1、第一章：集合与函数第二章：基本初等函数第三章：函数的应用第二节：函数第一章：集合与函数函数及其表示一、函数的概念 小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据如下：1234567891030405060708090100110120年龄（岁）身高（cm）从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素“乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。因此，
2、函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”1234567830405060708090100乘以10再加2011.
3、52356784.9？平方后乘以4.9二、映射 通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素唯一确定的元素y与之相对应，那么就称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射。国家首都中国美国韩国日本北京华盛顿首尔东京因此，函数是映射的一种特殊形式三、函数的三种表示方法解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。四、开区间、闭区间和半开半闭区间实数R的
4、区间可以表示为（-,+）深入理解函数表示方法的解析法五、着重强调的几个问题及考试陷阱1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题。2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能一对多。1-12-214平方49-23开方2-33、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同，二是定义域和值域相同。.,这里,2;,0,21:函数、判断下列对应是
5、否为12RyNxxyyxRxxxx2、下列几种说法中，不正确的有：_A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；B、函数的定义域和值域一定是无限集合；C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。练习题 .112;11:、求下列函数的定义域3xxgxxf .112;3,2,1,0,1,11122xxfxxxf4、求下列函数的值域5、判断下列各组函数是否表示同一函数？11)2(111)1(22xyxyxyxxy与、与、2032211()322(2)()43(1)
6、(3)()9fxxfxxxxfxxxx、求 下 列 函 数 的 定 义 域（）64)2(21)1(、求下列函数的值域：22xxyxy函数的基本性质单调性 那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1
7、单调区间Oxyx1x2f(x1)f(x2)二、函数单调性考察的主要问题3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2，且x2x1，通过计算f(x2)f(x1)0或者0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(x2)f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)f(x1)是大于0还是小于0。2、x 1,x 2 取值的任意性.xx1x2Iyf(x1)f(x2)OMN例1、下图为函数y=f(x),x-4,7 的图像，指出它的单调区间。-1.5，3，5，6-4，-1.5，3，5，6，7解：单调增区间为单调减区间为123-2-3-2-1123456 7 xo-4
8、-1y-1.5例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：1(1)(0);yxxx1yxy1yx的单调减区间是_(,0)(0,),讨论1：根据函数单调性的定义，1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?讨论2：在(-，0）和（0，+)上 的单调性？()(0)kf xkx例3.判断函数 在定义域1，+）上的单调性，并给出证明：1y xx 1.任取x1，x2D，且x1x2；2.作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5.下结论主要步骤证明：在区间1，+）上任取两个值x1和x2，且x1x2 则12121211()()
9、()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx12,1,xx，且12xx12120,10 xxx x1212()()0,()()f xf xf xf x所以函数 在区间上 是增函数.1yxx1,取值作差变形定号结论练习题2()4f xxax 1、若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。,12、课后习题函数的基本性质极值（最大值和最小值）Oyx1x2f(x1)f(x2)Oxyx1x2f(x1)f(x2)xyy=-x2+21-1122-1-2-2x1yxyxyo2yxxyo1yxxyo1yx 使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围。的取值范围
10、。求定义域的主要依据求定义域的主要依据1 1、分式的分母不为零、分式的分母不为零.2 2、偶次方根的被开方数不小于零、偶次方根的被开方数不小于零.3 3、零次幂的底数不为零、零次幂的底数不为零.4 4、对数函数的真数大于零、对数函数的真数大于零.5 5、指、对数函数的底数大于零且不为、指、对数函数的底数大于零且不为1.1.6、实际问题中函数的定义域、实际问题中函数的定义域（一）函数的定义域（一）函数的定义域1、具体函数的定义域、具体函数的定义域220.51(1)()2(2)()log(1)(3)()log(43)xfxxfxxfxx例7.求下列函数的定义域1.【-1,2）（2，+）2.（-，-
11、1）（1，+）3.（34,1】)12(log)3()23(22)2(121)1(20 xyxxxyxxy练习：练习：2、抽象函数的定义域、抽象函数的定义域1）已知函数）已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是1，3，求求f(2x-1)的定义域的定义域2）已知函数）已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是0，5)，求求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定义域的定义域(2)x|)yf x2的定义域为x4,求y=f(x 的定义域3)3)1.1,2;2.1,4);3.-22，28 ()lg(43)f xaxaxRa例若的定义域为求实数 的取值范围。20;0.1612030.4aRaRaaRaa 当
12、时，函数的定义域为，当时，函数的定义域也为函数的定义域为，的取值范围是思考：若值域为R呢？分析：值域为R等价为真数N能取（0，+）每个数。当a=0时，N=3只是（0，+）上的一个数，不成立；当a0时，真数N取（0，+）每个数即00a求值域的一些方法：求值域的一些方法：1、图像法，、图像法，2、配方法，配方法，3、分离常数法，、分离常数法，4、换元法，、换元法，5单调性法。单调性法。3、分离常数法，、分离常数法，,324)(f51xxx）三、函数的表示法三、函数的表示法1、解、解 析析 法法 2、列、列 表表 法法 3、图、图 象象 法法 )(3,4)()(设)3()(,2)1()2()1(,3
13、4)()1(22xfxxffxfxfxxxfxfxxxf求一次函数，且求已知求已知例例10求下列函数的解析式求下列函数的解析式待定系数法换元法（5）已知：对于任意实数x、y，等式 恒成立，求)1(2)()(xyxxfyxf)(xf赋值法赋值法 2(6)()+g()2,()().f xxf xxxxf xg x已知是偶函数，g是奇函数，且求、的解析式构造方程组法构造方程组法 (4)已知 ,求 的解析式221)1(xxxxf)0(x()f x配凑法增函数、减函数、单调函数是增函数、减函数、单调函数是 对定义对定义域上的某个区间而言的。域上的某个区间而言的。三、函数单调性三、函数单调性定义：一般地，
14、设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间上是增函数。区间D叫做函数的增区间。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。0,(,0),(0,)0,(,0),(0,)aa时 单减区间是时 单增区间是、函数 的单调区间是 2、函数y=ax+b（a0）的单调区间是3、函数y=ax2+bx+c（a0）的单调区间是0,(,)0,(,)aa 时 单增区间是时 单减区间是0,(,)220,(,)22bbaaabbaaa
15、时 单减区间是单增区间是时 单增区间是单减区间是0ayax（）用定义证明函数单调性的步骤用定义证明函数单调性的步骤:(1)设元，设设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且是区间上任意两个实数，且x1x2;(2)作差，作差，f(x1)f(x2);(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式(4)判号，判号，判断判断 f(x1)f(x2)的符号；的符号；（5）下结论）下结论.1.函数函数f(x)=2x+1,(x1)x,(x1)则则f(x)的递减区间为的递减区间为()A.1,)B.(,1)C.(0,)D.(,0B2、若函数、若函数f(x)=x2+2(a
16、-1)x+2在区间在区间4,+)上是增函数上是增函数,求实数求实数a的取值范围的取值范围.11)(.11）上是增函数，在（证明：函数例xxxf拓展提升复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=fg(x)增函数增函数减函数减函数规律：当两个函数的
17、单调性相同时，其复合函数是规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是数是减函数减函数。“同增异减同增异减”复合函数的单调性例题：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3)解 设 y=logy=log4 4u u（外函数）（外函数）,u=xu=x2 24x+34x+3（内（内函数）函数）.由 u0,u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为定义域为x|xx|x1 1或或x x33.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，
18、u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.解:设 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原复合函数的定义域为0 x2.由于y=log13u在定义域(0，+)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1时单调增.由 0 x2（复合函数定义域）x1，(u增)解得0 x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间.又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2，(复合函数定义域)x1，(u减)解得0 x2,所以0，1是原复合函数的单调增区间.例2 求下列复合函数的单调区
19、间：y=log(2xx2)例题：求函数例题：求函数 的单调性。的单调性。23221)(xxxf解：设 ，f(u)和u(x)的定义域均为R因为，u在 上递减，在 上递增。而 在R上是减函数。所以，在 上是增函数。在 上是减函数。232xxuuuf)21()(23,23uuf)21()(23221)(xxxf23,23例4：求 的单调区间.1223.0 xxy解:设 由uR,u=x22x1,解得原复合函数的定义域为xR.因为 在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由 xR,(复合函数定义域)x1，(u减)解得x1.所以(，1是复
20、合函数的单调增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区间.uy3.0uy3.0复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异
21、减同增异减”。四、函数的奇偶性四、函数的奇偶性1.奇函数奇函数:对任意的对任意的 ,都有都有Ix)()(xfxf)()(xfxf2.偶函数偶函数:对任意的对任意的 ,都有都有Ix 3.奇函数和偶函数的必要条件奇函数和偶函数的必要条件:注注:要判断函数的奇偶性要判断函数的奇偶性,首先首先要看其定要看其定义域区间是否关于原点对称义域区间是否关于原点对称!定义域关于原点对称定义域关于原点对称.奇奇(偶偶)函数的一些特征函数的一些特征1.若函数若函数f(x)是奇函数是奇函数,且在且在x=0处有定义处有定义,则则 f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上且在对称的
22、区间上不改变不改变单调性单调性.3.偶函数图像关于偶函数图像关于y轴对称轴对称,且在对称的区间上且在对称的区间上改变改变单调性单调性例例12 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 11)1(xxxf 23)2(xxf xxxf1)3(3,2,)4(2xxxf).(2)(,01);1()(,0.)(13xfxfxxxxfxxf）求（表达式；时）求（时且当是奇函数已知例 14 11230,f xfafaa例是定义在，上的减函数，若求 的取值范围函数的图象函数的图象1、用学过的图像画图。、用学过的图像画图。2、用某种函数的图象变形而成。、用某种函数的图象变形而成。（1）关于）关于x轴、轴、y轴、
23、原点对称关系。轴、原点对称关系。（2）平移关系。）平移关系。（3）绝对值关系。）绝对值关系。函数 (a0)的大致图像xy0 0 xaxxf)(单调区间的分界点为单调区间的分界点为:a的平方根的平方根3.函数 (a0)的值域xaxxf)(1.定义域定义域2.奇偶性奇偶性(-,0)(0,+)奇函数奇函数 f(-x)=-f(x).44.1.已知函数xxxf7)(的值域。求)(,2,1)1(xfx的最小值。求)(,4,2)2(xfx的最小值。求)(,3.7)3(xfx1.已知函数xxxf7)(1.已知函数xxxf7)(的最小值。求)(,4,2)2(xfx1.已知函数xxxf7)(的最小值。求)(,3.
24、7)3(xfx2.已知函数 求f(x)的最小值,并求此时的x值.45)(22xxxf函数图象与变换1平移变换(1)水平方向的变换：yf(xa)的图象可由yf(x)的图象沿x轴向左平移(a0)或向右平移(a0)或向下平移(b1(2)y=log(x+1)a1ayxyxo1yxo1抓住函数中的某抓住函数中的某些性质，通过局些性质，通过局部性质或图象的部性质或图象的局部特征，利用局部特征，利用常规数学思想方常规数学思想方法（如类比法、法（如类比法、赋值法赋值法添、拆项添、拆项等）。等）。高考题和平时的高考题和平时的模拟题中经常出模拟题中经常出 现现。抽象性较强；抽象性较强；综合性强；综合性强；灵活性强
25、；灵活性强；难度大。难度大。没有具体给出函没有具体给出函数解析式但给出数解析式但给出某些函数特性或某些函数特性或相应条件的函数相应条件的函数抽象函数问题抽象函数问题一、研究函数性质“赋值”策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。【例【例 1】若奇函数若奇函数()()f xxR，满足，满足(2)1,(2)()(2)ff xf xf，则，则(1)f等于（等于（）A0 B1 C12 D12(1)(1)令令x=,-2,-1,0,1,2,x=,-2,-1,0,1,2,等特等特殊值求抽象函数的函数值；殊值求抽象函数的函数值；(
26、3)(3)令令y=-x,y=-x,判断抽象函数的奇偶性；判断抽象函数的奇偶性；(4)(4)换换x x为为x+T,x+T,确定抽象函数的周期；确定抽象函数的周期；(2)(2)令令x=xx=x2 2,y=x,y=x1 1或或y=,y=,且且x x1 1x0ab=0ab0=00 x=-b2axy0a0 xy0a0=00四、平移问题对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为y=f(x)，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下：向右平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x-k)；向左平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x+k)；向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x
27、)；想下平移h个单位，则平移后的表达式为y+h=f(x);如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化y和f(x)，各变各的，再进行整理。如：向左平移k个单位，向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x+k)(3)连线画对称轴确定顶点确定与坐标轴的交点及对称点0 xyx=-1M(-1,-2)A(-3,0)B(1,0)D当x-1时，y随x的增大而减小;当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2(5)由图象可知当-3 x 1时，y 0当x1时，y 0(6)1.抛物线 的顶点坐标是().(A)(-1,-3)(B)(1,3)(C)(-1,8)(D)(1,-8)312xxy2.在同一直角坐标
28、系中，抛物线 与坐标轴的交点个数是()(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 542xxy3.已知二次函数的图象如图所示，则有（）()a0,b0,c0 ()a0,b0,c0 (C)a0,b0,c0 (D)a0,b0,c0四、巩固练习4、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。5、抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是_6、已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_7、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=_。8、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0
29、=b-4ac 0第二章：基本初等函数第一节：指数函数指数与指数幂的运算根式探究a，a0a，a0分数指数幂指数运算法则 结合具体的理解进行记忆引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，x细胞个数：2，4，8，16，y由上面的对应关系可知，函数关系是xy2引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 xy85.0我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即：，其中x是自变量，函数定
30、义域是R)10(aaayx且定义指数函数及其性质探究1：为什么要规定a0,且a 1呢？若a=0，则当x0时，=0；当x 0时，无意义.若a0且a1 在规定以后，对于任何x R，都有意义，且 0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).xaxaxax)2(4121xaxa引例：x x-3-3-2-2-1-1-0.5-0.50 00.50.51 12 23 30.130.250.50.7111.42488 84 42 21.41.41 10.710.710.50.50.250.250.130.13x x-1.5-1.5-1-1-0.5-0.5-0.25-0.250 00.250.250.50.
31、51 11.51.50.030.10.320.5611.783.161031.6231.6231.6210103.163.161.781.781 10.560.560.320.320.10.10.030.03?14?12?10?8?6?4?2?-2?-10?-5?5?10?a=?1?10?a=10?a=?1?2?a=2第二章：基本初等函数第二节：对数函数对数及其运算前节内容回顾：引导：定义：?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=NXxXx两种特殊的底：10和e探究：结论：负数和零没有对数。对数运算法则探究：换底公式的证明与应用1、对数函数的定义：2、指数函数与对数函数
32、两者图像之间的关系x x-3-3-2-2-1-1-0.5-0.50 00.50.51 12 23 30.130.130.250.250.50.50.710.711 11.41.42 24 48 8x x0.130.130.250.250.50.50.710.711 11.41.42 24 48 8-3-3-2-2-1-1-0.5-0.50 00.50.51 12 23 3-1 XYO112233445567Y=log2xY=xY=2x-1图 象 性 质a a 1 1 0 0 a a 1 1定义域定义域 :值值 域域 :过定点：过定点：在在 (0,+)(0,+)上上 是是 函数函数 在在 (0,
33、+)(0,+)上上是是 函数函数y yx x0 0 x1y=y=logloga ax x(a(a1)1)y yx x0 0y=logy=loga ax x(0(0a a1)1)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)(0,+)(0,+)R R(1,0)(1,0)增增减减 例1：求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）2log xya)4(logxya)9(log2xya反函数1、定义：2、求法：已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下：（1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式（2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式3、注意：只有是严
34、格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x？第二章：基本初等函数第三节：幂函数幂函数定义注意：104(1):、公式(2):、角度化弧度(3):、弧度化角度105 2.弧长公式和扇形面积公式弧长公式和扇形面积公式 (角用弧度角用弧度).1063.任意三角函数的定义：任意三角函数的定义：正弦正弦sina余弦余弦cosa正切正切tanaP(x，y)xyOryrxryx22rxy其中：107sinyacosxatanyxa，则若1 rOP.特别地：在单位圆中特别地：在单位圆中(以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位 长度为半径的圆，
35、称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆.)yox1M108 .三角函数的定义域三角函数的定义域RR109xyoa asina atana acosxyoxyo4.4.三角函数象限角的符号三角函数象限角的符号xyo全正全正记忆记忆:一全二正弦，一全二正弦，三切四余弦三切四余弦1105：几个特殊角的三角函数值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不不存存在在03 4 6 22221123233321231116.同角同角三角函数的基本关系式：三角函数的基本关系式：同角三角
36、函数的基本关系式221tan+1cosaa变形公式：112aaaaaatan2tancos2cossin2sinkkkaaaaaatantancoscossinsinaaaaaatantancoscossinsinaaaaaatantancoscossinsinsin()cos2cos()sin2aaaasin()cos2cos()sin2aaaa()2kk Zaaaa,2Zkk,2a都可表示成都可表示成7.诱导公式诱导公式1133sin()cos23cos()sin2aaaa 补充补充公式公式3:3sin()cos23cos()sin2aaaa 补充补充公式公式2:sin(2)sincos(
37、2)scoaaaa 补充补充公式公式1:函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限114诱导公式总结：诱导公式总结：口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：意义：212kkZkkaaaaa（）的三角函数值）当时，等于 的三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；）当时，等于 的三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原为偶三角数同名为奇数函数值异名的符号；115 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：简称为：简称为：负化正，大化小，化到锐角是终了负化正，大化小，化到锐角是终了.任
38、意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 00 03603600 0的角的角的三角函数的三角函数锐角三角函数锐角三角函数用公式用公式二或二或一一用公式一用公式一用公式用公式三或四三或四1168.三角函数的图象及性质三角函数的图象及性质函数函数ysin xycos xytan x图象图象定义域定义域値域値域奇偶性奇偶性单调单调区间区间增区间增区间减区间增区间增区间减区间增区间增区间,2x xkkZ 1,1 1,12,222kk32,222kk2,2kk2,2kk(,)22kkRRR奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数117函数函数ysin xycos xytan
39、x图象图象对称轴对称轴对称中心对称中心周期周期最值最值2xkxk(,0)k(0)2k，(,0)2k22无对称轴无对称轴max21.2xky时，min2,1.2xky 时max21.xky时，min2,1.xky 时无最值无最值118y=sinxy=sin(x+)横坐标横坐标缩短缩短 1(伸长伸长0 1(缩短缩短0A0(向右向右 1(伸长伸长0 1(缩短缩短0A0(向右向右 0)平移平移 个单位个单位12010：如图所示为函数 的部分图象求出函数的解析式)2(,)sin(bxAyyx123-1321211综上，所求解析式为1)62sin(2xy121练习：练习：如图如图 (A0,0,)的图象如图
40、所示，求函数解析式。的图象如图所示，求函数解析式。sin()yAxb2yx0304050814122三角函数值的符号三角函数值的符号三角函数值的符号三角函数值的符号xyO sina上正下负 xyO cosa右正左负xyO tana奇正偶负 123高考大纲（三角函数）高考大纲（三角函数）考纲要求：考纲要求：了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；义；理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；证明；掌握三角函数的图像与性质，了解函数的图像，了解参数对掌握三角函数的图像
41、与性质，了解函数的图像，了解参数对函数图像变化的影响；函数图像变化的影响；掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；简单的恒等变换；掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题一些简单的三角形度量问题.命题规律：命题规律：本部分常以三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式本部分常以三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式、和差角二倍角公式为基础考查三角函数的值域、最值、及诱导公式、和差角二倍角公式为基础考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性等问题，而解三角形则以正弦定理
42、、余弦定理为依托单调性、周期性等问题，而解三角形则以正弦定理、余弦定理为依托考查三角形度量问题考查三角形度量问题高考中的三角函数解答题型解三角形的实际应用解三角形的实际应用向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题解三角形解三角形三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质三角恒等变换三角恒等变换考考 点点 1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点查的重点.2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重三角函数的
43、图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数于对函数yAsin(x)的周期性、单调性、对称性以及最的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等等 3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容在解答题中主要考查：内容在解答题中主要考查：(1)边和角的计算；边和角的计算；(2)面积的计面积的计算；算；(3)有关范围的问题由于此内容应用性较强，解三角形有关范围的问题由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题也常出现在高考解答题中的实际应用问题
44、也常出现在高考解答题中.考考 情情1辅助角公式asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 tan ba.可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期2三角形的面积公式(1)S12aha12bhb12chc(ha，hb，hc分别是边 a，b，c 上的高)；(2)S12absin C12bcsin A12acsin B；例 1(2013湖南高考)已知函数 f(x)cos xcosx3.(1)求 f23 的值；(2)求使 f(x)0，所以2244，因此1.(2)由(1)知 f(x)sin2x3.当x32时，532x383，所以32sin2x3 1.因此1f(x)32.故 f(x)在区间，32的最
45、大值和最小值分别为32，1.练习 2已知函数 f(x)(3sin x cos x)sin32x012，且函数 yf(x)的图像的一个对称中心为53，a.(1)求 a 的值和函数 f(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，满足2acbcos Ccos B，求函数 f(A)的取值范围解：(1)f(x)(3sin xcos x)cos x32sin 2x12cos 2x12sin2x6 12.据题意，2536k，kZ，6k120，kZ，012，当 k1 时，14.从而 f(x)sin12x6 12，故 a12.2k212x62k32，kZ，单调递减区间是4
46、k23，4k83，kZ.(2)2sin Acos Bcos Bsin Csin Bcos C,2sin Acos Bsin(BC)，cos B12，B3.f(A)sin12A6 12，0A23，故612A62，1f(A)32，即 f(A)1，32.练习 3设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求 B；(2)若 sin Asin C314，求 C.章解三角形章解三角形（复习课）（复习课）BCAabc思考：何谓解三角形？思考：何谓解三角形？一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C，及其，及其对边对边a a，b b，c
47、c叫做三角形的叫做三角形的元素元素。已知三角形。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的几个元素求其他元素的过程叫解三角形解三角形。BCAabc思考：如何判断两个三角形全等？思考：如何判断两个三角形全等？思考：三角形中角之间关系如何？边之间关思考：三角形中角之间关系如何？边之间关系如何？边角之间关系如何？系如何？边角之间关系如何？，？.角之间关系角之间关系.边之间关系边之间关系.边角关系边角关系2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）2 sin(sin)22 sin(sin)22 sin(sin)2aaRAARbbRBBRccRCCR:sin:sin:sina b cABC正
48、弦定理及其变形：正弦定理及其变形：ABCabcB2R 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角、已知两角和任意一边，求其他的两边及角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.正弦定理解决的题型正弦定理解决的题型：变形变形变形变形边化为角边化为角角化为边角化为边2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab余弦定理及其推论：余弦定理及其推论：推论推论111sinsinsin222ABCSabCbcAacB111222ABCabcSahbhchABC
49、abcha1、已知三边求三角、已知三边求三角.2、已知两边和他们、已知两边和他们的夹角，求第三边和的夹角，求第三边和其他两角其他两角.余弦定理解决的题型余弦定理解决的题型：角化为边角化为边如图，在如图，在ABC中，已知中，已知B45，D是是BC边上的一点，边上的一点，AD10，AC14，DC6，求，求AB的长的长【思路点拨】已知三角形【思路点拨】已知三角形ACD三边的长，可用余三边的长，可用余弦定理求弦定理求ADC，在，在ABD中再用正弦定理求解中再用正弦定理求解.603,10bCca，求边，若在在ABC中中,类型一：利用正、余弦定理解三角形类型一：利用正、余弦定理解三角形类型一：利用正、余弦
50、定理解三角形类型一：利用正、余弦定理解三角形 点评：一般情况下，点评：一般情况下，1.正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：（1）已知两角和任意一边；）已知两角和任意一边；（2）已知两边和其中一边的对角。）已知两边和其中一边的对角。2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三边；）已知三边；（2）已知两边及夹角。）已知两边及夹角。在在ABC中，中，a，b，c分别为内角分别为内角A，B，C的的对边，且对边，且2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C.(1)求求A的大小；的大小；(2)若若sin Bsin C
