1、第一课不等式和绝对值不等式【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.不等式的基本性质不等式的基本性质(1)(1)对称性对称性:ab:ab_._.(2)(2)传递性传递性:ab,bc:ab,bc_._.(3)(3)加加(减减):ab):ab_._.(4)(4)乘乘(除除):ab,c0):ab,c0_;ab,cb,c0_._.babcaca+cb+ca+cb+cacbcacbcacbcacb0ab0_,nN_,nN*,且且n n2.2.(6)(6)开方开方:ab0:ab0_,nN_,nN*,且且n2.n2.a an nbbn nna nb2.2.基本不等式基本不等式(1)(1)定理定理1:1
2、:如果如果a,bR,a,bR,那么那么a a2 2+b+b2 2_(当且仅当当且仅当a=ba=b时时,等号成立等号成立).).(2)(2)定理定理2:2:如果如果a,b0,a,b0,那么那么 _(_(当且仅当当且仅当a=ba=b时时,等号成立等号成立).).aba b22ab2ab(3)(3)引理引理:如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3_(_(当且当且仅当仅当a=b=ca=b=c时时,等号成立等号成立).).(4)(4)定理定理3:3:如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么 _(_(当且当且仅当仅当a=b=ca=b=c时时,等号成立等号成
3、立).).(5)(5)推论推论:如果如果a a1 1,a,a2 2a an nRR+,那么那么 _(_(当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n时时,等号成立等号成立).).a b c3 3abc12naaann1 2naaa3abc3abc3.3.绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)|a|(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的的几何意义表示数轴上的点到原点的_,_,|a-b|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的的几何意义表示数轴上两点间的_._.(2)|a+b|_(a,bR,ab0(2)|a+b|_(a,bR,ab0时等号成立时等号成立).).(3)_|a-b|+|b
4、-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0(3)_|a-b|+|b-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0时等号成立时等号成立).).距离距离距离距离|a|+|b|a|+|b|a-c|a-c|(4)|a|-|b|a+b|_(a,bR,(4)|a|-|b|a+b|_(a,bR,左边左边“=”=”成立的条件是成立的条件是ab0,ab0,右边右边“=”=”成立的条件是成立的条件是ab0).ab0).(5)_|a-b|a|+|b|(a,bR,(5)_|a-b|a|+|b|(a,bR,左边左边“=”=”成立的条件是成立的条件是ab0,ab0,右边右边“=”=”成立的条件是成立的条件是ab0).ab
5、0).|a|+|b|a|+|b|a|-|b|a|-|b|【易错警示易错警示】1.1.关注不等式性质的条件关注不等式性质的条件(1)(1)要注意不等式的等价性要注意不等式的等价性.(2)(2)应用不等式时应用不等式时,要注意不等式成立的条件要注意不等式成立的条件.2.2.基本不等式求最值时的关注点基本不等式求最值时的关注点要注意考虑所给式子是否满足要注意考虑所给式子是否满足“一正一正,二定二定,三相等三相等”的要求的要求.3.3.解绝对值不等式的关注点解绝对值不等式的关注点由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时,要注意转要注意转化的等价性化的等价性,特别是平
6、方时特别是平方时,两边应均为非负数两边应均为非负数.类型一类型一不等式的基本性质的应用不等式的基本性质的应用【典例典例1 1】已知已知:ab0,cb0,cb0,cb0,c0,ab0,c(b-a)0,ab0,所以所以 0,0,所以所以 cc.abc b accabab c b aabcccc0.abab，即【方法技巧方法技巧】不等式的基本性质应用的注意点不等式的基本性质应用的注意点(1)(1)注意不等式成立的条件注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可若弱化或强化了条件都可能得出错误的结论能得出错误的结论.(2)(2)注意明确各步推理的依据注意明确各步推理的依据,以防出现解题失误以防出现解题
7、失误.【变式训练变式训练】1.1.若若a,ba,b是任意实数是任意实数,且且ab,ab,则则()A.aA.a2 2bb2 2 B.1B.0C.lg(a-b)0D.D.【解析解析】选选D.D.因为因为y=y=是减函数是减函数,所以所以abab abab11()()22x1()2ab11()().222.“x0”2.“x0”是是“x+2”x+2”的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件1x【解析解析】选选C.C.当当x0 x0时时,=2,=2,因为因为x,x,同号同号,所以当所以当x+2
8、x+2时时,则则x0,0,x0,0,所以所以x0.x0.11x2 xxx1x1x1x3.3.已知已知:xy0,mn0:xy0,mn0求证求证:【证明证明】因为因为mn0,mn0,所以所以 0,0,因为因为xy0,xy0,所以所以 0,0,所以所以 xy.nm11nmxynmxy.nm类型二类型二基本不等式的应用基本不等式的应用【典例典例2 2】(1)x,y,zR(1)x,y,zR+,x-2y+3z=0,x-2y+3z=0,求求 的最小值的最小值.(2)(2)若若a,b,cRa,b,cR+,且且a+b+c=1,a+b+c=1,求证求证:2yxz1119.a bb cc a2【解析解析】(1)(1
9、)由由x-2y+3z=0,x-2y+3z=0,得得y=,y=,则则 当且仅当当且仅当x=3zx=3z时时,等号成立等号成立.x 3z2222yx9z6xz6xz 6xz3xz4xz4xz，(2)(2)因为因为a,b,cRa,b,cR+且且a+b+c=1,a+b+c=1,所以所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)2=(a+b)+(b+c)+(c+a)所以所以(a+b)+(b+c)+(c+a)(a+b)+(b+c)+(c+a)所以所以111()a b b c c a331113 a b b c c a39.a b b c c a1119.a b b c c a2【方法技巧方法技巧】利用基本不等
10、式求最值问题的类型利用基本不等式求最值问题的类型(1)(1)和为定值时和为定值时,积有最大值积有最大值.(2)(2)积为定值时积为定值时,和有最小值和有最小值.在具体应用基本不等式解题时在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围一定要注意适用的范围和条件和条件:“:“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”.【变式训练变式训练】1.1.已知已知xRxR+,则函数则函数y=xy=x2 2(1-x)(1-x)的的最大值为最大值为_._.【解析解析】y=xy=x2 2(1-x)=xx(1-x)(1-x)=xx(1-x)=xx(2-2x)=xx(2-2x)1231 x x 2 2x184().23
11、2 2727 当且仅当当且仅当x=2-2x,x=2-2x,即即x=x=时取等号时取等号.此时此时,y,ymaxmax=.=.答案答案:234274272.2.求函数求函数y=y=的最小值的最小值.【解析解析】y=y=+2+2tan+2+2tan2 2=3+=3+2tan+2tan2 23+23+2 =3+2=3+2 .当且仅当当且仅当2tan2tan2 2=即即tan=tan=时时,等号成立等号成立.所以所以y yminmin=3+2 .=3+2 .2212sincos2221211sincostan 21tan 2212tantan221tan 4122类型三类型三绝对值不等式的解法绝对值不
12、等式的解法【典例典例3 3】解关于解关于x x的不等式的不等式|2x-1|x|+1.|2x-1|x|+1.【解析解析】当当x0 x0时时,原不等式可化为原不等式可化为-2x+1-x+1,-2x+10,x0,又又x0,x0,故故x x不存在不存在.当当0 x 0 x 时时,原不等式可化为原不等式可化为 1210 x22x 1 x 1，得得 所以所以0 x 0 x 当当x x 时时,原不等式可化为原不等式可化为 得得 x2.x2.综上综上,原不等式的解集为原不等式的解集为x|0 x2.x|0 xg(x)(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)-g(
13、x).(2)|f(x)|g(x)(2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x).-g(x)f(x)g(x)(3)|f(x)|g(x)f(x)f(x)2 2g(x)g(x)2 2.(4)|x-a|+|x-b|c(c0)(4)|x-a|+|x-b|c(c0)和和|x-a|+|x-b|c(c0)|x-a|+|x-b|c(c0)型型:零点分段讨论法零点分段讨论法;利用利用|x-a|x-a|的几何意义法的几何意义法;在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象的图象.【变式训练变式训练】1.1.解不等式解不等式|x+1|x-3|.|x+1|x-3|
14、.【解析解析】方法一方法一:由由|x+1|x-3|x+1|x-3|两边平方得两边平方得(x+1)(x+1)2 2(x-3)(x-3)2 2,所以所以8x8,8x8,所以所以x1,x1,所以原不等式的解所以原不等式的解集为集为x|x1.x|x1.方法二方法二:当当x-1x-1时时,有有-x-1-x+3,-x-1-x+3,此时此时x x无解无解;当当-1x3-1-x+3,x+1-x+3,即即x1,x1,所以此时所以此时1x3;13x3时时,有有x+1x-3x+1x-3成立成立,所以所以x3.x3.所以原不等式解集为所以原不等式解集为x|x1.x|x1.2.2.已知函数已知函数f(x)=|2x+1|
15、-|x|-2.f(x)=|2x+1|-|x|-2.(1)(1)解不等式解不等式f(x)0.f(x)0.(2)(2)若存在实数若存在实数x,x,使得使得f(x)|x|+a,f(x)|x|+a,求实数求实数a a的取值范的取值范围围.【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)=|2x+1|-|x|-2f(x)=|2x+1|-|x|-21x 3,x,213x 1,x 0,2x 1,x 0 ，当当x-x-时时,由由-x-30,-x-30,可得可得x-3,x-3,当当-x0-x0),g(x)=x+2.|2x-a|+|2x+1|(a0),g(x)=x+2.(1)(1)当当a=1a=1时时,求不等式求不等式f
16、(x)g(x)f(x)g(x)的解集的解集.(2)(2)若若f(x)g(x)f(x)g(x)恒成立恒成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时时,不等式不等式f(x)g(x),f(x)g(x),即即|2x-1|+|2x+1|x+2,|2x-1|+|2x+1|x+2,1x,24xx 2111x,x,2222 x 24xx 2 等价于或 或解求得解求得x x无解无解,解求得解求得0 x 0 x 解求得解求得 综上综上,不等式的解集为不等式的解集为 1,212x,23 2x|0 x.3(2)(2)由题意可得由题意可得|2x-a|+|2x+1|x+2|2x
17、-a|+|2x+1|x+2恒成立恒成立,转化为转化为|2x-a|+|2x+1|-x-20|2x-a|+|2x+1|-x-20恒成立恒成立,令令h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=15x a 3,x,21ax a 1,x,22a3x a 1,x,2 易得易得h(x)h(x)的最小值为的最小值为 -1,-1,令令 -10,-10,解得解得a2.a2.a2a2【方法技巧方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法见类型及其解法(1)(1)分离参数法分离参数法:运用运用“f(x)af(x)af(x)
18、f(x)maxmaxa,f(x)aa,f(x)af(x)f(x)minmina”a”可解决可解决恒成立中的参数范围问题恒成立中的参数范围问题.(2)(2)更换主元法更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题不少含参数的不等式恒成立问题,若直若直接从主元入手非常困难或不可能时接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度可转换思维角度,将主元与参数互换将主元与参数互换,常可得到简捷的解法常可得到简捷的解法.(3)(3)数形结合法数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时在研究曲线交点的恒成立问题时,若能若能数形结合数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维发挥形象思维与
19、抽象思维各自的优势与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题可直观地解决问题.【变式训练变式训练】1.1.若不等式若不等式|x-a|+|x-2|1|x-a|+|x-2|1对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解析解析】设设y=|x-a|+|x-2|,y=|x-a|+|x-2|,则则y yminmin=|a-2|=|a-2|因为不等式因为不等式|x-a|+|x-2|1|x-a|+|x-2|1对任意对任意x x恒成立恒成立,所以所以|a-2|1,|a-2|1,解得解得a3a3或或a1.a1.2.(20162.(2016南昌高二检测南昌高二检测)已知函数已知函
20、数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)(1)当当a=0a=0时时,解不等式解不等式f(x)g(x).f(x)g(x).(2)(2)若存在若存在xR,xR,使得使得f(x)g(x)f(x)g(x)成立成立,求实数求实数a a的取值的取值范围范围.【解析解析】(1)(1)当当a=0a=0时时,由由f(x)g(x)f(x)g(x)得得|2x+1|x|,|2x+1|x|,两边平方整理得两边平方整理得3x3x2 2+4x+10,+4x+10,解得解得x-1x-1或或x-,x-,所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为(-,-1 (-,-1 1
21、31,).3(2)(2)由由f(x)g(x)f(x)g(x)得得a|2x+1|-|x|,a|2x+1|-|x|,令令h(x)=|2x+1|-|x|,h(x)=|2x+1|-|x|,即即h(x)=h(x)=故故h(x)h(x)minmin=,=,故可得到实数故可得到实数a a的范围为的范围为 1x 1,x,213x 1,x 0,2x 1,x 0 ，11h()221).2，第二课柯西不等式、排序不等式与数学归纳法【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.二维形式的柯西二维形式的柯西不等式不等式(1)(1)二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式:_:_._.若若a,b,c,da,b,c,d都
22、是实数都是实数,则则(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2(2)(2)柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式:_:_._.当且仅当当且仅当 是零向量是零向量,或存或存在实数在实数k,k,使使 =k =k 时时,等号成立等号成立.设设 是两个向量是两个向量,则则|,|(3)(3)二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式:设设x x1 1,y,y1 1,x,x2 2,y,y2 2R,R,那么那么_ 22222211221212xyxyxxyy2.2.一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,
23、an n,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,bn n是实数是实数,则则_._.当且仅当当且仅当b bi i=0(i=1,2,=0(i=1,2,n),n)或存在一个数或存在一个数k,k,使得使得a ai i=kb=kbi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)时时,等号成立等号成立.(a(a1 12 2+a+a2 22 2+a+an n2 2)(b)(b1 12 2+b+b2 22 2+b+bn n2 2)(a)(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n)2 23.3.排序不等式排序不等式设设a a1 1aa2 2aan n,b,b1 1bb2 2b
24、bn n为两组实数为两组实数,c c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b,bn n的任一排列的任一排列,则则a a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+a+an nb b1 1_aa1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n.a a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn n4.4.数学归纳法数学归纳法一般地一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n n0 0的的所有正整数所有正整数n n都成立时都成立时,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤:(1)(1)证明
25、当证明当_时时,命题成立命题成立.(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN+,且且knkn0 0)时时,命题成立命题成立.证明证明_时时,命题也成立命题也成立.n=nn=n0 0n=k+1n=k+1【易错警示易错警示】关注数学归纳法应用时常出现的三个错误关注数学归纳法应用时常出现的三个错误(1)(1)对假设设而不用对假设设而不用.(2)(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.(3)(3)没有搞清从没有搞清从k k到到k+1k+1的跨度的跨度.1-1-.类型一类型一利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明不等式【典例典例1 1】若若n n是不小于是不
26、小于2 2的正整数的正整数,求证求证:471 1 111.2 3 42n 1 2n 22【证明证明】1-1-所以求证式等价于所以求证式等价于 .n+2nn2 2,于是于是 =.=.111(.)n 1 n 22n 111.n 1 n 22n 2n(n 1)(n 2).(2n)2n3n 1213n2132471-1-.又由柯西不等式又由柯西不等式,有有所以所以111.n 1 n 22n 222222111(11.1).(n 1)(n 2)(2n)11n()n2n2.2471 1 111.2 3 42n 1 2n 22【方法技巧方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧利用柯西不等式证题的技巧(1)(1)柯
27、西不等式的一般形式为柯西不等式的一般形式为(a(a1 12 2+a+a2 22 2+a+an n2 2)(b)(b1 12 2+b b2 22 2+b+bn n2 2)(a)(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n)2 2(a(ai i,b,bi iR,i=1,R,i=1,2,n),2,n),形式简洁、美观、对称性强形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西灵活地运用柯西不等式不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解而解.(2)(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组利用柯西不等式证明其他不等式的关键
28、是构造两组数数,并向着柯西不等式的形式进行转化并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意运用时要注意体会体会.【变式训练变式训练】1.1.设设a,b,ca,b,c为正实数为正实数,且且a+b+c=3,a+b+c=3,求证求证:2a 12b 12c 1 3 3.【解题指南解题指南】利用柯西不等式的向量形式利用柯西不等式的向量形式,目标式的左目标式的左边应是两个向量的数量积边应是两个向量的数量积.由于变量由于变量a,b,ca,b,c的系数都相的系数都相等等,由整体性可构造向量由整体性可构造向量m=(),=(),n=(1,1,1),=(1,1,1),利用利用|mn|m|n|可得证可得证.2a 1
29、2b 1 2c 1，【证明证明】令令m=(),=(),n=(1,1,1),=(1,1,1),则则mn=而而|m|=|=又又|n|=,|=,由由|mn|m|n|,|,得得所以所以 当且仅当当且仅当a=b=c=1a=b=c=1时时,等号成立等号成立.2a 1 2b 1 2c 1，2a 12b 12c 1.2a 12b 1(2c 1)2 a b c3 3.32a 12b 12c 1 3 3.2.2.已知正数已知正数x,y,zx,y,z满足满足5x+4y+3z=10.5x+4y+3z=10.(1)(1)求证求证:(2)(2)求求 的最小值的最小值.22225x16y9z5.4y 3z3z 5x5x 4
30、y222xyz99【解析解析】(1)(1)根据柯西不等式根据柯西不等式,得得(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)(5x+4y+3z)(5x+4y+3z)2 2,因为因为5x+4y+3z=10,5x+4y+3z=10,所以所以 22225x16y9z()4y 3z3z 5x5x 4y222225x16y9z105.4y 3z3z 5x5x 4y20(2)(2)根据基本不等式根据基本不等式,得得 当且仅当当且仅当x x2 2=y=y2 2+z+z2 2时时,等号成立等号成立.根据柯西不等式根据柯西不等式,得得(x(x2 2+y+y2 2+z+
31、z2 2)(5)(52 2+4+42 2+3+32 2)(5x+4y+3z)(5x+4y+3z)2 2=100,=100,即即x x2 2+y+y2 2+z+z2 22,2,当且仅当当且仅当 时时,等号成立等号成立.综上综上,2,23 32 2=18.=18.222222222xyzxyzxyz992 9923,xyz15435222xyz99类型二类型二利用排序不等式证明不等式利用排序不等式证明不等式【典例典例2 2】设设A,B,CA,B,C表示表示ABCABC的三个内角的弧度的三个内角的弧度数数,a,b,c,a,b,c表示其对边表示其对边,求证求证:aA bB cCa b c.3【证明证明
32、】方法一方法一:不妨设不妨设ABC,ABC,则有则有abcabc由排序原理由排序原理:顺序和顺序和乱序和乱序和所以所以aA+bB+cCaB+bC+cAaA+bB+cCaB+bC+cAaA+bB+cCaC+bA+cBaA+bB+cCaC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cCaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得上述三式相加得3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c)3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c)所以所以 aA bB cCa b c.3方法二方法二:不妨设不妨设ABC,ABC,则有则有abc,abc,由排序不等式由排序不
33、等式 即即aA+bB+cC (a+b+c),aA+bB+cC (a+b+c),所以所以 aA bB cCA B C a b c333 ，3aA bB cCa b c.3【延伸探究延伸探究】在本例条件下在本例条件下,你能证明你能证明吗吗?aA bB cCa b c 2【证明证明】能能.由由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有有0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B
34、)+c(-2C)=(a+b+c)-+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)-2(aA+bB+cC).2(aA+bB+cC).得得 aA bB cCa b c.2【方法技巧方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略利用排序不等式证明不等式的策略(1)(1)在利用排序不等式证明不等式时在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出首先考虑构造出两个合适的有序数组两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择进行合理选择.(2)(2)根据
35、排序不等式的特点根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有与多变量间的大小顺序有关的不等式问题关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷利用排序不等式解决往往很简捷.【变式训练变式训练】若若a a1 1aa2 2aan n,而而b b1 1bb2 2bbn n或或a a1 1aa2 2aan n而而b b1 1bb2 2bbn n,证明证明:当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=bn n时时,等号成立等号成立.1 12 2nnaba ba bn12n12naaabbb()().nn【证明证明】不妨设不妨设a a1 1aa2 2aan n
36、,b,b1 1bb2 2bbn n.则由排序原理得则由排序原理得:a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn naa1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn na a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn naa1 1b b2 2+a+a2 2b b3 3+a+an nb b1 1a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn naa1 1b b3 3+a+a2 2b b4 4+a+an-1n-1b b1 1+a+an nb b2 2a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+
37、a+an nb bn naa1 1b bn n+a+a2 2b b1 1+a+an nb bn-1n-1.将上述将上述n n个式子相加个式子相加,得得:n(a:n(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n)(a(a1 1+a+a2 2+a+an n)(b)(b1 1+b+b2 2+b+bn n)上式两边除以上式两边除以n n2 2,得得 等号当且仅当等号当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=bn n时成立时成立.1 12 2nnaba ba bn12n12naaabbb()().nn类型三类型三利用柯西不等式和排序不
38、等式求最值利用柯西不等式和排序不等式求最值【典例典例3 3】(1)(1)已知实数已知实数x,y,zx,y,z满足满足x x2 2+2y+2y2 2+3z+3z2 2=3,=3,求求u=x+2y+3zu=x+2y+3z的最小值和最大值的最小值和最大值.(2)(2)设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,a5 5是互不相同的正整数是互不相同的正整数,求求M=M=a a1 1+的最小值的最小值.35242222aaaa2345【解析解析】(1)(1)因为因为(x+2y+3z)(x+2y+3z)2 2=(x=(x1+y1+y +z +z )2 2xx2 2+(y)+(y)2 2
39、+(z)+(z)2 2 112 2+()+()2 2+()+()2 2=(x=(x2 2+2y+2y2 2+3z+3z2 2)(1+2+3)=18.)(1+2+3)=18.22332323当且仅当当且仅当 ,即即x=y=zx=y=z时时,等号成立等号成立.所以所以-3 x+2y+3z3 ,-3 x+2y+3z3 ,即即u u的最小值为的最小值为-3 ,-3 ,最大值为最大值为3 .3 .x2y3z1232222(2)(2)设设b b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,b4 4,b,b5 5是是a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,a5 5的一个排列的一个排列,且且b
40、b1 1bb2 2bb3 3bb4 4b0,0,11.k 1kk 1 k 2 k 1 k 2k 1k.22k 1 k 2k 1k k k 1k k 1k k 1于是有于是有 成立成立.所以当所以当n=k+1n=k+1时时,原不等式也成立原不等式也成立.由由(1),(2)(1),(2)可知可知,当当nNnN+时时,原不等式都成立原不等式都成立.k 1 k 2k 1k 第三课证明不等式的基本方法【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.比较法比较法(1)(1)作差比较法的作差比较法的依据依据:若若a,bR,a,bR,则则_ab;a-b=0ab;a-b=0a=b;_a=b;_ab.a0,b0,
41、a0,b0,则则_ab;=1ab;=1a=b;_a=b;_ab.a0a-b0a-b0a-b0,ab0,求证求证:3a:3a3 3+2b+2b3 33a3a2 2b+2abb+2ab2 2.【证明证明】3a3a3 3+2b+2b3 3-(3a-(3a2 2b+2abb+2ab2 2)=3a=3a2 2(a-b)+2b(a-b)+2b2 2(b-a)=(a-b)(3a(b-a)=(a-b)(3a2 2-2b-2b2 2).).因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,3aa-b0,3a2 2-2b-2b2 22a2a2 2-2b-2b2 20.0.从而从而(3a(3a2 2-2b-2b2 2)(a
42、-b)0,)(a-b)0,故故3a3a3 3+2b+2b3 33a3a2 2b+2abb+2ab2 2成立成立.【方法技巧方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤比较法证明不等式的依据及步骤(1)(1)依据依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)(2)一般步骤一般步骤:作差作差;恒等变形恒等变形;判断结果的符号判断结果的符号;下结论下结论.其中其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的变形的目的在于判断差的符号目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是而不是考虑差能否化简或值是多少多少,变形所用的方法要具
43、体情况具体分析变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方可以配方,可以因式分解可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形可以运用一切有效的恒等变形.【变式训练变式训练】1.(20161.(2016南阳高二检测南阳高二检测)已知已知a,ba,b是正实是正实数数,n,n是正整数是正整数.求证求证:(a+b)(a:(a+b)(an n+b+bn n)2(a)2(an+1n+1+b+bn+1n+1).).【证明证明】(a+b)(a(a+b)(an n+b+bn n)-2(a)-2(an+1n+1+b+bn+1n+1)=a=an+1n+1+ab+abn n+a+an nb+bb+bn+1n+1-2a-2a
44、n+1n+1-2b-2bn+1n+1=ab=abn n+a+an nb-ab-an+1n+1-b-bn+1n+1=a(b=a(bn n-a-an n)+b(a)+b(an n-b-bn n)=(a-b)(b)=(a-b)(bn n-a-an n).).当当ab0ab0时时,b,bn n-a-an n0,0,此时此时(a-b)(b(a-b)(bn n-a-an n)0;)a0ba0时时,b,bn n-a-an n0,a-b0,a-b0,此时此时(a-b)(b(a-b)(bn n-a-an n)0;)0a=b0时时,b,bn n-a-an n=0,a-b=0,=0,a-b=0,此时此时(a-b)(
45、b(a-b)(bn n-a-an n)=0.)=0.综上所述综上所述:(a+b)(a:(a+b)(an n+b+bn n)-2(a)-2(an+1n+1+b+bn+1n+1)0.)0.即即(a+b)(a(a+b)(an n+b+bn n)2(a)2(an+1n+1+b+bn+1n+1).).2.(20162.(2016福州高二检测福州高二检测)已知已知(0,),(0,),求证求证:2sin2 :2sin2 sin.1 cos【证明证明】2sin2-=4sincos-2sin2-=4sincos-因为因为(0,),(0,),所以所以sin0,1-cos0,sin0,1-cos0,又又(2cos-
46、1)(2cos-1)2 20,0,所以所以2sin2-0,2sin2-0,所以所以2sin2 .2sin2 .sin1 cossin1 cos22sin(4cos4cos1)sin(2cos1),1 cos1 cossin1 cossin1 cos类型二类型二综合法证明不等式综合法证明不等式【典例典例2 2】已知已知a0,aa0,a2 2-2ab+c-2ab+c2 2=0=0且且bcabca2 2,试证明试证明:bc.:bc.【证明证明】因为因为a a2 2-2ab+c-2ab+c2 2=0,=0,所以所以a a2 2+c+c2 2=2ab.=2ab.又又a a2 2+c+c2 22ac,2a
47、c,且且a0,a0,所以所以2ab2ac,2ab2ac,所以所以bc.bc.若若b=c,b=c,由由a a2 2-2ab+c-2ab+c2 2=0,=0,得得a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=0,=0,所以所以a=b.a=b.从而从而a=b=c,a=b=c,这与这与bcabca2 2矛盾矛盾.从而从而bc.bc.【方法技巧方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向考方向(1)(1)依据依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.(2)(2)注意点注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式作为依据和出发点的几个重要
48、不等式(已知已知或已证或已证)成立的条件往往不同成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具应用时要先考虑是否具备应有的条件备应有的条件,避免错误避免错误,如一些带等号的不等式如一些带等号的不等式,应用应用时要清楚取等号的条件时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中即对重要不等式中“当且仅当且仅当当时时,取等号取等号”的理由要理解掌握的理由要理解掌握.(3)(3)思考方向思考方向:综合法证明不等式的思考方向是综合法证明不等式的思考方向是“顺顺推推”,即由已知的不等式出发即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件逐步推出其必要条件(由由因导果因导果),),最后推导出所要证明的不等式成立最后推导出所要证明
49、的不等式成立.【变式训练变式训练】1.(20161.(2016昆明高二检测昆明高二检测)已知已知a,ba,b是不相是不相等的正实数等的正实数,求证求证:(a:(a2 2b+a+bb+a+b2 2)(ab)(ab2 2+a+a2 2+b)9a+b)9a2 2b b2 2.【解题指南解题指南】因为因为a,ba,b是不相等的正实数是不相等的正实数,所以所以a a2 2b+a+bb+a+b2 2及及abab2 2+a+a2 2+b+b均可用三正数的均值不等式均可用三正数的均值不等式,从而从而用综合法可证明用综合法可证明.【证明证明】因为因为a,ba,b是正实数是正实数,所以所以a a2 2b+a+bb
50、+a+b2 23 =3ab0,3 =3ab0,(当且仅当当且仅当a a2 2b=a=bb=a=b2 2即即a=b=1a=b=1时时,等号成立等号成立););同理同理:ab:ab2 2+a+a2 2+b3 =3ab0,+b3 =3ab0,(当且仅当当且仅当abab2 2=a=a2 2=b=b即即a=b=1a=b=1时时,等号成立等号成立););223a ba b 223ab a b 所以所以(a(a2 2b+a+bb+a+b2 2)(ab)(ab2 2+a+a2 2+b)9a+b)9a2 2b b2 2,(当且仅当当且仅当a=b=1a=b=1时时,等号成立等号成立););因为因为ab,ab,所以
