1、变量与函数变量与函数(1)大千世界处在不停的运动变化之中大千世界处在不停的运动变化之中,如何如何 来研究这些运动变化并寻找规律呢来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.1、某日的气温变化图、某日的气温变化图从图中我们可以看到，随着时间从图中我们可以看到，随着时间t（时）（时）的变化，相应地气温的变化，相应地气温T（）也随之变化）也随之变化 观观 察察:结论：结论：任给一个时间t的确定值，温度T都 有唯一的唯一的一个值和它对应2、2002年年7月中国工商银行为月中国工商银行为“整存整取整存整取”的存款方式规定的利的存款方式规定
2、的利率率观察上表，说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的观观 察察:结论：结论：任给一个存期x的确定值，年利率y都有 唯一的一个值和它对应 波长 （m）30050060010001500 频率（kHz）1000600500300200波长波长 l 越大，频率越大，频率 f 就就_、收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（、收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值：）为单位标刻的。下面是一些对应的数值：=300000 或 =观观 察察:结论结论：任给一个波长的确定值，频率都有唯一 的一个值和它对应半径r（cm）11.522.6
3、3.2面积S（cm2）结论：结论：任给一个半径r的确定值，面积S都有唯 一的一个值和它对应圆的面积随着半径的增大而增大。如果用r表 示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满 足下列关系：S=S=请完成下表：可以看出：圆的半径越大，它的面积就越大 观观 察察:、在某一变化过程中，可以在某一变化过程中，可以取不同数值的量取不同数值的量，叫做叫做变量变量在问题的研究过程中，还有一种量，它的在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始取值始终保持不变终保持不变，我们称之为，我们称之为常量常量概概 括括 变量变量。如：如：T T和和t,yt,y和和x,x,和和,S,S和和r r。常量常量。如：问题如：问
4、题3 3中的中的300000300000和问题和问题4 4中的中的概概 括括、一般地，在一个变化过程中有两个变量、一般地，在一个变化过程中有两个变量x与与y，如果对于，如果对于x每每 一个值一个值，y都有唯一的值都有唯一的值与与它对应，那么就说它对应，那么就说x是是自变量自变量，y是是因变量因变量，此，此时也称时也称 y是是x的函数的函数。如如:当矩形的长一定时，矩形的面积依赖宽的变化而变化当矩形的长一定时，矩形的面积依赖宽的变化而变化 他们之间是否存在函数关系呢？他们之间是否存在函数关系呢？函数不是数，函数的本质是对应，函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特
5、殊对应关系，必须是“对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应”.例如：式子y=x2，变量x每取一个值，y都有惟一的一个值与之对应，所以说y是x的函数；式子y2=x中，尽管y与x之间有一种关系，但由于变量x在x0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与之对应，所以说y不是x的函数注：【注意】（1）自变量与函数都用什么字母表示无关紧要，自变量可用x表示，也可用t，u，p中的任何一个字母表示，函数可用y表示，也可用s，v，q中的任何一个表示。（2）在我们所研究的范围内，两个变量之间虽然有一定的关系，但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是“惟一确定”的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关
6、系。（3）函数的定义中指出“对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与之对应”，但对于自变量x的每一个不同的值，y不一定都是不同的值与之对应。试一试：看谁的眼光准试一试：看谁的眼光准例例1、判断下列变量关系是不是函数？、判断下列变量关系是不是函数？(1)等腰三角形的底边长与面积等腰三角形的底边长与面积判断是不是函数，我们可以看它的数学式判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义子中的变量之间是否满足函数的定义?,)2(的函数吗是中关系式xyxy下列变化中，哪些下列变化中，哪些y是是x的函数？哪些不是？的函数？哪些不是？说明理由说明理由。xyxy=2 =2 x x2
7、2+y+y2 2=10 =10 x+yx+y=5=5|y|=3x+1|y|=3x+1 y=xy=x2 2-4x+5-4x+5波长 l(m)30050060010001500 频率 f(kHz)1000600500300200图象法列表法解析法17.1.1 2000300rSlf，表示函数关系的方法表示函数关系的方法.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法 它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌 .解析法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方
8、法叫做解析法 它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有函数.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法 它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确函数关系式函数关系式：.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式.我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念：（1）函数关系式是等式）函数关系式是等式。例如：y=2x+3就是一个函数关系式，我们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，
9、哪个是函数。函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数。通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数（3）书写函数关系式是有顺序的）书写函数关系式是有顺序的。例如：y=x-3表示y是x的函数；若x=y+3，则表示x是y的函数也就是说，求y关于x的函数关系式，必须用自变量x的代数式表示y，即得到的等式的左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式 l例例2 写出下列各问题中的函数关系式，写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量：并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长圆的周长C与半径与半径r的函数关系式；的函数关系式；(2)火车以火车以60千米千米/时的速度行驶，它驶时
10、的速度行驶，它驶过的路程过的路程s（千米）与所用时间（千米）与所用时间t（时）（时）的函数关系式；的函数关系式；(3)n边形的内角和的度数边形的内角和的度数S与边数与边数n的函的函数关系式数关系式函数的关系式是函数的关系式是等式等式通常等式的右边是含有自变量的代数式，左边的一个字母表示函数如何书写如何书写函数的关系式函数的关系式呢？呢？例例2 2、根据所给的根据所给的 条件，写出条件，写出y与与x的函数关系式：的函数关系式：矩形的周长是矩形的周长是18 cm,它的长是它的长是y，宽是宽是x cm；2、y 是是 x的的 倒数的倒数的4倍倍教你一招：教你一招：1、先认真审题，根据题意找出相等关系、
11、先认真审题，根据题意找出相等关系2、按相等关系，写出含有两个变量的、按相等关系，写出含有两个变量的等式等式3、将等式变形为用、将等式变形为用含有自变量的代数式含有自变量的代数式表示函数的式子表示函数的式子汽车由洪泽驶往相距汽车由洪泽驶往相距500公里外的上海，它的公里外的上海，它的平均速度是平均速度是100 公里公里/小时，则汽车距上海的小时，则汽车距上海的的距离的距离s（公里）与行驶时间（公里）与行驶时间t（小时）的函数（小时）的函数关系式关系式?认真审题：你会有意外的收获认真审题：你会有意外的收获1、在、在y=3x+1中，如果中，如果x 是自变量，是自变量，是是x的函数的函数2、下列说法中
12、，不正确的是、下列说法中，不正确的是（）A、函数不是数，而是、函数不是数，而是 一种关系一种关系B、多边形的内角和是边数的函数、多边形的内角和是边数的函数C、一天中时间是温度的函数、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数、一天中温度是时间的函数3、正方形的边长为、正方形的边长为5 cm,当边长当边长减少减少x cm时，周长为时，周长为y cm，求，求y与与x的函数关系式。的函数关系式。拓展迁移：拓展迁移：l某汽车的油箱内装有某汽车的油箱内装有30 公升的公升的油，行驶时每百公里耗油油，行驶时每百公里耗油2.5公公升，设行使的里程为升，设行使的里程为X（百公（百公里），求油箱中所剩下的
13、油里），求油箱中所剩下的油 y(公升）与公升）与x之间的函数关系式？之间的函数关系式？当当x=10时，时，y=?当当x=12.1时，时，y=?当当x=12时，时，y=?课堂小结课堂小结：l本节课我们学习主要内容是什么？本节课我们学习主要内容是什么？l你有什么收获？你有什么收获？下课下课Goodbye!第第18章章 函数及其图象函数及其图象一、知识回顾一、知识回顾 1函数的概念:变量：变化过程中可以取不同数值的量。常量：变化过程中保持不变的量。函数：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于工的每一个值，y都有 惟一的值和它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。2、如何求函数的自
14、变量取值范围 :考虑两个方面，其一是分母不等于0，其二是开偶次方的被开方数为非负数，对于实际问题，应根据具体情况而定。3关于平面直角坐标系 (1)平面上的点与有序实数对成一一对应关系。(2)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标间有什么关系?(3)各个象内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?(4)点落在坐标轴上，它的坐标有什么特点?4函数的图象 函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。二、练习 1x23x4是x的函数吗?为
15、什么?2求下列函数的自变量取值范围 ：3平行四边形的底边为5，则其面积S与底边上的高h之间的函数关系式是：4(1)若M(a2，a3)在x轴上，则a（）；(2)若M(a2，a3)在第三象限，则a的取值范围是 (3)若M(a2，a3)在第一、三象限的角平分线上，则a（）；(4)求M(a2，a3)在关于y轴对称的点的坐标是1一次函数(ykxb，k0)(1)k、b的符号对图象的影响是怎样的?(2)如何求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标?(3)如何画一次函数的图象?(4)若两条直线互相平行，k的值是否会相同?(5)会用待定系数法求一次函数的解析式吗?(6)一次函数的性质如何表述?2反比例函数(ykx，k
16、0)(1)k的符号对图象的影响是怎样的?(2)如何画反比例函数的图象?画图象时与上述的一次 函数的图象的画法有何区别?(3)双曲线经过一点，能确定它的解析式吗?(4)反比例函数的性质是如何描述的?1若一次函数的图象与直线y3x平行，且过A(2，4)点。(1)求此一次函数的解析式；(2)画出此函数的图象；(3)求这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积；(4)若在这条直线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，且x1x2，试比较y1，与 y2的大小。2：已知直线ykxk与双曲线ykx (k0)，则它们在同一坐标系中的图象大致是3已知：反比例函数yk/2x 和一次函数y2x1，其中一次函数的图象
17、经过(a，b)，(a1，b2)两点。(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标；(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在P点，使AOP是等腰三角形?若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。命题试判断下列句子是否正确：1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题。错误的命题称为假命题。在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。
18、题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常可写成“如果.，那么.”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。问题2：把下列命题写成“如果.，那么.”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a b,b c,那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。解：（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等，这是真命题。（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等。这是真命题。（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等，这是真命题。要判断一个命题是真命题
19、：可以用逻辑推理的方法加以论证；要判断一个命题是假命题：只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。公理、定理公理、定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。我们已经知道下列命题是真命题：1、一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；2、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；3、全等三角形的对应边、对应角相等。1、请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1;当n=2时，（n2-5n+5)2=1；
20、当n=3时，（n2-5n+5)2=1。我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=252、问题：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a b时，a2 b2。这个命题是真命题吗？答案：不正确，因为3-5，但3 2（-5）2 在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。定理：定理：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
