1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节合适的观调节合适的观 看比例看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 35 35 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 一、解答题 1.(2019全国卷理科T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是 BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN平面C1DE. (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 【命题意图】本题考查线面平行关系
2、的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间 直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型. 【解题指南】(1)利用三角形中位线和A1DB1C可证得MEND,证得四边形MNDE为平行四边形,进而证得MNDE,根 据线面平行判定定理可证得结论;(2)建立空间直角坐标系,通过向量法求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角 的正弦值. 【解析】(1)连接B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以MEB1C,且ME= B1C. 又因为N为A1D的中点,所以ND= A1D. 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,
3、故MEND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MNED. 又MN 平面EDC1,所以MN平面C1DE. (2)由已知可得DEDA. 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1, ,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1, ,-2),=(-1,0,-2),=(0,- ,0). 设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则 所以 - - - 可取m=( ,1,0). 设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则 所以 - - - 可取n=(2,0,-1). 于是 cos= = = , 所以二面角A-
4、MA1-N的正弦值为 . 2.(2019天津高考理科T17)如图,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF平面ADE. (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值. (3)若二面角E-BD-F的余弦值为 ,求线段 CF的长. 【命题意图】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的 方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 【解析】依题意,可以建立以A为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,
5、2,0),D(0,1,0),E(0,0,2). 设CF=h(h0),则F(1,2,h). (1)依题意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又=(0,2,h),可得=0,又因为直线BF 平面ADE,所以BF平 面ADE. (2)依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2). 设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即 - - 不妨令z=1,可得n=(2,2,1). 因此有 cos,n =- . 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 . (3)设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量, 则即- 不妨令y=1,可得m=( - ). 由题意,有|cosm,n |= = | - | = , 解得h= .经检验,符合题意. 所以线段CF的长为 .
