知APQ为等腰三角形，如果ACD与APQ相似，那么ACD也是等腰三角形如图1，当AD为底边时，D，A关于y轴对称，此时点D的坐标为；如图2当AC为底边时，所以，此时点D的坐标为2如图，设抛物线与x轴交于不同的点，与y轴交于点C，已知ACB90（1）求m的值和抛物线的表达式；（2）已知点在抛物
7、线上，过点A的直线交抛物线与另一点E若点P在x轴上，是否存在这样的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形与AEB相似？解：2（1），抛物线的表达式为；（2）存在点P的坐标为或【提示】（1）由已知条件可得OA1，OC2，易证AOCCOB，从而mOB4，再将A，B两点的坐标代入表达式即可求得（2） 易求得点，分别过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为H，G易证EAGDBH所以PBD和AEB相似存在两种情况：如图1，当ABEBPD时，有，得点P的坐标为如图2，当ABEBDP时，有，得点P的坐标为3如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线m经过B，Q两点，与y轴交于点N，与直线l交于点G问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m的表达式，若不存在，请说明理由解存在，直线m的表达式为【提示】根据AGBGNCGCN所以当AGBNGC时，只能AGBCGB90，所以AOCNOB，所以直线m的表达式为
