1、12.2空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系第第1章章立体几何初步立体几何初步学习导航学习导航第第1章章立体几何初步立体几何初步学习学习目标目标1.了解空间两条直线的三种位置关系了解空间两条直线的三种位置关系2理解异面直线的定义、所成角的概念、判定定理解异面直线的定义、所成角的概念、判定定理以及等角定理理以及等角定理(难点难点)3掌握异面直线的判定方法，在直角三角形中求掌握异面直线的判定方法，在直角三角形中求简单异面直线所成的角的方法简单异面直线所成的角的方法(重点重点)学法学法指导指导通过实物观察，抽象出空间两直线的位置关系、异通过实物观察，抽象出空间两直线的位置关系、异面直线概念及
2、夹角的定义，通过在平面上画出直线面直线概念及夹角的定义，通过在平面上画出直线的位置关系、异面直线及夹角，培养空间想象能力，的位置关系、异面直线及夹角，培养空间想象能力，感受掌握空间两直线关系的必要性感受掌握空间两直线关系的必要性.1空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系共面情况共面情况位置关系位置关系公共点个数公共点个数在同一平面内在同一平面内共面直线共面直线_有且只有一有且只有一个个_没有没有_不同在任何不同在任何一个平面内一个平面内相交相交平行平行异面直线异面直线2.公理公理4与等角定理与等角定理(1)公理公理4文字表述文字表述_的的两条直线互相平行两条直线互相平行符号表述符号表
3、述_含义含义揭示了空间平行线的揭示了空间平行线的_性性平行于同一条直线平行于同一条直线ab且且bcac传递传递(2)等角定理等角定理研究对象研究对象在空间中的两个角在空间中的两个角条件条件一个角的两边和另一个角的两边分别平行并一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同且方向相同结论结论这两个角这两个角_相等相等3.异面直线的判定与几何表示异面直线的判定与几何表示画画法法图形表示为如图所示图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托通常用一个或两个平面衬托)判判定定定定理理文字文字表述表述过平面内一点与平面外一点的直线，与这个平过平面内一点与平面外一点的直线，与这个平面内面内_的直线是异面
4、直线的直线是异面直线符号符号表述表述若若l，A，B，B l，则直线，则直线AB与与l是异是异面直线面直线不经过该点不经过该点4.异面直线所成的角异面直线所成的角定义定义已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O作直线作直线aa，bb，我们把，我们把a与与b所成的所成的_叫叫做异面直线做异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)范围范围 记异面直线记异面直线a与与b所成的角为所成的角为，则，则_特殊特殊情况情况当当_时时，a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作_锐角锐角(或直角或直角)090ab901如果两条直线如果两条直线a与与b没有公共点，那么没有公共点，那
5、么a和和b的位置关的位置关系是系是_解析：空间中两条直线的位置关系共有相交、平行、异解析：空间中两条直线的位置关系共有相交、平行、异面三种情况，若直线面三种情况，若直线a与与b没有公共点，那么没有公共点，那么a和和b的位置的位置关系只能是平行或异面关系只能是平行或异面平行或异面平行或异面2.(课本改编题课本改编题)如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的六条棱所在的直线中，异面直线共有的直线中，异面直线共有_对对解析：根据异面直线的定义可知共解析：根据异面直线的定义可知共3对对,分别是分别是AP与与BC，CP与与AB，BP与与AC.33如图所示，在正方体如图所示，在正方体AB
6、CD-A1B1C1D1中，中，BD和和B1D1分别分别是正方形是正方形ABCD和和A1B1C1D1的对角线的对角线 (1)DBC的两边与的两边与_的两边分别平行且方向相同；的两边分别平行且方向相同；(2)DBC的两边与的两边与_的两边分别平行且方向相反的两边分别平行且方向相反解析：解析：(1)B1D1BD，B1C1BC，并且方向相同，并且方向相同，DBC的两边与的两边与D1B1C1的两边分别平行且方向相同的两边分别平行且方向相同(2)D1B1BD，D1A1BC，并且方向相反，并且方向相反，DBC的两边与的两边与B1D1A1的两边分别平行且方向相反的两边分别平行且方向相反D1B1C1B1D1A1
7、异面直线的判定与证明异面直线的判定与证明法二：法二：(反证法反证法)若若AE和和DF不是异面直线，则不是异面直线，则AE和和DF共面，共面，设过设过AE，DF的平面为的平面为.若若E，F重合，则重合，则E是是BC的中点，从而有的中点，从而有ABAC，这与题，这与题设设ABAC相矛盾相矛盾若若E，F不重合，不重合，BEF，CEF，EF，BC.又又A，D，A，B，C，D四点共面，这与题设四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾是空间四边形相矛盾综上，综上，AE和和DF不是异面直线不成立不是异面直线不成立故故AE和和DF是异面直线是异面直线方法归纳方法归纳证明两条直线为异面直线，方法主要有两种：
8、证明两条直线为异面直线，方法主要有两种：(1)定理法即：定理法即：a，A，B，B a直线直线a与与AB是异是异面直线面直线(2)反证法体现了反证法体现了“正难则反正难则反”的解题思想反证法一般有的解题思想反证法一般有三个步骤：一是假设结论的反面成立；二是推出矛盾，可以三个步骤：一是假设结论的反面成立；二是推出矛盾，可以是与已知矛盾、与定理、公理矛盾，也可以是自相矛盾；三是与已知矛盾、与定理、公理矛盾，也可以是自相矛盾；三是下结论是下结论1如图所示，如图所示，AB，CD是两异面直线，求证：直线是两异面直线，求证：直线AC，BD也是异面直线也是异面直线证明：法一：假设证明：法一：假设AC和和BD不
9、是异面直线，则不是异面直线，则AC和和BD在同一在同一平面内，设这个平面为平面内，设这个平面为，由由AC，BD，知，知A，B，C，D.故故AB，CD.这与这与AB和和CD是异面直线矛盾，是异面直线矛盾，所以假设不成立，则直线所以假设不成立，则直线AC和和BD是异面直线是异面直线法二：由题图可知，直线法二：由题图可知，直线AB、AC相交于点相交于点A，所以它们确定一个平面为所以它们确定一个平面为.由直线由直线AB和和CD是异面直线，则是异面直线，则D，即直线即直线BD过平面过平面外一点外一点D与平面与平面内一点内一点B.又又AC，B AC，所以直线，所以直线AC和和BD是异面直线是异面直线公理公
10、理4及等角定理的应用及等角定理的应用方法归纳方法归纳(1)求证两直线平行：一是应用公理求证两直线平行：一是应用公理4，即找到第三条直线，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明在同一平面内，这两证明这两条直线都与之平行；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点条直线无公共点(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似如本题中在证明三角形全等或相似如本题中在证明EA1FE1CF1时，时，还可以通过证明还可以通过证明A1EFCF1E1来实现，由于来实现，由于EFE1F1，所以只需要证明所以只需要证明A1EA1FCE1CF1(在这些边所在的直
11、角在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明三角形中，利用勾股定理即可证明)正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线DB1与与EF所成角的大小所成角的大小(链接教材链接教材P29例例1)求异面直线所成的角求异面直线所成的角方法归纳方法归纳求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线至相交位置求角，它是立体几何问题的一个是通过平移直线至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合运用多种方法，结合以难点，找异面直线所
12、成的角时可综合运用多种方法，结合以上四种解法总结起来有如下上四种解法总结起来有如下“口诀口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线；中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边平行线若在外，补上原体在外边所以所以MPN60或或MPN120.又因为又因为ABCD，所以，所以PMPN，(1)若若MPN60，则，则PMN是等边三角形，是等边三角形，所以所以PMN60，即，即AB与与MN所成的角为所成的角为60.(2)若若MPN120，则易知，则易知PMN
13、是等腰三角形是等腰三角形所以所以PMN30，即，即AB与与MN所成的角为所成的角为30.综上知：综上知：AB与与MN所成的角为所成的角为60或或30.错因与防范错因与防范(1)在解答此类问题时，常常由于对异面直在解答此类问题时，常常由于对异面直线所成角的范围认识模糊，导致回答结论时产生错误事线所成角的范围认识模糊，导致回答结论时产生错误事实上，由于异面直线所成角实上，由于异面直线所成角的范围是的范围是090，当，当求得的角为钝角时，则其补角是异面直线所成的角求得的角为钝角时，则其补角是异面直线所成的角(2)重视异面直线所成的角的取值范围，并要注意结合实重视异面直线所成的角的取值范围，并要注意结
14、合实际情景进行恰当地推导际情景进行恰当地推导计算题中要注意所用结论的证明，做到步步有据计算题中要注意所用结论的证明，做到步步有据注意解题的规范性，不要漏掉步骤，致使解析不规范，注意解题的规范性，不要漏掉步骤，致使解析不规范，答案不清晰答案不清晰解解(1)如图，过如图，过P点在平面点在平面外的左、右两侧存在外的左、右两侧存在2条直线与条直线与a、b所成的角为所成的角为45.(2)如图，过如图，过P点在平面点在平面内内120的角平分线上存在的角平分线上存在1条直线与条直线与a、b所成的角为所成的角为60；过；过P点在平面点在平面外的左右两侧存在外的左右两侧存在2条条直线与直线与a、b所成的角为所成
15、的角为60，则与，则与a、b所成的角为所成的角为60的直的直线有线有3条条(3)如图，过如图，过P点在平面点在平面外左右两侧存在外左右两侧存在2条直线与条直线与a、b所成所成的角为的角为70，过，过P点在平面点在平面外前、后两侧存在外前、后两侧存在2条直线与条直线与a、b所成的角为所成的角为70，则与，则与a、b所成的角为所成的角为70的直线有的直线有4条条感悟提高感悟提高如果空间图形如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的所有点都沿同一方向移动相同的距离到的距离到F的位置，就说图形的位置，就说图形F在空间作了一次平移求异在空间作了一次平移求异面直线所成的角就是利用平移法即求两条异成直线的夹角面直线所成的角就是利用平移法即求两条异成直线的夹角问题，可以把所有的直线都平移，使它们都过同一个点问题，可以把所有的直线都平移，使它们都过同一个点
