1、人 教 A 版 2 0 1 9 高 中 数 学 新 教 材 必 修第 三 册7.4.1 二项分布问题问题1：伯努利试验：伯努利试验我们将一个伯努利试验独立地重复进行我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为次所组成的随机试验称为n重重伯努利试验伯努利试验。显然，显然，n重伯努利试验具有如下重伯努利试验具有如下共同特征共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做）同一个伯努利试验重复做n次；次；(2)各次试验的结果相互独立各次试验的结果相互独立.在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能包含两
2、个可能结果结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).追问追问1：下面下面3个随机试验是否为个随机试验是否为n重伯努利试验重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是如果是，那么其中的伯努利试验是什什么么?对于每个试验，定义对于每个试验，定义“成功成功”的事件为的事件为A，那么，那么A的概率是多大？重复试验的次数是的概率是多大？重复试
3、验的次数是多少？多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币10次次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击，连续射击3次次.3.一批产品的次品率为一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取，有放回地随机抽取20件件.随机试验随机试验是否为是否为n重伯重伯努利试验努利试验伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的重复试验的次数次数123是是是是是是抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币某飞碟运动员某飞碟运动员进行射击进行射击从一批产品中随机抽取一件从一批产品中随机抽取一件0.50.80.9510320追问追问2：伯努利试验和：伯努利试验和
4、n重伯努利试验有什么不同重伯努利试验有什么不同?伯努利试验是一个伯努利试验是一个“有两个结果的试验有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯重伯努利试验是对一个努利试验是对一个“有两个结果的试验有两个结果的试验”重复进行了重复进行了n次，所以关注点是这次，所以关注点是这n次重复次重复试验中试验中“发生发生”的次数的次数X.进一步地，因为进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.问题问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.
5、连续连续3次射击，中靶次数次射击，中靶次数X的概的概率分布列是怎样的？率分布列是怎样的？用用Ai表示表示“第第i次射击中靶次射击中靶”(i=1，2，3)，用如，用如下下图图的的树状图表示树状图表示试验的可能结果试验的可能结果：1A2A2A2A2A3A3A3A3A3A3A3A3A试验结果试验结果 X的值的值1A123A A A312A A A213A A A231A A A123A A A132A A A123A A A123A A A32212110由分步乘法计数原理，由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是种可能结果，它们两两互
6、斥，每个结果都是3个相个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得于是，中靶次数于是，中靶次数X的分布列为：的分布列为：追问追问1：如果连续射击：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于等于2的结果有哪些？的结果有哪些？写出中靶次数写出中靶次数X的分布列的分布列.(2)中靶次数中靶次数X的分布列为：的分布列为：1.二项分布中，各个参数的意义？二项分布中，各个参数的意义？n：重复试验的次数；：重复试验的次数；k：事件：事件A发生的次数；发生的次数；p：在一次试验中，事件：在一次试验中，事件A发生的概率发生
7、的概率.2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性二是重复性，即试验是独立重复地进行了，即试验是独立重复地进行了n次次.思考思考1：二项分布与两点分布有何关系：二项分布与两点分布有何关系?两点分布是一种特殊的二项分布，即是两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.思考思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？：对比二项分
8、布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？例例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：次，求：（1）恰好出现）恰好出现5次正面朝上的概率；次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在）正面朝上出现的频率在0.4，0.6内的概率内的概率.例例2：如图是一块：如图是一块高尔顿板高尔顿板的示意图的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶
9、端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为格子从左到右分别编号为0，1，2，10，用，用X表示小球最后落入格子的号码，求表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。的分布列。X的概率分布图如下图所示：的概率分布图如下图所示：0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 012345678910例例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概，乙获胜的概率为率为0.
10、4，那么采用，那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?例例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概，乙获胜的概率为率为0.4，那么采用，那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：（1）明确伯努利试验及事件）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件的意义，确定事件A发生的概率发生的概率p；（2)确定重复试验的次数确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；，
11、并判断各次试验的独立性；（3）设）设X为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则XB(n，p）.问题问题3：假设随机变量：假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B（n,p）,那么那么X的均值和方差是什么？的均值和方差是什么？(0)1,(1).();()(1).11P Xp P XpE Xp D XppnX（）当时，服从两点分差分布，分均值和方别布列为为2222222222(0)1,(1)2(2).()011 222.()01122(2)2.22P XpP XppP XpEpnXXppppD Xppppppp （1-）,均值和方差分别（）当为1-）（1-）时（，
12、1的布列-为）分问题问题3：假设随机变量：假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B（n,p）,那么那么X的均值和方差是什么？的均值和方差是什么？一般地，如果一般地，如果XB（n,p）,那么那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).111111(1)11011111101,().1,()().n kkknnnnnkkn kkkkknknnnkkknmmnmnnmqpkCnCE XkC p qnCp qnpCpqkmE XnpCp qnp pqnp 证明：令由可得令则1.二项分布的定义：二项分布的定义：2.确定一个二项分布模型的步骤确定一个二项分布模型的步骤:（1）明确伯努利试验及事件）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件的意义，确定事件A发生的概率发生的概率p；（2)确定重复试验的次数确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；，并判断各次试验的独立性；（3）设）设X为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则XB(n，p）.3.一般地，如果一般地，如果XB（n,p）,那么那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).谢谢指导！
