1、一、电流与电流密度一、电流与电流密度1.电流电流tQ0limtQdQItdt 设在设在 时间内通过导体某一截面的电荷量为时间内通过导体某一截面的电荷量为 ,则电流则电流强度强度:标量标量;方向方向:正电荷运动的方向正电荷运动的方向单位单位:A(安培安培)形成电流的带电粒子形成电流的带电粒子(称载流子称载流子):电子电子,质子质子,正负离子等正负离子等第十九章第十九章 稳恒磁场稳恒磁场191 稳恒电流稳恒电流2、电流密度、电流密度dIjndsSIj ds 则通过任一截面的电流：则通过任一截面的电流：定义：电流密度是一个矢量，在导体中某一点定义：电流密度是一个矢量，在导体中某一点 该矢量的方向代表
2、该点电流的方向；其该矢量的方向代表该点电流的方向；其 大小等于通过与该点电流方向垂直的单大小等于通过与该点电流方向垂直的单 位面积中的电流值。记为：位面积中的电流值。记为：“j”。单位：单位：22/IjAmcs mS讨论：讨论：（1）导体中有）导体中有n种载流子。种载流子。表示第表示第i种载流子的数密度、电量和速度，种载流子的数密度、电量和速度，表示该载流子的电流密度，则通过表示该载流子的电流密度，则通过 面的电流面的电流iiin q vijdsiiidInqv dsj dsijj总电流密度总电流密度dIj ds则则（2）导体只有一种载流子）导体只有一种载流子自由电子，但各自由电子自由电子，但
3、各自由电子速度不同。速度不同。设电子电量为设电子电量为e，单位体积内以速度，单位体积内以速度 运动的电子数为运动的电子数为则：则：iviniiiiijjnevenv平均速度平均速度/iiiiivvnvnnvnn为单位体积中总电子数为单位体积中总电子数ijnev无外场时，电子作无规则热运动无外场时，电子作无规则热运动 ，所以无电流，所以无电流0v（3）对于一个有限的面积）对于一个有限的面积S，通过它的电流应为通过各面，通过它的电流应为通过各面元的电流的代数和。元的电流的代数和。SSIdIj dSSdjS在电流场中，通过某一面积的电在电流场中，通过某一面积的电流就是通过该面积的电流密度的流就是通过
4、该面积的电流密度的通量，是一个代数量。通量，是一个代数量。（4）通过一个封闭曲面）通过一个封闭曲面S的电流。的电流。SIj dS据电流密度的意义知，实际表示净流出封闭面的电流。据电流密度的意义知，实际表示净流出封闭面的电流。根据电荷守恒定律，经封闭面流出的电量应等于面内电荷根据电荷守恒定律，经封闭面流出的电量应等于面内电荷的减少，即的减少，即intSdqIj dSdt 电流的连续性方程电流的连续性方程二、欧姆定律和电阻二、欧姆定律和电阻1、欧姆定律、欧姆定律UIRlRS而而电阻定律电阻定律是电阻率是电阻率lRS是电导率是电导率12、欧姆定律的微分形式、欧姆定律的微分形式12lsI12UE ll
5、RsUIR/jEEIj s 代入代入得得jE三、电动势三、电动势1、维持稳恒电流的条件、维持稳恒电流的条件ABIIABIIR+-2、电源的电动势、电源的电动势定义：把单位正电荷从电源负极通过电源内部移到正极定义：把单位正电荷从电源负极通过电源内部移到正极 非静电力所做的功。非静电力所做的功。若电源移动电荷若电源移动电荷dq时，做功时，做功dA，有：，有：dAdq()ABdAdqE dl电源内部设设 为非静电力场强，则为非静电力场强，则dAE则则ABE dl由于由于 仅在电源内部，在外部仅在电源内部，在外部E0E LE dl标量标量方向：由负极经电源内部到正极方向：由负极经电源内部到正极一、磁场
6、一、磁场SN磁铁磁铁SN磁铁磁铁电流电流电流电流磁场磁场磁场磁场磁场磁场-磁铁或电流周围存在的一种能显示磁力磁铁或电流周围存在的一种能显示磁力 的物质。的物质。对外表现：对外表现：1）磁场对磁铁、对电流、对运动电）磁场对磁铁、对电流、对运动电 荷均有磁作用力；荷均有磁作用力；2）载流导体在磁场中移动时，磁场）载流导体在磁场中移动时，磁场 的作用力对它作功。的作用力对它作功。19-2磁场磁场 与磁感应强度与磁感应强度二、磁感应强度二、磁感应强度ns0Is面积0,I电流,.:n线圈法线正方向 又称右旋单位法线矢量设元线圈面积为设元线圈面积为 ，电流为，电流为 s0I 线度小电流小试验元件：小载流线
7、圈试验元件：小载流线圈mPn sIPm0元线圈的磁矩元线圈的磁矩 ：0mMPIS最大实验发现：将载流线圈放入稳恒磁场中，受磁力矩作用实验发现：将载流线圈放入稳恒磁场中，受磁力矩作用 而转动，转至某一方向稳定平衡（称线圈平衡而转动，转至某一方向稳定平衡（称线圈平衡 位置）。位置）。规定：线圈处于稳定平衡位置的法线正向为磁场方向。规定：线圈处于稳定平衡位置的法线正向为磁场方向。实验表明：规定方向与该处磁针实验表明：规定方向与该处磁针N极方向相同。极方向相同。2载流线圈从平衡位置转过载流线圈从平衡位置转过 时，受磁力矩最大时，受磁力矩最大mMBP最大引入磁感应强度引入磁感应强度单位：特斯拉（单位：特
8、斯拉（T）BnB的方向：载流线圈稳定平衡时 方向为 的正方向。B的大小：mMBP最大n BndS规定：规定：1）磁力线上各点的切线方向应代表该点）磁力线上各点的切线方向应代表该点 的磁感应强度的的磁感应强度的方向方向。nmdSdB2）通过垂直于磁力线单位面积的磁力线）通过垂直于磁力线单位面积的磁力线 数应等于这一点磁感应强度的数应等于这一点磁感应强度的大小大小。NS三、磁感应线三、磁感应线NNSSNSIII特点：特点：1）任何两磁感应线不相交且自成无头无尾的闭）任何两磁感应线不相交且自成无头无尾的闭 合线（涡旋场）合线（涡旋场）2）磁感应线越密的地方磁场越强。磁感应线总）磁感应线越密的地方磁场
9、越强。磁感应线总 与电流相套合，且符合右手螺旋法则。与电流相套合，且符合右手螺旋法则。19-3毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律一一.毕毕萨定律是电流激发磁场的基本规律萨定律是电流激发磁场的基本规律.19世纪世纪20年代年代,法国科学家毕奥和萨伐尔分析了大量实验资料法国科学家毕奥和萨伐尔分析了大量实验资料,又又同拉普拉斯经过严密的数学分析、逻辑推理而得到的同拉普拉斯经过严密的数学分析、逻辑推理而得到的.PIdBIdlIdlr内容表述：内容表述：在一段载流为在一段载流为I的导线上取电流的导线上取电流元元 ,它在某场点它在某场点P处产生的磁处产生的磁感应强度感应强度 的大小与电流的大小与电流 的大小成正
10、比的大小成正比,与电流元与电流元 所所在处到场点在处到场点P的位矢的位矢 和电流元和电流元 间的夹角间的夹角的正弦的正弦sin 成正比成正比,而与位矢而与位矢 大小成平方反比大小成平方反比.IdldBrrIdlIdlIdl表达式：表达式：02sin4IdldBr034IdlrdBr矢量式矢量式其中其中720410/NA真空中的磁导率真空中的磁导率有限载流导体：有限载流导体：034IdlrBdBr的方向：的方向：垂直于电流元垂直于电流元 与与 组成的平面，组成的平面，指向由右手螺旋确定。指向由右手螺旋确定。IdldBrdB二、毕萨定律的应用二、毕萨定律的应用例例19-6.求载流直导线的磁场求载流
11、直导线的磁场.02s i n4I d ld Br方向：方向：垂直纸面向里垂直纸面向里02sin4IdlBdBr解解:在载有电流在载有电流I I长度为长度为L L的直导线上取一电流元的直导线上取一电流元 ,则则它在距离导线它在距离导线a a的的P P点产生的磁感应强度大小为点产生的磁感应强度大小为Idl可看出导线上各电流元在可看出导线上各电流元在P点点产生的产生的 的方向相同的方向相同.因因此求磁感应强度此求磁感应强度 的矢量积分的矢量积分变成标量积分变成标量积分.即即dBB须统一变量须统一变量l,r,l,r,.r=acscr=acsc,l=actg,l=actg(-)=-actg)=-actg
12、dl=acscdl=acsc2 2d221120022012sinsin44(coscos)4cscIIadBdaIascsa 讨论讨论:若是无限长直导线若是无限长直导线,1=0,2=,则则 02IBa若是半无限长直导线若是半无限长直导线,则则04IBa对载流导线延长线上一点对载流导线延长线上一点,B=0.例例19-7.19-7.载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场.解解:在半径为在半径为R R载有电流载有电流I I的线圈上任取一电流元的线圈上任取一电流元 ,其在其在线圈轴线上距圆心线圈轴线上距圆心o o为为x x的的P P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 大小为大小为:IdldB
13、0022sin(,)44IdldlrIdldBrr由图可知由图可知 方向变化，作矢量分解。方向变化，作矢量分解。分析对称性可知分析对称性可知,dB dB互相抵消互相抵消,而而dBdB互相加强互相加强,因此总磁感应强度因此总磁感应强度dB总磁感应强度：总磁感应强度：2200/222 3/20sin42()RIdl RR IBdBdBrrRx方向方向:沿轴线方向沿轴线方向,与电流方向成右手螺旋与电流方向成右手螺旋.讨论讨论:在圆心在圆心O O处处 x=0 x=0 02IBR方向仍是右手螺旋方向仍是右手螺旋若圆电流由若圆电流由N N匝导线组成匝导线组成,每匝电流均为每匝电流均为I I则则 02NIB
14、R在轴线上相距很远处在轴线上相距很远处,xR,xR 200332244mPR IBxx2mPISI R电流磁矩电流磁矩(与电偶极子场强与电偶极子场强 相似相似)3024ePEx一段载流圆导线在圆心激发的磁场一段载流圆导线在圆心激发的磁场 大小为大小为B00224IBRR方向同样沿轴线且符合右手螺旋方向同样沿轴线且符合右手螺旋.是圆弧对圆心张开是圆弧对圆心张开的圆心角的圆心角.用弧度表示用弧度表示.例例19-8.19-8.载流直螺线管内部的磁场载流直螺线管内部的磁场.BdldlI2P R1解解:设螺线管半径为设螺线管半径为R,R,单位单位长度上有长度上有n n匝线圈匝线圈,每匝中每匝中有电流有电
15、流I.I.每匝圆电流在轴线上任一每匝圆电流在轴线上任一点磁场均沿轴取向点磁场均沿轴取向,取螺线取螺线管轴线与电流成右手螺旋管轴线与电流成右手螺旋,即磁场沿即磁场沿x x正向正向.在螺线管上取微元在螺线管上取微元dx,dx,通过通过电流电流dI=nIdxdI=nIdx看作圆线圈在看作圆线圈在轴线上轴线上O O点产生的磁感应强点产生的磁感应强度度2022 3/22()R nIdxdBRx整个螺线管在整个螺线管在o o点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 的大小的大小B20223/22()LLR nIdxBdBRxX=RctgX=Rctgdx=-Rcscdx=-Rcsc2 2R R2 2+x+x2
16、2=R=R2 2csccsc2 221210.5sin0.5(coscos)LBdBnIdnI B=B=nInI 磁场均匀磁场均匀半无限长半无限长 1 1=/2 =/2 2 2=0=0 或或1 1=0=0 2 2=/2/2B=0.5B=0.5nInI讨论讨论:无限长直螺线管无限长直螺线管:1 1=2 2=0=0例补例补:有一无限大均匀载流薄铜片，已知单位宽度上的有一无限大均匀载流薄铜片，已知单位宽度上的电流强度为电流强度为i i，求距钢片为，求距钢片为a a的的P P点处的磁感应强度。点处的磁感应强度。解：铜片可看作由无限多个有一定宽度的无限长直导线解：铜片可看作由无限多个有一定宽度的无限长直
17、导线产生的磁场的矢量和。产生的磁场的矢量和。建立坐标系，并在铜片一侧离建立坐标系，并在铜片一侧离o o为为x x处取一定宽度处取一定宽度dxdx的无限的无限长直导线，设它至长直导线，设它至P P点的距离为点的距离为r r，通有电流，通有电流dI=idxdI=idx,则它则它在在P P点处的磁感应强度点处的磁感应强度2idBdxr方向如图方向如图把把dBdB分解成为分解成为dBxdBx和和dBydBy，由对称性分析可知由对称性分析可知dBydBy分分量互抵消，量互抵消，dBxdBx分量互加强分量互加强。0yyBdB22cos22()2xxidx aBBdBdBr ridxiax可看出可看出B B
18、大小与大小与P P点距铜片距离无关，方向沿点距铜片距离无关，方向沿x x轴负向轴负向1 1I Io o2 2o oI II II I段电流是段电流是，的两倍的两倍（因为（因为，是是I I的电阻的的电阻的 两倍）两倍）思考题：思考题：毕毕-萨定律是电流激发磁场的基本规律，而电流是由大量萨定律是电流激发磁场的基本规律，而电流是由大量电荷定向运动形成的，因此电流所产生的磁场，可归结电荷定向运动形成的，因此电流所产生的磁场，可归结为大量运动电荷所产生的磁场。为大量运动电荷所产生的磁场。02sin(,)4IdlIdl rdBr由毕萨定律知电流元由毕萨定律知电流元 产生的磁感应强度产生的磁感应强度 大小为
19、大小为dBIdl设电流元设电流元 的截面积是的截面积是s s，并设载流导体单位体积内粒子，并设载流导体单位体积内粒子数为数为n n，每个粒子带电为，每个粒子带电为q q，并以速度，并以速度v v沿沿 方向匀速运动，方向匀速运动，则单位时间内通过横截面的电量（即电流强度）则单位时间内通过横截面的电量（即电流强度）IdlIdlIqnvs19-4匀速运动的点电荷的磁场匀速运动的点电荷的磁场2sin,4qnvs dlv rdBr 因此因此2sin,4qvv rdBBdNr 方向方向:垂直于垂直于 与与 组成的平面组成的平面Bvr在电流元在电流元 内有内有 个粒子运动个粒子运动.从微观上看从微观上看,产
20、生的磁场产生的磁场 就是这就是这 个运动电荷产生的个运动电荷产生的.因因此此,每一个是以速度每一个是以速度 运动的电荷产生的磁场感应强运动的电荷产生的磁场感应强度度 大小为大小为IdldNnsdldBdNBvIdl写成矢量式：写成矢量式：34qvrBr运动电荷的磁场公式运动电荷的磁场公式也是毕萨定律的微观形式也是毕萨定律的微观形式-vB-rvBr19-5磁场的高斯定理和安培环路定律磁场的高斯定理和安培环路定律一、磁通量和磁场的高斯定理一、磁通量和磁场的高斯定理1、磁通量、磁通量（类似于电通量）定义：通过一个给定曲面的总磁感线（类似于电通量）定义：通过一个给定曲面的总磁感线数，称为磁通量。标记为
21、数，称为磁通量。标记为mcosmdBdSB dSdS对于面元对于面元 有有其中其中为面元为面元 的正法线方向与该外的正法线方向与该外 方向夹角方向夹角dSdB对于有限曲面对于有限曲面SmsB dS211WbT m单位：单位：2、磁场的高斯定理、磁场的高斯定理用于描述磁场的特性用于描述磁场的特性在磁场中取任一闭合曲面，并规定外法线为正，则穿出在磁场中取任一闭合曲面，并规定外法线为正，则穿出闭合面的磁通量为正，穿入闭合面的磁通量为负。由于闭合面的磁通量为正，穿入闭合面的磁通量为负。由于磁感应线是闭合线，因此穿入闭合面的磁感线数等于穿磁感应线是闭合线，因此穿入闭合面的磁感线数等于穿出闭合面的磁感线数
22、。所以总磁通量为零，即出闭合面的磁感线数。所以总磁通量为零，即0sBdS 对应于电场的高斯定理对应于电场的高斯定理可知，磁场是无源场。可知，磁场是无源场。iDdSq 二、磁场强度二、磁场强度 安培环路定律安培环路定律1、磁场强度、磁场强度从毕萨定律求出的磁感应强度与磁介质有关：从毕萨定律求出的磁感应强度与磁介质有关：34IdlrdBr类似于电场中引入的电位移矢量类似于电场中引入的电位移矢量DE（与电介质无关）与电介质无关）D引入新的物理量引入新的物理量磁场强度磁场强度BHH则无限长直线外距导线则无限长直线外距导线a处的磁场强度：处的磁场强度：/2HIa圆形电流轴线上和中心处的磁场强度：圆形电流
23、轴线上和中心处的磁场强度：222 3/22()R IHRx2IHR无限长直载流螺线管内轴线上磁场强度：无限长直载流螺线管内轴线上磁场强度：HnI2、安培环路定律、安培环路定律称为磁场强度称为磁场强度 的环流。的环流。H磁场中，磁场强度磁场中，磁场强度 沿任一闭合曲线的线积分沿任一闭合曲线的线积分cos(,)H dlHH dl dlHLIrdrd LIl dHPN顶视放大图顶视放大图如图中，曲线上如图中，曲线上P点处点处2IHrrd LIl dHPN则沿闭合曲线的环流为：则沿闭合曲线的环流为：20cos2IH dlHdlHrdrdIr仅与包围的传导电流有关，与回路无关仅与包围的传导电流有关，与回
24、路无关取不同回路，结论相同取不同回路，结论相同环路定律：环路定律：在磁场中，磁场强度沿一闭合曲线在磁场中，磁场强度沿一闭合曲线的线积分（即的线积分（即 的环流）等于此的环流）等于此闭合曲线所包围的各传导电流强度闭合曲线所包围的各传导电流强度的代数和。的代数和。iiHdlI电流的正负与闭合环路绕行方向有关。电流的正负与闭合环路绕行方向有关。规定：当电流方向与环路绕行方向成右手螺旋时，为正；规定：当电流方向与环路绕行方向成右手螺旋时，为正；反之，为负。反之，为负。II0I0LILIL2I1I2L1IL4L3I3、应用、应用例例19-9：求无限长载流圆柱导体内、外的磁场强度。：求无限长载流圆柱导体内
25、、外的磁场强度。解：如图，设电流沿轴线方向，且在解：如图，设电流沿轴线方向，且在圆柱导体横截面上均匀分布。由于是圆柱导体横截面上均匀分布。由于是无限长圆柱体，则磁场具有轴对称分无限长圆柱体，则磁场具有轴对称分布。布。IrIR HP 在导体外过在导体外过P点作一半径为点作一半径为r的圆，圆的圆，圆面垂直于轴线（如图），则回路上任面垂直于轴线（如图），则回路上任一点一点 的数值相等，方向与闭合回路的数值相等，方向与闭合回路相切。用环路定理有：相切。用环路定理有：H2H dlHdlHrI0022IIHBHrrRrIL在导体内同样作一闭合回路，则此闭合线包围的电流为：在导体内同样作一闭合回路，则此闭合
26、线包围的电流为：22IIrR 运用环路定理：运用环路定理：222IrH dlHdlHrIR002222IrIrHBHRR例例19-10：求长螺线管内的磁场强度。：求长螺线管内的磁场强度。RBABDCP解：设共有解：设共有N匝，通有电流匝，通有电流I。由于螺线管很长，管内中央。由于螺线管很长，管内中央部分的磁场是均匀的，方向与管轴平行，管外侧，磁场强部分的磁场是均匀的，方向与管轴平行，管外侧，磁场强度很弱，可以忽略。度很弱，可以忽略。如图，过管内一点如图，过管内一点P作一个矩形闭合线作一个矩形闭合线ABCD，并沿此闭合，并沿此闭合线运用安培环路定理：线运用安培环路定理：cos()cos()cos
27、()cos()ABBCCDDAH dlHH dl dlHH dl dlHH dl dlHH dl dlABH dlHdlH ABNnLiH dlH ABIABnI00NHnIILBHnI L例例19-11：求环形螺线管内的磁场强度。：求环形螺线管内的磁场强度。cos()iH dlHH dl dlHdlHLI解：如图，取过管内一磁场线为积分解：如图，取过管内一磁场线为积分闭合线。由于闭合线上任一点磁场强度闭合线。由于闭合线上任一点磁场强度与闭合线相切，有与闭合线相切，有运用安培环路定理：运用安培环路定理：cos()1H dlL为闭合线长度。为闭合线长度。设有设有N匝，电流强度为匝，电流强度为I，则闭合线所围电流为，则闭合线所围电流为NI即：即：iININIHnIL L思考题：思考题：用安培环路定理求无限大均匀载用安培环路定理求无限大均匀载流平面外的磁场。流平面外的磁场。由于管横截面很小，由于管横截面很小，L可视为管平均可视为管平均周长，则周长，则 是单位长度上线是单位长度上线圈匝数。圈匝数。NnL
