1、平面解析几何一、选择题和填空题1（海淀理科题13）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形若，双曲线的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围是 【解析】 ；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，双曲线的半实轴长，半焦距分别为，则，问题转化为已知，求的取值范围设，则，即2（海淀文科题8）直线与圆相交于，两点（其中是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值为（ ）A B C D【解析】 A；圆的圆心到直线的距离为，即因此所求距离为椭圆上点到焦点的距离，其最大值为3（海淀文科题10）已知动点到定点
2、的距离和它到定直线的距离相等，则点的轨迹方程为_【解析】 ；由已知，该轨迹为，定点为，对称轴为轴的抛物线，即4（丰台文科题4）直线截圆所得劣弧所对圆心角为（ ）A B C D【解析】 D；弦心距为，圆的半径为，于是，5（丰台文科题14）已知点，点，点是直线上动点，当的值最小时，点的坐标是 【解析】 ；连结与直线交于点，则当点移动到点位置时，的值最小直线的方程为，即解方程组，得于是当的值最小时，点的坐标为6（石景山理题5）（石景山文题5）经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）A BC D【解析】 A；设圆心为，则垂直于，故，选A7（西城理题13）（西城文题7）已知双曲线的左顶点
3、为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 _ 【解析】 ；，设，又，故，于是，当时，取到最小值8（东城理题13）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 【解析】 ；，要使原点在以为直径的圆外，只需原点到直线的距离大于半径即可，于是，故9（东城文题7）已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（ ）A B C D【解析】 D；抛物线的准线为，将圆化为标准方程，圆心到直线的距离为10（东城文题10）经过点且与直线垂直的直线方程为 【解析】 ；直线的斜率为，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为11（东城文题14）点是椭圆上一点，是
4、椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为 【解析】 ；，12（宣武理题6）若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）ABCD【解析】 C；由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得13（宣武文题8）设圆的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于，则的值为（ ）ABCD【解析】 A；圆的圆心，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离为，故圆方程由被圆截得的弦长是及圆的半径为可知，圆心到直线的距离为，即14（崇文文题4）若直线与圆相切，则的值为 （ ）A B C D【解析】 B；15（朝阳理题6
5、）已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（ ）ABCD【解析】 C；不妨设，于是有于是排除A，B又由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上排除D16（朝阳理题10）（朝阳文题13）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为 【解析】 圆心到直线的距离为不妨设劣弧所对的圆心角为，于是解得17（朝阳文题10）在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为 【解析】 2；由抛物线的几何性质，有二、解答题18（海淀理科题19）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上求椭圆的方程；过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程
6、【解析】 设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，又，故椭圆的方程为当直线轴，计算得到：，不符合题意当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去y得显然成立，设，则，又即，又圆的半径所以，化简，得，即，解得所以，故圆的方程为：另解：设直线的方程为，由，消去得，恒成立，设，则，所以又圆的半径为所以，解得，所以故圆的方程为：19（海淀文科题19）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点0在该椭圆上求椭圆的方程；过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程【解析】 设椭圆C的方程为，由题意可得，又，所以因为椭圆经过，代入椭圆方程有，解
7、得所以，故椭圆的方程为解法一：当直线轴时，计算得到：，不符合题意当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去，得显然成立，设，则，又即又圆的半径所以化简，得，即，解得，（舍）所以，故圆的方程为解法二：设直线的方程为，由，消去，得因为恒成立，设，则所以所以化简得到，即，解得（舍）又圆的半径为所以，故圆的方程为：20（丰台理科题19）在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点【解析】 点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为 将，代入曲线的方程，整理得 因为直线
8、与曲线交于不同的两点和，所以 设，则， 且显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得所以，即或经检验，都符合条件当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点21（丰台文科题19）在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】 点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦距为的椭圆，其方程为将，代入曲线的方程，整理得 设，由方程，得， 又 若，得将、代入上式，
9、解得又因的取值应满足，即（*），将代入（*）式知符合题意22（石景山理题19）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，求椭圆的方程；若，且，求的值（点为坐标原点）；若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】 设椭圆的半焦距为，依题意，解得由，得 所求椭圆方程为，设，其坐标满足方程，消去并整理得， 则 故， ，经检验满足式 由已知，可得 将代入椭圆方程，整理得 当且仅当，即时等号成立经检验，满足（*）式当时， 综上可知，所以，当最大时，的面积取得最大值23（石景山文题19）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，求椭圆的方程；若，且，求的值
10、（点为坐标原点）；若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】 设椭圆的半焦距为，依题意，解得由，得所求椭圆方程为，设，其坐标满足方程，消去并整理得，则，解得 故， 由已知，可得将代入椭圆方程，整理得 当且仅当，即时等号成立经检验，满足式当时，综上可知当最大时，的面积取最大值24（西城理题18）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为求椭圆的方程；设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率【解析】 由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，令，解得设、两点的坐标分别为，）当为直角时，则，因为为直角，所以，即
11、，所以，所以，解得）当或为直角时，不妨设为直角，此时，所以，即又将代入，消去得，解得或（舍去），将代入，得所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和25（西城文题18）椭圆：的离心率为，且过点求椭圆的方程；设直线：与椭圆交于两点，为坐标原点，若直角三角形，求的值【解析】 已知，所以，又，所以，所以椭圆C的方程为联立，消去y得，令，即，解得设A，B两点的坐标分别为，i）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得；ii）当或为直角时，不妨设为直角，由直线的斜率为，可得直线的斜率为，所以，即，又，所以，依题意，且，经检验，所求值均符合题意，综上，的值为和26（东城理题19）已知椭
12、圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程；设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；在的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围【解析】 由题意知，所以即又因为，所以，故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由得 设点，则直线的方程为令，得将，代入整理，得由得，代入整理，得所以直线与轴相交于定点当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上由得易知所以，则因为，所以所以当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得，此时所以的取值范围是27（东城文题19）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半
13、轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点【解析】 由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点28（宣武理题19）已知椭圆的离心率为若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点 i)当，求的值； ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式【解
14、析】 ，解得椭圆的方程为 i)，椭圆的方程可化为 易知右焦点，据题意有： 由，有： 设， ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设，又点在椭圆上， 由有：则 又在椭圆上，故有 将，代入可得：29（宣武文题19）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且求椭圆的方程；若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程【解析】 设椭圆的标准方程为，左顶点，又在椭圆上，椭圆的标准方程为设的斜率为，设直线的方程为，代入，得又到直线的距离，的面积，当且仅当时取等号，此时满足题中条件，直线的方程为
15、30（崇文理题19）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点证明：直线的斜率互为相反数；求面积的最小值；当点的坐标为，且根据推测并回答下列问题（不必说明理由）：直线的斜率是否互为相反数？面积的最小值是多少？【解析】 设直线的方程为由 可得 设，则又当垂直于轴时，点关于轴，显然综上， - 5分=当垂直于轴时，面积的最小值等于 -10分推测：；面积的最小值为31（崇文文题19）已知椭圆短轴的一个端点，离心率过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点求椭圆的方程；求的值【解析】 由已知，所以椭圆方程为 设直线方程为令，得 由方程组 可得 ，即所
16、以 ，所以 ， 所以 直线的方程为 令，得 所以 =32（朝阳理题19）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点 求椭圆的方程；求直线的方程以及点的坐标；是否存过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解析】 设椭圆的方程为，由题意得解得，故椭圆的方程为因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为由得 因为直线与椭圆相切，所以整理，得解得所以直线的方程为将代入式，可以解得点横坐标为，故切点坐标为若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，所以所以又，因为，即，所以即所以，解得因为为不同的两点，所以于是存在直线满足条件，其方程为33（朝阳文题19）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点求椭圆的方程；是否存直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解析】 设椭圆的方程为，由题意得解得，故椭圆的方程为 5分若存在直线满足条件，设直线的方程为由得因为直线与椭圆相交于不同的两点设两点的坐标分别为所以整理，得解得又且即所以即所以解得所以于是，存在直线满足条件，其方程为
