1、栏目索引高中数学第四节直线、平面平行的判定与性质栏目索引1.直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质教材研读教材研读 判定性质定义定理图形条件a=a,b,ab a a,a,=b 结论aba=ab栏目索引2.面面平行的判定与性质面面平行的判定与性质 判定性质定义定理图形条件=a,b,ab=P,a,b ,=a,=b ,a结论aba判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()栏目索引(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)如果一条直线a与平面内的无数条直线平行,则a.(
2、)(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.()(6)设l为直线,为两个不同的平面,若l且l,则.()(7)若,直线a,则a.()栏目索引1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.以上均有可能答案答案 D与一个平面平行的两条直线可以平行、相交,也可以异面.2.下列命题中,正确的是()A.若ab,b,则aB.若a,b,则abC.若a,b,则abD.若ab,b,a,则a答案答案 D由直线与平面平行的判定定理知,只有选项D正确.栏目索引3.设,是两个不同的平面
3、,m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分不必要条件是()A.ml1且nl2 B.m且nl2C.m且n D.m且l1答案答案 A由ml1,m,l1,得l1,同理,l2,又l1,l2相交,所以,反之不成立,所以ml1且nl2是的一个充分不必要条件.栏目索引4.已知平面,直线a,有下列命题:a与内的所有直线平行;a与内无数条直线平行;a与内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是 .答案答案解析解析由面面平行的性质可知,过a与相交的平面与的交线才与a平行,故错误;正确;平面内的直线与直线a平行、异面均可,其中包括异面垂直,故错误.栏目索引5.已知正方体ABCD
4、-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是 (只填序号).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.答案答案解析解析 如图,因为AB C1D1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,故AD1BC1,从而正确;易证BDB1D1,AB1DC1,又AB1B1D1=B1,BDDC1=D,故平面AB1D1平面BDC1,从而正确;由图易知AD1与DC1异面,故错误;因AD1BC1,AD1 平面BDC1,BC1平面BDC1,故AD1平面BDC1,故正确.栏目索引考点一直线与平面平行的判定和性质考点一直线与平面平行的判定和性质典例典例1如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D
5、,D1分别为AC,A1C1的中点.(1)证明AD1平面BDC1;(2)证明BD平面AB1D1.证明证明(1)D1,D分别为A1C1与AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,C1D1 DA,四边形ADC1D1为平行四边形,AD1C1D,考点突破考点突破栏目索引又AD1 平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)连接D1D,BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,栏目索引BB1D1D,又D1,D分别为A1C1,AC的中点,BB1=DD1,故四边形BDD1B1为平行四边形,BDB1D1,又BD 平面AB1D1,B1D1平面AB1
6、D1,BD平面AB1D1.栏目索引方法技巧方法技巧证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理(,aa);(4)利用面面平行的性质(,a,aa).栏目索引变式变式1-1若将本例中的条件“D,D1分别为AC,A1C1的中点”变为“D,D1分别为AC,A1C1上的点”,则当等于何值时,BC1平面AB1D1?解析解析当=1时,BC1平面AB1D1.如图,取D1为线段A1C1的中点,1111ADDC1111ADDC此时=1,连接A1B交AB1于点O,连接OD1,由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形,O为
7、A1B的中点,在A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,1111ADDC栏目索引OD1BC1,又OD1平面AB1D1,BC1 平面AB1D1,BC1平面AB1D1,当=1时,BC1平面AB1D1.1111ADDC栏目索引考点二平面与平面平行的判定与性质考点二平面与平面平行的判定与性质典例典例2如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1平面BCHG.证明证明(1)G,H分别是A1B1,A1C1的中点,GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.栏目索引又B1C1BC,GHB
8、C,B,C,H,G四点共面.(2)E,F分别是AB,AC的中点,EFBC.EF 平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.易知A1G EB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E 平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.栏目索引方法技巧方法技巧证明面面平行的常用方法:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平
9、行”的相互转化进行证明.栏目索引2-1一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.栏目索引(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCEH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形,所以BECH.又CH平面ACH,BE 平面ACH,所以BE平面ACH.同理,BG平面ACH,又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.解析解析(1)点F,G,H的位置如图所示.栏目索引考点三平行关系的综合问题考点三平行关系的综合问题典例典例3
10、 如图所示,平面平面,点A,点C,点B,点D,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE EB=CF FD.(1)求证:EF平面;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60,求EF的长.栏目索引解析解析(1)证明:当AB,CD在同一平面内时,由平面平面,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,知ACBD.AE EB=CF FD,EFBD.又EF,BD,EF平面.当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD平面=DH,且DH=AC,栏目索引平面平面,平面平面ACDH=AC,ACDH,四边形ACDH是平行四边形,在AH上取一点G,使AG GH=CF FD
11、,连接EG,FG,BH.则AE EB=CF FD=AG GH.GFHD,EGBH.又EGGF=G,BHHD=H,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF平面.综合可知EF平面.(2)如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.栏目索引E,F分别为AB,CD的中点,MEBD,MFAC,且ME=BD=3,MF=AC=2.EMF为AC与BD所成的角或其补角,EMF=60或120.在EFM中,由余弦定理得1212EF=,即EF=或EF=.222cosMEMFME MFEMF221322 3 22 136719栏目索引1.线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系,它们之间可以相互转化,
12、其转化关系如下:规律总结规律总结2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,绝对不可过于“模式化”.栏目索引3-1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC、BD交于点O,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?栏目索引解析解析当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.证明:在正方体AC1中,Q为CC1的中点,P为DD1的中点,易知QBPA.QB 平面PAO,PA平面PAO,QB平面PAO.P、O分别为DD1、DB的中点,POD1B,又D1B 平面PAO,PO平面PAO,D1B平面PAO,又D1BQB=B,D1B平面D1BQ,QB平面 D1BQ,平面D1BQ平面PAO.
