1、 函数的单调性与最值1.1.增函数、减函数增函数、减函数一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I I，区间，区间D DI,I,如果对于任意如果对于任意x x1 1,x,x2 2D,D,且且x x1 1xx2 2,则都有则都有:(1)f(x)(1)f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数_._.(2)f(x)(2)f(x)在区间在区间D D上是减函数上是减函数_._.f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)2.2.单调性、单调区间单调性、单调区间若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是上是_或或_，则称函数，则称函数y=f(x)y=f(
2、x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间D D叫做叫做y=f(x)y=f(x)的单调区的单调区间间.增函数增函数减函数减函数3.3.函数的最值函数的最值前提前提 设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在如果存在MR MR 满足满足条件条件 对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有_存在存在x x0 0I,I,使得使得_对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有_存在存在x x0 0I,I,使得使得_结论结论 M M是是f(x)f(x)的最大值的最大值 M M是是f(x)f(x)的最小值的最小值 f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0
3、)=M)=Mf(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=M1.1.如果二次函数如果二次函数f(x)=3xf(x)=3x2 2+2(a-1)x+b+2(a-1)x+b在区间在区间(-,1)(-,1)上是减函上是减函数数,则则()()(A)a=-2 (B)a=2 (C)a-2 (D)a2(A)a=-2 (B)a=2 (C)a-2 (D)a2【解析解析】选选C.C.二次函数的对称轴是二次函数的对称轴是 由题意知由题意知 解得解得a-2.a-2.a1x,3 a11,32.2.函数函数f(x)f(x)中，满足中，满足“对任意对任意x x1 1，x x2 2(0(0，)，当，当x x1 1x x2 2
4、时，时，都有都有f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)”)”的是的是()()(A)f(x)(A)f(x)(B)f(x)(B)f(x)(x-1)(x-1)2 2(C)f(x)(C)f(x)e ex x (D)f(x)(D)f(x)ln(xln(x1)1)【解析解析】选选A.A.由题意知要求函数由题意知要求函数f(x)f(x)在在(0(0，)上是减函数上是减函数,故选故选A.A.1x3.3.函数函数y=(2k+1)x+by=(2k+1)x+b在在R R上是减函数上是减函数,则则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意知由题意知2k+12k+10,k0,k-.-.答案：答案：(-,
5、-)(-,-)12124.f(x)=x4.f(x)=x2 2-2x,x-2x,x-2,3-2,3的单调递增区间为的单调递增区间为_,_,f(x)f(x)maxmax=_.=_.【解析解析】f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)2 2-1,-1,故故f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为1,31,3,f(x),f(x)maxmax=f(-2)=8.=f(-2)=8.答案：答案：1,31,3 8 8 考向考向 1 1 确定函数的单调性或单调区间确定函数的单调性或单调区间【典例典例1 1】(1)(1)函数函数f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2-4)-4)的单调递减区间为
6、的单调递减区间为_._.(2)(2)试讨论函数试讨论函数f(x)=x(-1,1)f(x)=x(-1,1)的单调性的单调性(其中其中a0).a0).【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据复合函数的单调性求解根据复合函数的单调性求解.(2)(2)用定义法或导数法求解用定义法或导数法求解.2ax,x1【规范解答规范解答】(1)(1)由由x x2 2-4-40 0得得x x2 2或或x x-2,-2,即函数即函数f(x)f(x)的定义的定义域为域为(-,-2)(2,+).(-,-2)(2,+).令令t=xt=x2 2-4,-4,因为因为y=logy=log2 2t t在在t(0,+)t(0,+)上为增函
7、数上为增函数,t=xt=x2 2-4-4在在x(-,-2)x(-,-2)上是减函数上是减函数,所以函数所以函数f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2-4)-4)的单调递减区间为的单调递减区间为(-,-2).(-,-2).答案：答案：(-,-2)(-,-2)(2)(2)(定义法定义法):):设设x x1 1,x,x2 2(-1,1)(-1,1)且且x x1 1x x2 2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=-1-1x x1 1x x2 21,1,-1-1x x1 1x x2 21,x1,x1 1x x2 2+1+10,0,因此当因此当a a0 0时时,f(x,
8、f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0.0.122212axaxx1x121122212a xxx x1x1(x1)222112xx0,x1 0,x1 0,21122212xxx x10.x1x1即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),此时函数在此时函数在(-1,1)(-1,1)上为减函数；上为减函数；当当a a0 0时时,f(x,f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0.0.即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),此时函数在此时函数在(-1,1)(-1,1)上为增函数上为增函数.【互动探究互动探究】若将本题若将本题(1)(1)中的函数改为中的函数改为f(x)=(x+
9、1),f(x)=(x+1),试求函数试求函数f(x)f(x)的单的单调递减区间调递减区间.【解析解析】函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-1,+),(-1,+),令令t=x+1,t=x+1,因为因为y=ty=t在在t(0,+)t(0,+)上是减函数上是减函数,t=x+1,t=x+1在在x(-1,+)x(-1,+)上上为增函数为增函数,所以函数所以函数f(x)=(x+1)f(x)=(x+1)的单调递减区间为的单调递减区间为(-1,+).(-1,+).12log12log12log【拓展提升拓展提升】1.1.函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法(1)(1)定义法定义法.(2).(2
10、)图象法图象法.(3).(3)利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性.2.2.复合函数的单调性复合函数的单调性复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的单调性应根据外层函数的单调性应根据外层函数y=f(t)y=f(t)和内层函和内层函数数t=g(x)t=g(x)的单调性判断的单调性判断,遵循遵循“同增异减同增异减”的原则的原则.【变式备选变式备选】用定义法判断函数用定义法判断函数 在定义域上的单调在定义域上的单调性性.【解析解析】由由x x2 2-10-10得得x1x1或或x-1,x-1,即函数的定义域为即函数的定义域为(-,(-,-1-11,+).1,+).设设x x1 1x x2
11、 2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=2yx12212x1x1 22122212xxx1x1 12122212xxxxx1x1，xx1 1-x-x2 20,0,当当x x1 1,x,x2 2(-,-1(-,-1时时,x,x1 1+x+x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),故函数在故函数在(-,-1(-,-1上是减函数上是减函数.当当x x1 1,x,x2 21,+)1,+)时时,x,x1 1+x+x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf
12、(x1 1)f(xf(x2 2),),故函数在故函数在1,+)1,+)上是增函数上是增函数.2212x10,x10,考向考向 2 2 求函数的值域或最值求函数的值域或最值【典例典例2 2】(1)(1)设函数设函数g(x)=xg(x)=x2 2-2(xR),-2(xR),则则f(x)f(x)的值域是的值域是()()(A)(A)-,0-,0(1,+)(B)(1,+)(B)0,+)0,+)(C)(C),+)(D),+)(D)-,0-,0(2,+)(2,+)(2)(2)用用mina,b,cmina,b,c表示表示a,b,ca,b,c三个数中的最小值，设三个数中的最小值，设f(x)=min2f(x)=m
13、in2x x,x+2,10-x(x0),x+2,10-x(x0),则则f(x)f(x)的最大值为的最大值为_._.g xx4,xg x,f xg xx,xg x,949494【思路点拨思路点拨】(1)(1)明确自变量的取值范围明确自变量的取值范围,先求每一部分的函数先求每一部分的函数值范围值范围,再取并集求值域再取并集求值域.(2)(2)明确明确f(x)f(x)的意义的意义,数形结合求数形结合求f(x)f(x)的最大值的最大值.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.解解x xg(x)=xg(x)=x2 2-2-2得得x x2 2-x-2-x-20 0，则，则x x-1-1或或x x2.2
14、.因此因此xg(x)=xxg(x)=x2 2-2-2的解为：的解为：-1x2.-1x2.于是于是当当x x-1-1或或x x2 2时，时，f(x)=(x+)f(x)=(x+)2 2+2.2.22xx2,x1x 2,f xxx2,1x2,或 1274当当-1x2-1x2时，时，f(x)=(x-)f(x)=(x-)2 2-，且且f(-1)=f(2)=0f(-1)=f(2)=0，-f(x)0.-f(x)0.由以上可得由以上可得f(x)f(x)的值域是的值域是-,0-,0(2,+).(2,+).故选故选D.D.12949494(2)(2)由题意知函数由题意知函数f(x)f(x)是三个函数是三个函数y
15、y1 1=2=2x x，y y2 2=x+2,y=x+2,y3 3=10-x=10-x中的中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象(如图实线如图实线部分为部分为f(x)f(x)的图象的图象)，可知，可知A(4A(4，6)6)为函数为函数f(x)f(x)图象的最高点，图象的最高点，则则f(x)f(x)maxmax=6.=6.答案：答案：6 6【拓展提升拓展提升】求函数最值的常用方法求函数最值的常用方法(1)(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)(2)图象法：先作出函数的图象，再
16、观察其最高点、最低点，图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值求出最值.(3)(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值再用相应的方法求最值.【提醒提醒】在求函数的值域时在求函数的值域时,应先确定函数的定义域应先确定函数的定义域.【变式训练变式训练】(1)(1)函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间a,ba,b上的最大值是上的最大值是1,1,最小值是最小值是 ,则则a+b=_.a+b=_.【解析解析】易知易知f(x)f(x)在在a,ba,b上为减函数上为减函数,即即 a+b=6.a+b=
17、6.答案：答案：6 61x113 f a1,1f b,311,a111.b 13 a2,b4,(2)(2)设设f(x)=xf(x)=x2 2-2ax(0 x1)-2ax(0 x1)的最大值为的最大值为M(a),M(a),最小值为最小值为m(a),m(a),试求试求M(a)M(a)及及m(a)m(a)的表达式的表达式.【解析解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2ax=(x-a)-2ax=(x-a)2 2-a-a2 2,x,x0,10,1.当当a0a0时时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.当当0 0a a 时时,M(a
18、)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2 2.当当 a1a1时时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2 2.当当a a1 1时时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.1212综上知综上知,2112a,a,2M a10,a.20,a0,m aa,0 a1,12a,a 1.考向考向 3 3 函数单调性的应用函数单调性的应用【典例典例3 3】(1)(1)已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在区间是
19、定义在区间0,+)0,+)上的函数，上的函数，且在该区间上单调递增，则满足且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)f(2x-1)的的x x的取值范围的取值范围是是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)1f()31 2()3 3,1 2)3 3，1 2()2 3，1 2)2 3，(2)(2)已知函数已知函数满足对任意满足对任意x x1 1xx2 2，都有，都有(x(x1 1-x-x2 2)f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)00成立，则成立，则a a的取值范围为的取值范围为()()(A)(0,(A)(0,(B)(0,1)(B)(0,1)(C)(C),1)(D)(0,
20、3),1)(D)(0,3)【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据单调性列不等式组求解根据单调性列不等式组求解,注意定义域注意定义域.(2)(2)寻找寻找f(x)f(x)是减函数满足的条件是减函数满足的条件,列不等式组求解列不等式组求解.xax0f xa3 x4ax0，1414【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.由已知得由已知得 x .x .(2)(2)选选A.A.对任意对任意x x1 1xx2 2，都有，都有(x(x1 1-x-x2 2)f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)001+50，由解得由解得1a3.1af(a)f(a)，则实数，则实数a a的的取值范围是取值范围是()(
21、)(A)(-,-1)(2,+)(B)(-1,2)(A)(-,-1)(2,+)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-,-2)(1,+)(C)(-2,1)(D)(-,-2)(1,+)22x4x,x0,f x4xx,x0,【解析解析】选选C.C.由由f(x)f(x)的图象可知的图象可知f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上是单调增函数，由上是单调增函数，由f(2-f(2-a a2 2)f(a)f(a)得得2-a2-a2 2a,a,即即a a2 2+a-20,+a-20,解得解得-2a1.-2a1.2222x4xx24,x0,f x4xxx24,x0,【易错误区易错误区】分段函数单调性的应
22、用误区分段函数单调性的应用误区【典例典例】已知函数已知函数则满足不等式则满足不等式f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)的的x x的取值范围是的取值范围是_._.【误区警示误区警示】本题易出现以下错误本题易出现以下错误由由f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)得得1-x1-x2 22x,2x,忽视了忽视了1-x1-x2 20 0导致解答失误导致解答失误.2x1,x0,f x1,x 0,【规范解答规范解答】画出画出 的图象，由图象可知的图象，由图象可知,若若f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)，则则即即得得x(-1,-1).x(-1,-1).答案：答案：(-1,-
23、1)(-1,-1)2x1,x0,f x1,x 0221x0,1x2x，1 x 112 x12 ，22【思考点评思考点评】解决分段函数的单调性问题时应关注的三个方面解决分段函数的单调性问题时应关注的三个方面(1)(1)抓住对变量所在区间的讨论抓住对变量所在区间的讨论.(2)(2)保证各段上同增保证各段上同增(减减)时时,要注意左、右段端点值间的大小关要注意左、右段端点值间的大小关系系.(3)(3)弄清最终结果取并还是交弄清最终结果取并还是交.1.1.函数函数 在区间在区间(-2,+)(-2,+)上为增函上为增函数，那么实数数，那么实数a a的取值范围为的取值范围为()()(A)0a (B)a-1
24、(A)0a (B)aa(C)a (D)a-2(C)a (D)a-2 ax1f xx2121212【解析解析】选选C.C.设设x x1 1,x,x2 2(-2(-2，+)+)，且，且x x1 1x0,x+20,x2 2+20,x+20,x1 1-x-x2 20,0,2a-10,解得解得a .a .121212122a1xxax1ax10,x2x2x2x2122.2.定义在定义在(-1(-1，1)1)上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)是减函数，且满足不等式是减函数，且满足不等式f(1-a)+f(1-af(1-a)+f(1-a2 2)0)0，则，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】
25、不等式不等式f(1-a)+f(1-af(1-a)+f(1-a2 2)0)0可化为可化为f(1-a)-f(1-af(1-a)-f(1-a2 2),),f(x)f(x)是定义在是定义在(-1(-1，1)1)上的奇函数，上的奇函数，-f(1-a-f(1-a2 2)=f(a)=f(a2 2-1),-1),则则f(1-a)f(af(1-a)f(a2 2-1)-1)，又又f(x)f(x)是是(-1,1)(-1,1)上的减函数，上的减函数，解得解得0a1.0a0,f(x)1.0,f(x)1.答案：答案：(1,+)(1,+)abkxxx1x234x4.4.若函数若函数f(x)=|2x+a|f(x)=|2x+a|的单调递增区间是的单调递增区间是3,+)3,+)，则，则a=_.a=_.【解析解析】作出函数作出函数f(x)=|2x+a|f(x)=|2x+a|的图象，根据图象可得函数的的图象，根据图象可得函数的单调递增区间为单调递增区间为-,+),-,+),即即-=3,a=-6.-=3,a=-6.答案：答案：-6-6a2a2
