1、4.2 用数学归纳法证明不等式举例.纳纳法法证证明明不不等等式式归归进进一一步步讨讨论论如如何何用用数数学学下下面面我我们们结结合合具具体体例例题题.,512,256,128,64,32,16,8,4,2:2;,81,64,49,36,25,16,9,4,1:.?,12 nnnnnbnaba证明你的结论小于从第几项起观察下面两个数列例.51,.5,2,5,2的情形步应证第猜想时用数学归纳法证明上述即项起从第由数列的前几项猜想分析nnNnnbannn .,命题成立时有当证明522551 n .,kkkkn2522 即有时命题成立假设当 121122 kkkkn因为时当.kkkkk3222 222
2、2kkk .1222 kk .,时命题成立即所以12112 knkk .,52212 nNnnn可知由?的理由中吗你能说出证明中每一步.|sin|sin|2Nnnn证明不等式例.,对值不等式用三角函数的性质及绝应注意利在证明递推关系时又与绝对值有关的三角函数问题这是一个涉及正整数分析n.,|sin|,11式成立不等右边上式左边时当证明n.|sin|sin|,12kkkkn即有不等式成立时假设当,1时当 kn|sincoscossin|1sin|kkk|sincos|cossin|kk|sin|cos|cos|sin|kk|sin|sin|k|sin|sin|k.|sin|1 k.1时不等式成立
3、所以当 kn .,21均成立不等式对一切正整数可知由n?的理由中吗你能说出证明中每一步.11,1,0,1,:3nxxnxxxBernoullin那么有的自然数为大于且是实数如果不等式证明贝努利例.,1,01,进行归纳对我们用数学归纳法只能的自然数是大于的任意实数且不等于于表示大个字母贝努利不等式中涉及两分析nnx .,不等式成立得由于时当证明xxxxxn2121102122 .,kxxkknk 1122即有时不等式成立假设当 kkxxxkn 11111,时当kxx1121kxkxx.11xk.1时不等式成立所以当 kn .,21贝努利不等式成立可知由?的理由中吗你能说出证明中每一步.21111
4、,0,1,.11,成立的正整数对一切不小于到不等式由贝努利不等式不难得时且是实数当例如挥作用法证明不等式中可以发这在数值故计和放缩形式缩小为简单的方式把二项式的乘人们经常用贝努利不等在数学研究中nxnxxxxxxnxxnn:,一般的形式它们是贝努利不等式更有类似不等式成立仍时改为实数整数把贝努利不等式中的正事实上n.111,01,xxx有时或者并满足是实数当.111,10,xxx有时并且满足是实数当.,泛地应用泛地应用贝努利不等式可以被广贝努利不等式可以被广函数范围扩充到实数函数范围扩充到实数随着指数随着指数结果的证明结果的证明我们不在这里给出上述我们不在这里给出上述.,.,时命题成立时命题成
5、立来证明来证明充分利用这样联系充分利用这样联系时命题之间的关系时命题之间的关系纳假设与纳假设与注意发现或设法创设归注意发现或设法创设归重要不等式重要不等式一些一些和和种方法种方法的各的各式式如前面学习的证明不等如前面学习的证明不等他条件及相关知识他条件及相关知识还要灵活利用问题的其还要灵活利用问题的其设设不仅要正确使用归纳假不仅要正确使用归纳假为完成这步证明为完成这步证明一步一步时命题成立这时命题成立这时命题成立推出时命题成立推出由由难点往往出现在难点往往出现在等式等式使用数学归纳法证明不使用数学归纳法证明不111 knknknkn.,1,:4212121naaaaaaaaannnnn 那么它
6、们的和积的乘个正数为正整数如果证明例.,1,.,要递推的目标心中有数由它并对什么是归纳假设和的条件正数的乘积为个应注意利用用数学归纳法证明它时简洁和谐它的形式的不等式这是与正整数密切相关分析n .,命题成立有时当证明1111 an .,kaaaaaakknkn 212112则个正数的乘积即若命题成立时当假设.,111121121 kkkkaaaaaaaakkn足条件满个正数已知时当.,.,命题成立其和为是则它们都都相等个正数若这111121 kaaaakkk.,).(,.,11111121121121 aaaaaaaaakkkk不妨设矛盾否则与的数也有小于的数则其中必有大于不全相等个正数若这.
7、,kaaaaaaaaaakaakkkk 13211321211归纳假设可以得到由的乘积是个正数样就得到这看着一个数我们把乘积为利用归纳假设.11321 kaaaaakk要证的目标是.就得到则.1,.1,0111,121212121时命题成立当就是说这于是目标得证即得由knaaaaaaaa .,1,2,1212121成立那么它们的和的乘积个正数如果对一切正整数可知由naaaaaaaaannnnn ,12121 aaaa若有可以发现对比.,41它们起了什么作用了哪些式子变形证出递推关系做为了利用归纳假设以及体会其中的证明过程回顾例探究?),(,422121212211均值不等式吗个正数的你能得出是正数个正数考虑的结论利用例naaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnn 练习练习 12311121212312312111141119.(1).(2).naaaaaaaaaaaaaaaaaa 1 1、已已知知对对于于任任意意正正数数，有有不不等等式式：，从从上上述述不不等等式式归归纳纳出出一一个个适适合合任任意意正正数数，的的不不等等式式用用数数学学归归纳纳法法证证明明你你归归纳纳得得到到的的不不等等式式 22111*12.001().nnnnnnnaaaaaanNnNaa 已已知知数数列列，求求证证：当当时时，
