1、4.1.2圆的一般方程1.1.掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化.2.2.会用待定系数法求圆的一般方程会用待定系数法求圆的一般方程.3.3.了解几种求轨迹方程的方法了解几种求轨迹方程的方法.(1)(1)形式：形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,化为标准方程为化为标准方程为_._.(2)(2)条件：条件：_,_,圆心为圆心为_,_,半径为半径为_._.特别地特别地,当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时,方程表示点：方程表示点：_._.当当D D2 2+E+E2 2-4F0-
2、4F0-4F0DE(,)2222DE4F2不表示任何图形不表示任何图形DE(,)221.“1.“判一判判一判”理清知识的疑惑点理清知识的疑惑点(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”).”).(1)(1)平面内任一圆的方程都是关于平面内任一圆的方程都是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(.()(2)(2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化圆的一般方程和圆的标准方程可以互化.(.()(3)(3)形如形如x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆的方程都表示圆.(.()(4)(4)方程方程x x2 2+y+y2 2-2x+Ey+1=0-2x
3、+Ey+1=0表示圆表示圆,则则E0.(E0.()提示：提示：(1)(1)正确正确.因为因为 可化为可化为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,均是关于均是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(2)(2)正确正确.圆的一般方程与圆的标准方程可以互化圆的一般方程与圆的标准方程可以互化.(3)(3)错误错误.少了条件少了条件D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.(4)(4)正确正确.因为因为D D2 2+E+E2 2-4F=4+E-4F=4+E2 2-40,-40,则则E0.E0.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2222
4、DEDE4F(x)(y)2242.“2.“练一练练一练”尝试知识的应用点尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线请把正确的答案写在横线上上).).(1)(1)圆的标准方程圆的标准方程(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1化为一般方程为化为一般方程为.(2)(2)若圆的一般方程为若圆的一般方程为x x2 2+y+y2 2+4x+2=0,+4x+2=0,则圆心坐标为则圆心坐标为,半径为半径为.(3)(3)若方程若方程x x2 2+y+y2 2-x+y+m=0-x+y+m=0表示圆的方程表示圆的方程,则则m m的取值范围是的取值范围是.【解析】【解析】(1)(1)因为因为(
5、x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1,=1,所以所以x x2 2+y+y2 2-2x-6y+9=0.-2x-6y+9=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-2x-6y+9=0-2x-6y+9=0(2)(2)因为因为x x2 2+y+y2 2+4x+2=0+4x+2=0化为标准方程为化为标准方程为(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=2,=2,所以圆心为所以圆心为(-2,0),(-2,0),半径为半径为 .答案：答案：(-2,0)(-2,0)(3)(3)因为方程因为方程x x2 2+y+y2 2-x+y+m=0-x+y+m=0表示圆的方程表示圆的方程,所以所以(-
6、1)(-1)2 2+1+12 2-4m0,-4m0,所以所以m .m .答案：答案：mm0,-4F0,通常情况下先配成通常情况下先配成(x-(x-a)a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m,=m,通过观察通过观察m m与与0 0的关系的关系,说明方程是否为圆的一般说明方程是否为圆的一般方程方程,而不要死记条件而不要死记条件D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.类型类型 一一 二元二次方程与圆的关系二元二次方程与圆的关系尝试完成下列题目尝试完成下列题目,归纳一个关于归纳一个关于x,yx,y的二元二次方程表的二元二次方程表示圆的两种判断方法示圆的两种判断方法.1.(20131.(20
7、13晋江高一检测晋江高一检测)方程方程x x2 2+y+y2 2+2x-4y-6=0+2x-4y-6=0表示的图形是表示的图形是 ()A.A.以以(1,-2)(1,-2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆B.B.以以(1,2)(1,2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆C.C.以以(-1,-2)(-1,-2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆D.D.以以(-1,2)(-1,2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆2.2.方程方程x x2 2+y+y2 2-4mx+2my+20m-20=0-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆能否表示圆?若能表示圆若能表示圆,求求出圆心和半径出圆心和半径.1
8、1111111【解题指南】【解题指南】1.1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与半径与半径.2.2.本题可直接利用本题可直接利用D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0是否成立来判断是否成立来判断,也可把左端配也可把左端配方方,看右端是否为大于零的常数看右端是否为大于零的常数.【解析】【解析】1.1.选选D.D.将方程将方程x x2 2+y+y2 2+2x-4y-6=0+2x-4y-6=0化为化为(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=11,=11,因此因此,圆心为圆心为(-1,2),(-1,2),半径为半径为 .112.2.方法
9、一：由方程方法一：由方程x x2 2+y+y2 2-4mx+2my+20m-20=0,-4mx+2my+20m-20=0,可知可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以所以D D2 2+E+E2 2-4F=16m-4F=16m2 2+4m+4m2 2-80m+80=20(m-2)-80m+80=20(m-2)2 2,因此因此,当当m=2m=2时时,D,D2 2+E+E2 2-4F=0,-4F=0,它表示一个点它表示一个点,当当m2m2时时,D,D2 2+E+E2 2-4F0,-4F0,原方程表示圆的方程原方程表示圆的方程,此时此时,圆的圆心为圆的圆
10、心为(2m,-m),(2m,-m),半径为半径为221rDE4F5|m2|.2方法二：原方程可化为方法二：原方程可化为(x-2m)(x-2m)2 2+(y+m)+(y+m)2 2=5(m-2)=5(m-2)2 2,因此因此,当当m=2m=2时时,它表示一个点它表示一个点,当当m2m2时时,原方程表示圆的方程原方程表示圆的方程.此时此时,圆的圆心为圆的圆心为(2m,-m),(2m,-m),半径为半径为r=|m-2|.r=|m-2|.5【技法点拨】【技法点拨】方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法表示圆的两种判断方法(1)(1)配方法配方法.
11、对形如对形如x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过的二元二次方程可以通过配方变形成配方变形成“标准标准”形式后形式后,观察是否表示圆观察是否表示圆.(2)(2)运用圆的一般方程的判断方法求解运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断即通过判断D D2 2+E+E2 2-4F-4F是是否为正否为正,确定它是否表示圆确定它是否表示圆.提醒：提醒：在利用在利用D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0来判断二元二次方程是否表示圆时来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意务必注意x x2 2及及y y2 2的系数的系数.类型类型 二二 圆的一般方程的求
12、法圆的一般方程的求法通过解答下列求圆的一般方程的题目通过解答下列求圆的一般方程的题目,试总结用待定系数试总结用待定系数法求圆的一般方程的步骤及两种方程形式选择的标准法求圆的一般方程的步骤及两种方程形式选择的标准.1.1.过点过点(-1,1),(-1,1),且圆心与圆且圆心与圆x x2 2+y+y2 2-6x-8y+15=0-6x-8y+15=0的圆心相同的圆的圆心相同的圆的方程是的方程是.2.2.已知一个圆过已知一个圆过P(4,2),Q(-1,3)P(4,2),Q(-1,3)两点两点,且在且在y y轴上截得的线段轴上截得的线段长为长为 ,求圆的方程求圆的方程.4 3【解题指南】【解题指南】1.
13、1.根据所给圆的方程求出圆心坐标根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出再代入设出的方程求解的方程求解.2.2.设出圆的一般方程设出圆的一般方程,由圆过由圆过P,QP,Q两点可得两个方程两点可得两个方程,再根据圆再根据圆在在y y轴上截得的线段长可得到一个方程轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出通过解方程组可求出圆的方程圆的方程.【解析】【解析】1.1.设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.由已知该圆圆心为由已知该圆圆心为(3,4),(3,4),且过点且过点(-1,1),(-1,1),故故 所以圆的方程为所以圆的方程
14、为x x2 2+y+y2 2-6x-8y=0.-6x-8y=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-6x-8y=0-6x-8y=02DEF0,D6,D3,E8,2F0.E4,2 所以2.2.设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.令令x=0,x=0,得得y y2 2+Ey+F=0.+Ey+F=0.由已知由已知|y|y1 1-y-y2 2|=4 ,|=4 ,其中其中y y1 1,y,y2 2是方程是方程y y2 2+Ey+F=0+Ey+F=0的两根的两根,所以所以(y(y1 1-y-y2 2)2 2=(y=(y1 1+y+y2 2)2 2
15、-4y-4y1 1y y2 2=E=E2 2-4F=48.-4F=48.将将P,QP,Q两点的坐标分别代入方程两点的坐标分别代入方程,得得34D2EF20,D3EF10.解解联立的方程组联立的方程组,得得故圆的方程为故圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x-12=0-2x-12=0或或106D,25D256E0E,5F12484F.25 ，或，2210656484xyxy0.25525【互动探究】【互动探究】若题若题2 2条件不变条件不变,试判断原点试判断原点(0(0，0)0)与圆的位置与圆的位置关系关系.【解析】【解析】(1)(1)若圆的方程为若圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x
16、-12=0,-2x-12=0,因为因为0 02 2+0+02 2-2-20-12=-120-12=-120,0,所以原点所以原点(0(0，0)0)在圆内在圆内.(2)(2)若圆的方程为若圆的方程为因为因为所以原点所以原点(0,0)(0,0)在圆外在圆外.2210656484xyxy0.25525221065648448400000.2552525 【技法点拨】【技法点拨】1.1.待定系数法求圆的方程的三个步骤待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)(1)根据题意根据题意,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一般方程.(2)(2)根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,
17、E,F的方程组的方程组.(3)(3)解出解出a,b,ra,b,r或或D,E,F,D,E,F,代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程.2.2.对圆的一般方程和标准方程的选择对圆的一般方程和标准方程的选择(1)(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程一般采用圆的标准方程,再用待再用待定系数法求出定系数法求出a,b,r.a,b,r.(2)(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般采用圆的一般方程一般方程,再
18、利用待定系数法求出常数再利用待定系数法求出常数D,E,F.D,E,F.提醒：提醒：当条件与圆的圆心和半径有关时当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程常设圆的标准方程;条件与点有关时条件与点有关时,常设圆的一般方程常设圆的一般方程.【拓展类型】【拓展类型】与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题试着解答下列题目试着解答下列题目,体会求轨迹方程的一般步骤及常用方体会求轨迹方程的一般步骤及常用方法法.1.(20131.(2013惠州高二检测惠州高二检测)若若RtRtABCABC的斜边的两端点的斜边的两端点A,BA,B的坐的坐标分别为标分别为(-3,0)(-3,0)和和(7,0),(7,0),则直
19、角顶点则直角顶点C C的轨迹方程为的轨迹方程为()A.xA.x2 2+y+y2 2=25(y0)B.x=25(y0)B.x2 2+y+y2 2=25=25C.(x-2)C.(x-2)2 2+y+y2 2=25(y0)=25(y0)D.(x-2)D.(x-2)2 2+y+y2 2=25=252.2.已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为4,4,若若BCBC边上的中线为定长边上的中线为定长3,3,求顶点求顶点C C的轨迹方程的轨迹方程.【解题指南】【解题指南】1.1.根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求解一半求解.2.2.建立适当的坐标系建立适当
20、的坐标系,易知易知C C不能在不能在ABAB上上,设设BCBC中点为点中点为点D.C,B,DD.C,B,D三点为相关点三点为相关点,利用代入法利用代入法(也称相关点法也称相关点法)求解求解.【解析】【解析】1.1.选选C.C.线段线段ABAB的中点为的中点为(2(2，0)0)，因为，因为ABCABC为直角三为直角三角形，角形，C C为直角顶点，所以为直角顶点，所以C C到点到点(2(2，0)0)的距离为的距离为|AB|=5,|AB|=5,所所以点以点C(x,y)C(x,y)满足满足 =5(y0),=5(y0),即即(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=25(y0).=25(y0).1222
21、(x2)y2.2.以直线以直线ABAB为为x x轴，轴，ABAB的中垂线为的中垂线为y y轴建立坐标系轴建立坐标系(如图如图)，则，则A(-2,0),B(2,0),A(-2,0),B(2,0),设设C(x,y),C(x,y),BCBC中点中点D(xD(x0 0,y,y0 0).).所以所以因为因为|AD|=3,|AD|=3,所以所以(x(x0 0+2)+2)2 2+=9+=9，将将代入代入,整理得整理得(x+6)(x+6)2 2+y+y2 2=36.=36.002xx20yy.2，20y因为点因为点C C不能在不能在x x轴上，所以轴上，所以y0.y0.综上，点综上，点C C的轨迹是以的轨迹是
22、以(-6,0)(-6,0)为圆心，为圆心，6 6为半径的圆，为半径的圆，去掉去掉(-12,0)(-12,0)和和(0,0)(0,0)两点两点.轨迹方程为轨迹方程为(x+6)(x+6)2 2+y+y2 2=36(y0).=36(y0).【技法点拨】【技法点拨】1.1.用代入法求轨迹方程的一般步骤用代入法求轨迹方程的一般步骤2.2.求轨迹方程的几种常用方法求轨迹方程的几种常用方法(1)(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)(2)定义法：若动点轨迹的
23、条件符合某一基本轨迹的定义定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如如圆等圆等),),可用定义直接求解可用定义直接求解.(3)(3)相关点法：根据相关点所满足的方程相关点法：根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点通过转换而求动点的轨迹方程的轨迹方程.(4)(4)参数法：若动点的坐标参数法：若动点的坐标(x,y)(x,y)中的中的x,yx,y分别随另一变量的变分别随另一变量的变化而变化化而变化,我们可以以这个变量为参数我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程建立轨迹的参数方程.【变式训练】【变式训练】(2013(2013珠海高二检测珠海高二检测)两直线两直线ax+y=1ax+y=1
24、与与x-ay=1x-ay=1的交点的轨迹方程是的交点的轨迹方程是_._.【解题指南】【解题指南】分分x0 x0且且y0y0和和x=0 x=0且且y=0y=0求解求解.【解析】【解析】当当x0 x0且且y0y0时，两直线方程化为时，两直线方程化为所以所以 化为化为x x2 2+y+y2 2-x-y=0.-x-y=0.当当x=0 x=0且且y=0y=0时满足上式，时满足上式，故交点的轨迹方程为故交点的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2-x-y=0.-x-y=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-x-y=0-x-y=01yx1a,a,xy1yx1,xy1.1.圆圆x x2 2+y+y2 2-
25、4x+6y=0-4x+6y=0的圆心坐标是的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)【解析】【解析】选选D.D.圆的方程化为标准方程为圆的方程化为标准方程为(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13,=13,故故圆心坐标为圆心坐标为(2,-3).(2,-3).2.2.方程方程x x2 2+y+y2 2+2ax-2ay=0+2ax-2ay=0表示的圆表示的圆()A.A.关于关于x x轴对称轴对称 B.B.关于原点对称关于原点对称C.C.关于直线关于直线x-y=0 x-y=0对
26、称对称 D.D.关于直线关于直线x+y=0 x+y=0对称对称【解析】【解析】选选D.D.圆的方程化为圆的方程化为(x+a)(x+a)2 2+(y-a)+(y-a)2 2=2a=2a2 2,圆心圆心(-a,a).(-a,a).由圆心坐标易知圆心在由圆心坐标易知圆心在x+y=0 x+y=0上上,所以圆关于直线所以圆关于直线x+y=0 x+y=0对称对称.3.3.点点P(1,1)P(1,1)与圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x+2y=0-2x+2y=0的位置关系是的位置关系是()A.A.在圆外在圆外 B.B.在圆内在圆内C.C.在圆上在圆上 D.D.不确定不确定【解析】【解析】选选A.A.因为
27、因为1 12 2+1+12 2-2-21+21+21=20,1=20,所以点所以点P P在圆外在圆外.4.4.方程方程x x2 2+axy+y+axy+y2 2+bx+y+7=0+bx+y+7=0是圆的一般方程是圆的一般方程,则则a=_;a=_;b b的取值范围是的取值范围是.【解析】【解析】要使方程表示圆的一般方程，需要使方程表示圆的一般方程，需答案：答案：0 (-,-5)(5,+)0 (-,-5)(5,+)32a0,a0,b5b5.b34 7 0,即 或 5.5.若圆若圆x x2 2+y+y2 2-6x+6y+14=0-6x+6y+14=0关于直线关于直线l：ax+4y-6=0ax+4y-
28、6=0对称对称,则直线则直线l的斜率是的斜率是.【解析】【解析】圆圆x x2 2+y+y2 2-6x+6y+14=0-6x+6y+14=0关于直线关于直线l：ax+4y-6=0ax+4y-6=0对称对称,则则直线直线l通过圆心通过圆心(3,-3),(3,-3),故故3a-12-6=0,3a-12-6=0,解得解得a=6,a=6,故斜率故斜率k=-.k=-.答案：答案：-32326.6.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是如果是,求出圆求出圆的圆心坐标及半径的圆心坐标及半径.(1)4x(1)4x2 2+4y+4y2 2-4x+12y+9=0.-4x+1
29、2y+9=0.(2)4x(2)4x2 2+4y+4y2 2-4x+12y+11=0.-4x+12y+11=0.【解析】【解析】(1)(1)方程方程4x4x2 2+4y+4y2 2-4x+12y+9=0,-4x+12y+9=0,可化为可化为x x2 2+y+y2 2-x+3y+=0,-x+3y+=0,又又1+31+32 2-4-4 =1 =10,0,可知此方程表示圆可知此方程表示圆.圆心为圆心为 半径为半径为 .(2)(2)方程方程4x4x2 2+4y+4y2 2-4x+12y+11=0-4x+12y+11=0可化为可化为x x2 2+y+y2 2-x+3y+=0,-x+3y+=0,又又1+31+32 2-4-4 =-1 =-10,0,可知此方程不表示圆可知此方程不表示圆.949413(,),2212114114
