1、3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.1 变化率与导数变化率与导数1 1.了解了解导数概念的实际背景导数概念的实际背景.2.2.知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.3.3.会利用导数定义求函数在某一点处的导数会利用导数定义求函数在某一点处的导数.1.1.本课重点是导数的定义的理解与函数平均变化率、导数的求本课重点是导数的定义的理解与函数平均变化率、导数的求法法.2.2.本课难点是利用导数的定义求函数在某点处的导数本课难点是利用导数的定义求函数在某点处的导数.1导数的概念导数的概念（1）函数
2、）函数y=f(x)在在x=x0处的导数定义式：处的导数定义式：f(x0)=y|x=x0=.(2)实质：函数实质：函数y=f(x)在在x=x0处的导数即函数处的导数即函数y=f(x)在在x=x0处处的的_.瞬时变化率瞬时变化率x0ylimx 00 x0f xxf xlimx 1.1.能否能否认为函数在认为函数在x=x0 0处的导数越大，其函数值的变化就越大？处的导数越大，其函数值的变化就越大？提示提示:这种说法不正确这种说法不正确.应说导数的绝对值越大，函数值变化越快应说导数的绝对值越大，函数值变化越快.2 2函数函数y=f(x)=)=x在在x=0=0处的导数为处的导数为_._.【解析解析】y=
3、(0+=(0+x)-0=)-0=x,=1.,=1.f(0)=(0)=答案：答案：1 1yxxxx0 x0 x0yxlimlimlim11.xx 对对函数在某一点处导数的三点认识函数在某一点处导数的三点认识（1 1）函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数）函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量.（2 2）函数在）函数在x0 0处的导数处的导数f(x0 0)只与只与x0 0有关，与有关，与x无关无关.（3 3）导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛）导数可以描述任何事物的瞬时变化率，
4、应用非常广泛.题目类型一、求题目类型一、求函数在某点处的导数函数在某点处的导数【技法点拨技法点拨】1.1.求函数求函数y=f（x）在点）在点x0 0处的导数的三个步骤处的导数的三个步骤求函数的增量求函数的增量y=f(xy=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0)求函数的求函数的平均变化率平均变化率取极限取极限,得导数得导数简称：一差、二比、三极限简称：一差、二比、三极限.00f(xx)f(x)yxx000 x0 x0f(xx)f(x)yf(x)limlimxx 2.2.利用定义求函数利用定义求函数y=f(x)在点在点x0 0处的导数的两个注意点处的导数的两个注意点（1 1）在求平均变化
5、率）在求平均变化率 时，要注意对时，要注意对 的变形与约分，变的变形与约分，变形不彻底可能导致形不彻底可能导致 不存在不存在.（2 2）当对）当对 取极限时，一定要把取极限时，一定要把 变形到当变形到当x00时，分时，分母是一个非零常数的形式母是一个非零常数的形式yxyxx0ylimx yxyx【典例训练典例训练】1.1.若函数若函数f（x）在）在x=a处的导数为处的导数为m，那么，那么 =_.=_.2.2.求函数求函数f（x）=3=3x2 2+ax+b在在x=1=1处的导数处的导数.x0faxfaxlimx（）（）【解析解析】1.1.则则=m+m=2=2m.答案：答案：2mx0faxfali
6、mm,x（）（）x0faxfalimm.x（）（）x0faxfaxlim x（）（）x0faxfafafaxlimx（）（）（）（）x0 x0faxfafaxfalimlimxx （）（）（）（）2.2.解题流程：解题流程：一作差一作差y=f(1+(1+x)-)-f(1)(1)=3(1+=3(1+x)2 2+a(1+(1+x)+)+b-(3+-(3+a+b)=3(=3(x)2 2+(6+(6+a)x二作比二作比三求极限三求极限下结论下结论f(1)=(1)=6+a =3 =3x+6+axyx0ylim6ax【互动探究互动探究】本题本题2 2题干中函数不变，若函数在题干中函数不变，若函数在x=1=
7、1处的导数为处的导数为8 8，求，求a，b.【解析解析】由例题中解答，可得由例题中解答，可得 ff（1 1）=a=2,=2,b可以为任意实数可以为任意实数.x0 x0ylimlim 3 x6a6a8.x 【总结总结】解答本题解答本题1 1的解题心得与题的解题心得与题2 2的注意点的注意点.提示：提示：（1 1）解题）解题1 1时卡准公式形式是关键，要注意平均变化率时卡准公式形式是关键，要注意平均变化率的几种变形的几种变形.如如（2 2）解题）解题2 2取极限时，要注意先对取极限时，要注意先对 化简，确保化简，确保x00时式时式子有意义子有意义.faxfafaxfa.xx（）（）（）（）yx【规
8、范训练规范训练】(12(12分分)求函数求函数y=x+在在x=2=2时的导数时的导数.【解题设问解题设问】(1)(1)解答本题需要分几步？解答本题需要分几步？_(2)(2)具体步骤是什么？具体步骤是什么？_【规范答题规范答题】y=（2+2+x）+-（2+2+）=4 4分分 8 8分分y|y|x x=2=2=1212分分1x12x12xx,2 2x（）xxy12 2x1xx2 2x （），（）x0 x0y1limlim 1x2 2x （）（）131.44三步走三步走一差、二比、三极限一差、二比、三极限1.1.已知函数已知函数y=f（x），下列说法错误的是），下列说法错误的是()()(A)(A)y
9、=f（x0 0+x）-f(x0 0)叫函数增量叫函数增量(B)(B)叫函数在叫函数在x0 0,x0 0+x上的平均变上的平均变化率化率(C)(C)f(x)在点在点x0 0处的导数记为处的导数记为y(D)(D)f(x)在点在点x0 0处的导数记为处的导数记为f(x0 0)【解析解析】选选C.C.f(x)在点在点x0 0处的导数应记为处的导数应记为y|x=x0.00f xxf xyxx2.2.已知函数已知函数f（x）=2=2x-3-3，则，则f(5)=_.(5)=_.【解析解析】y=f(5+(5+x)-)-f(5)=(5)=2(5+2(5+x)-3)-3-(2(25-3)=25-3)=2x,=2,=2,f(5)=2.(5)=2.答案答案:2 2xyx0ylimx
