1、高中数学竞赛 函数练习题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则Ag(x)=x, h(x)=lg(10x+10-x+2)Bg(x)=lg(10x+1)+x, h(x)=lg(10x+1)xCg(x)=x, h(x)= lg(10x+1)xDg(x)=x, h(x)= lg(10x+1)x2若(log23)x(log53)x(log23)-y(log53)-y，则Axy0Bx+y0Cxy0Dx+y03已知f(x)=ax2c满足4f(1)1，1f(2)5，那么f(3)应该是A7f
2、(3)26B4f(3)15C1f(3)20Df(3)4已知f(n)=logn(n+1) (nN*且n2)，设= (p,qN*且(p,q)=1)，则p+q=A3B1023C2000D20015如果y=log56log67log78log89log910，则Ay(0,1)By=1Cy(1,2)Dy2,36若实数a, x满足ax1，且A=loga(logax)，B=loga2x, C=logax2，则AACBBCBACBCADCAB7设a0,a1，函数f(x)=loga|ax2x|在3,4上是增函数，则a的取值范围是Aa1Ba1或a1或a1或a1。13设f(x)=，求f(5)+f(4)+f(0)+f
3、(5)+f(6)。14求函数f(x)=34x2x (x0)的最小值。15设函数f(x)=|lgx|，若0af(b)，证明：ab0,a1)令t=ax，求y=f(x)的表达式；若x(0,2)时，ymin=8，求a和x的值。18解不等式|+2|。19解不等式+20。20已知a、b、c、d均为正整数，且logab=, logcd=，若ac9，求bd。21已知函数f(x)=ln3x的定义域为(0,+)，求实数a的取值范围。22解方程log5(3x+4x)=log4(5x3x)。23设f(x)=lg，其中a是实数，n 是任意给定的自然数，且n2。如果f(x)当x(,1)时有意义，求a的取值范围。24f是定
4、义在(1,+)上且在(1,+)中取值的函数，满足条件：对任何x1,y1及u0,v0,都有f(xuyv)成立，试确定所有这样的函数f。函数的最值一、选择题1如果在区间1,2上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是A4+B4+C1+D以上答案都不对2已知x、y都在区间(2,2)内，且xy=1，则函数u=+的最小值是ABCD3已知a、b、cR*，则f(x)=+的最小值是A+B+Cc+D二、填空题4f(x)=|x2a|在区间1,1上的最大值M(a)的最小值为。5函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间3,3上的最小值是。
5、6若不等式|x4|+|x2|+|x1|+|x|a对一切实数x成立，则a的最大可能值是。三、解答题7在区间,2上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=在同一点取得相同的最大值，求f(x)在区间,2上的最小值。8已知定义在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0，求函数y=x+的最小值。10已知f(x)=ax2+bx+c，其中aN*,bN,cZ。若b2a，且f(sinx) (xR)的最大值为2，最小值为4，试求f(x)的最小值；若对任意实数x，不等式4xf(x)2(x2+1)恒成立，且存在x0，使得f(x0)2(x02+1)成立，试求
6、c的值。11求函数y=的最值，其中|x|1。12已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (tR是参数)，如果x0,1时，f(x)g(x)恒成立，求参数t的取值范围。13已知函数f(x)=log2 (m,nR)。若mN*,xR且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m,n的值；若n=1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围。14求函数f(x)=的最大值。15设f(x)=x2+2txt, x1,1，求f(x)maxmin。16设f(x)=x2+px+q (p,qR)。若|f(x)|在1,1上的最大值为M，求M的最小值。17设关于x的一元二次方程2x2tx2=0的两个根为a,b(
7、ab)。若x1、x2为区间a,b上的两个不同的点，求证：4x1x2t(x1+x2)4(x1+x2)；求的最大值。函数的方程迭代一、填空题1已知f(x)+2f()=3x，则f(x)的解析式为。2已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。二、解答题3设f(x)=x2+px+q, A=x|x=f(x), B=x|ff(x)=x。求证：AB；如果A=1,3，求B。4已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意xR都有下列两式成立：f(x+5)f(x)+5；f(x+1)f(x)+1。若g(x)=f(x)+1x，求g(6)的值。5已知二次函数
8、f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a0)满足条件：f(x1)=f(3x)，且方程f(x)=2x有等根。求f(x)的解析式；是否存在实数m，n (my时，f(x)f(y)。试求下列问题：（1）求f(1), f(4)；（2）试判断函数f(x)的单调性；（3）如果f(x)+f(x3)2，试求x的取值范围。7已知函数f(x)=6x6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=fg2(x), , gn(x)=fgn-1(x), 。求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切nN*, gn(x0)=x0都成立；若实数x0，满足gn(x0)=x0，则
9、称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。设区间A=(-,0)，对于任意xA，有g1(x)=f(x)=a0, g2(x)=fg1(x)=f(0)0，且n2时，gn(x)0。试问是否存在区间B (ABf)，对于区间内任意实数x，只要n2，都有gn(x)0？8对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=fF1(x), F3(x)=fF2(x), , Fn(x)=fFn-1(x) (nN*,n2)。若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), ,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。设f(x)=
10、2x-x2。求使所有Fn(x)0时，0f(x)1。求证：f(0)=1，且当x1；判断f(x)在R上的单调性；设集合A=(x,y)|f(x2)f(y2)f(1)，集合B=(x,y)|f(ax-y+2)=1,aR，若AB=f，求a的取值范围。10设p为奇素数，试求+=的正整数解。11求方程组的整数解。12求方程2x2y2+y2=26x2+1201的正整数解(x,y)。13求x2+y2=328的正整数解。14解方程4x220x+23=0。15求函数f(x)=x+2x+x+3x+4x在0x100上所取的不同的整数值的个数。16当n是怎样的最小自然数时，方程=1989有整数解？17设S=1+，求S。18
11、已知S=，求S。单元练习题1、 若,11,2,a1,2,4,a2，求a的值。2、 已知集合0,1,2a=a1,|a|,a+1，求实数a的值。3、 集合x|1, xN的真子集的个数是。4、 已知集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1。5、 设f(x)=，求f()+f()+ f()。6、 函数f(k)是定义在正整数集N上，在N中取值的严格增函数，且满足条件f(f(k)=3k，试求f(1)+f(9)+f(96)的值。、7、 设函数y=f(x)的定义域为0,1，试求G(x)=f(x+a)+f(x
12、a)的定义域。8、 设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x2,3时，f(x)=x，求当x2,0时，f(x)的解析式。9、 设函数f(x)=ax2+8x+3(a0，当1x1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。15、 已知x,y10, xy=1000，求(lgx)(lgy)的取值范围。16、 设f(x)=2+logx25648，试确定x的取值范围，分别使f(x)大于零，小于零，等于零。17、 设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：对于任意实数x，均有f(x)2；对于任意实数x1、x2，均有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)。试证：对于任意实数x1、x2，均有lgf
13、(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2)。18、 求方程lg2xlgx2=0的实数根的个数。19、 设x、y、z为非负的实数，且满足方程68+256=0，求x+y+z的最大值与最小值的积。20、 方程=2中，a为何实数时，方程无解？有一解？有两解？ 21、 已知a0, a1，试求方程loga(xak)=(x2a2)有解时k的取值范围。22、 解方程log4x=。23、 求方程2w+2x+2y+2z=20.625的满足条件wxyz的整数解。24、 设a、b分别是方程log2x+x3=0和2x+x3=0的根，求a+b和log2a+2b。25、 解方程lg2xlgx2=0。26、 已知实数x满足
14、方程x=+，求2x。27、 求正整数的末两倍数字。28、 前1000个正整数中可以表示成2x+4x+6x+8x的正整数有多少个？ 答案幂函数、指数函数、对数函数1、C；2、B；3、C；4、A；5、C；6、B；7、B；8、D；9、；10、分析：证明：f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x)f(x+4)=f(x+2)=f(x)=f(x)f()=f(log218)=f(log2184)=f(log2)=f(log2)=11、分析：lg(4x+2)=lg2x+lg3 lg(4x+2)=lg(32x)22x32x+2=02x=1或2x=2x=0或x=112、分析：f(x)1或x1所求不等式的解集为(
15、,1)(1,+)。13、分析：f(x)+f(x+1)=+=f(5)+f(4)+f(0)+f(5)+f(6)=3。学生思考：设f(x)=，求f()+f()+f()。分析：x+y=1f(x)+f(y)=114、分析：f(x)=34x2x=3(2x)2x02x1当2x=1x=0时，f(x)min=215、分析：f(x)=|lgx|=0af(b)a、b不能同时在区间1,+)上0aba(0,1)若b(0,1)，显然abf(b)lgalgblg(ab)0ab116、分析：2()2+9+903log2x32x8M=2,8f(x)=(log2)(log2)=(log2x1)(log2x3)=(log2x2)2
16、12x8log2x3当log2x=2x=4时，ymin=1当log2x=3x=8时，ymax=0。17、分析：loga=logtlogat3=logty3logtat=axx=logatx3=logay=x23x+3y=(x0)令u= x23x+3=(x)2+(x0)，则y=au x(0,2时，ymin=8当0a1时，y=au有最小值，则u=(x)2+在(0,2上应有最小值当x=时，umin=ymin=8a=16a=16, x=18、分析：|+2|+2log2x2或0log2x0x4或1x0log2x+20令t= (t0)tt2+0 (t0)0t1011log2x22x03xx(a22a2)x
17、 a22a21 a22a301ag(x)。依题意得：1+2x+3x+(n1)x+nxa0a()x+()x+()x (x1)()x，当k=1,2,3,(n-1)时，在(,1上都是增函数g(x)=()x+()x+()x在(,1上都是增函数g(x)max=g(1)= (+)=a，即a的取值范围为(,+)。24、分析：取x=y=a,u=v=b，则对任何a1,b0有f(a2b)令a=10, 2b=lgx，则对任何x1有f(x)再令a=x, 2b=，则对任何x1有f(x)满足条件f只能是f(x)= 令f(10)=c (c为大于1的任何实数)，则f(x)= (c1)经检验知：f(x)= (c1)为所求的函数
18、。函数的最值1、B；2、D；3、D；4、；5、4；6、5；7、解析：g(x)=当x=1时，gmax(x)=f(x)=(x1)2+当x=2时，fmin(x)=。8、解析：令x=y=0，则f(0)=0，令y=x得f(x)+f(x)=f(0)=0f(x)=f(x)f(x)为奇函数设x1、x2R且x1x2，则x1x20f(x1x2)0f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)= f(x1x2)+f(x2)f(x2)= f(x1x2)0 t= x+2y=t+ (t2)当0时，t21, y=t+是增函数当t=2时，ymin=2+；10、解析：b2a1f(x)在-1,1上的增函数|sinx|1fm
19、in(sinx)=f(1)=4, fmax(sinx)=f(1)=2ab+c=4, a+b+c=2b=3a=1, c=2f(x)=x2+3x2=(x+)2当x=时，fmin(x)=。令x=1代入4xf(x)2(x2+1)得f(1)=4a+b+c=44xf(x)ax2+(b4)x+c0恒成立0(b-4)2-4ac0(-a-c)2-4ac0(a-c)20a=cbNa+c42c4c2c=1或c=2经检验c=2不合题意，应舍去c=111、解析：y=(x2+2x+7)+1设u= x2+2x+7=(x+1)2+66,10y=u+1在6,8上是减函数；在8,10上的增函数ymin=15；ymax=12、解析
20、：f(x)g(x)x0,1时，f(x)g(x)恒成立 x0,1时，t2x+恒成立设h(x)= 2x+，令u=x=u21 (1u)h(x)=2(u)2+当u=1x=0时，hmax(x)=1t的取值范围为1,+)。13、解析：令t=(3-mt)x2+2x+n-t=0044(3-mt)( n-t)0mt2(3+mn)t+3n-102t4或(不符合题意，舍去)t=(3-mt)x2+2x-1-t=004-4(3-mt)( -1-t)0mt2-(3-m)t-40(1)当m=0时，t-，符合题意(2)当m0时，要使函数的值域包含(0,+)，只须m0时，方程mt2-(3-m)t-4=0有两个负根m-9或-1m
21、0所求m的联欢会范围为(-,9-1,0。14、解析：f(x)=函数y=f(x)的几何意义是抛物线y=x2上的点P(x,x2)到两定点A(3,2), B(0,1)的距离之差|PA|PB|AB|=15、解析：f(x)=x2+2txt=(xt)2+t2t, x1,1当t1时，f(x)max=f(1)当1t1时，f(x)max=f(t)当t1时，f(x)max=f(1)f(x)max=f(x)maxmin=。16、解析：17、解析：18、解析：x=y=0不满足4x25xy+4y2=5S0S=x2+y21=4x25xy+4y2=54x25xy+4y2=5不妨设y0(4S5)()25S+(4S5)=0R0
22、(5S)24(4S5)20S+=+=19、解析：分三种情况讨论若0ab，则f(x)在a,b上单调递减若a0b，则f(x)在a,0高单调递增递增，在0,b上单调递减或若a-f(x)=x3+ax2+bx+c=(x+)3-(-b)(x+)+a3+c-abf(x3)=0ab-a3-c=(x3+)3-(-b)(x3+) (*)由(*)得x3+a=令p=-b由(*)(*)得p且ab-a3-c=(p-l2)令y=y0且ab-a3-c=y(y2-l2)y(y2-l2)+l2=y3-x3y+l2=(y-l)2(y+l)0ab-a3-c-l32a3+27c-9abl3取a=2, b=2, c=0, l=2，则f(
23、x)=x3+2x2+2x有艰-1, -+1, 0显然假设条件成立且=(48-36)=()max=函数的方程迭代1、f(x)=-x2、f(x)=x2+x3、解析：设x0是集合A中的任一元素，即有x0AA=x|x=f(x)x0=f(x0)ff(x0)=f(x0)=x0x0BABA=1,3=x|x2+px+q=x=x|x2+(p-1)x+q=0f(x)= x2-x-3ff(x)=xx4-2x3-6x2+6x+9=0(x2-2x-3)(x2-3)=0x=-1或3或或-B=-1,3,-,。4、解析：反复利用f(x+5)f(x+4)+1f(x+3)+2f(x+2)+3f(x+1)+4f(x)+5 (*)f
24、(x+5)=f(x)+5由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1g(6)=f(6)+1-6=f(1)+5-5=f(1)=15、解析：方程f(x)=2x有等根0b=2f(x1)=f(3x)f(x)=f(2-x)图象的对称轴为x=-=1a=-1f(x)=-x2+2xf(x)=-(x-1)2+114n1n抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数若满足题设条件的m,n存在，则mnm=-2,n=0，这时定义域为-2,0，值域为-8,0存在m=-2,n=0，满足条件。6、解析：f(1)=0, f(4)=2；增函数；(3,4。7、解析：数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x
25、0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0 (kN*)成立，则gk+1(x0)=fgk(x)=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。对一切nN*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。由知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0，f(x0)=x06x06x02=x0x0=0或x0=。f(x)06x2x20x1gn(x)0fgn-1(x)0 gn-1(x)1要使一切nN,n2，都有gn(x)0，必须有g1(x)1g1(x)06x2x20x1g1(x)16x2x21x对于区间(-,0), (,)和(1,+)内的任意x，只要n2,nN*，都有gn(x)0。8、解析：y=
26、f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。F2(x0)=fF1(x0)=ff(x0)f(x0)=x0 x0也是F2(x)的不动点。若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0 Fn(x0)=fFn-1(x0)=f(x0)=x0 Fn(x)存在不动点x0综上所述：对于任意nN*,n2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。方法一：f(x)02xx20x2要使Fn(x)0 (n2)fFn-1(x)02Fn-1(x)Fn-1(x)20Fn-1(x)2依此类推，要使F2(x)0fF1(x)0ff(x)02f(x)f(x)20f(x)22xx22x2或x
27、fx2所求x的取值范围为(2,+)。9、解析：f(m+n)= f(m)f(n) 且当x0时，0f(x)1f(1)=f(1)f(0)f(0)=1设m=x0f(0)=f(x)f(-x)f(x)=1设x100f(x2-x1)1f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-1f(1)f(x2+y2)f(1) x2+y20, y0或或或或11、解析：(xz2yt)2+(xt+yz)2=11(x2+2y2)(z2+2t2)=11x2+2y2=1或z2+2t2=1x2+2y2=1x=1, y=0xt+yz=1t=1z=3z2+
28、2t2=1t=0, z=1y=1, x=3所求方程组有4组解：(1,0,3,1)、(1,0,3,1)、(3,1,1,0)、(3,1,1,0)。12、解析：2x2y2+y2=26x2+1201(2x2+1)(y213)=1188=2233112x2+1与y213均为223311的因数2x2+1为奇数2x2+1为3311的因数由下表可知，所求的正整数为(4,7)和(7,5)。2x2+13911273399297x12/47/y2133961323612y/7513、解析：显然xy，不妨设xy0328是偶数x、y的奇偶性相同xy是偶数令x+y=2u1, xy=2v1 (u1、v1Z, u1v10)x
29、=u1+v1, y=u1v1 u12+v12=164同理，令u1+v1=2u2, u1v1=2v2 (u2、v2Z, u2v20)u1=u2+v2, u1=u2v2 u22+v22=82同理，令u2+v2=2u3, u2v2=2v3 (u3、v3Z, u3v30)u2=u3+v3, u2=u3v3 u32+v32=41u3、v3必为一奇一偶，且0v3u3=6依次取v3=1,2,3,5代入u32+v32=41得u3=5, v3=4x=18, y=2所求的解为x=18,y=2或x=2, y=18。注意：合理分层换元是解决本题的关键。14、分析：这个方程不是二次方程，但可利用不等式x1xx把方程化为
30、不等式，先求出x的范围，再在给定的范围内把方程转化为二次方程求解。解析：x1xx20x20x20(x1)4x220x+234x220x+2304x220x+430xRx当x2时，x=1，4x220x+23=04x2+3=0xf；当2x3时，x=2，4x220x+23=04x217=0x=；当3x时，x=3，4x220x+23=04x237=0x=；原方程的解为x=和x=。学生思考：画出y=x及y=(4x2+23)的图象，找交点所在的范围求解。15、分析：x是一种跳跃取值的函数，由于x、2x、3x、4x在0x1时可分别取到0、1、2、3、4个值，而x则在0x3上可取到5个值。但在0x3上，当x=
31、0时，这5个取整函数同时“跳跃”，在x=1、2时，x、2x、3x、4x同时“跳跃”，在x=、时，2x、4x同时“跳跃”，故在在0x3上f(x)可以取到22个不同的值。解析：在0x3时，当x递增依次经过0,1,2,时，f(x)的值发生跳跃变化，在x0,3)时，f(x)取得22个不同的值；同样在x3,6)时，f(x)取得22个不同的值；在x0,99)时，f(x)取得2233=726个不同的值；在x99,100时，f(x)取得8个不同的值；在x0,100时，f(x)取得726+8=734个不同的值；16、分析：利用xxx+1。解析：19891989199010nx10n =0.00050251, =
32、0.00050276当n=7时，5025.1x5027.6此时方程有整数解x=5026及x=5027n的最小值为7。17、分析：如能把S限制在两个相邻整数之间，则S的值可以确定，因此应对S的值适当放缩以使其较易确定其取值范围。解析：=2()S=1+1+2(1)+2()+2()=1+2(9901)=1997=2()S=1+1+2()+2()+2()=1+2()=1981219781978S1979S=197818、分析：估算出所求数的大致范围，只要能说明该数介于两个相邻整数之间即可。解析：123=127820062197=133121320172005+2018121320162004+2017
33、1213111212S=1。单元练习题1、a=0,42、a=1或a=13、29014、1335、10026、1977、当a0时，G(x)的定义域为a,1+a；当0a0时，G(x)的定义域为a,1a；而当a时，G(x)不存在。8、f(x)=3|x+1|9、当a=8时，l(a)max=(+1)10、1,11、212、g(t)=13、Nmin=40114、|f(x)|1|c|1；|g(x)|max|g(1)|,|g(1)|=2；f(x)=2x2115、(2,16、当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x=时，f(x)=0。17、18、319、420、当a时，方程无解；当0a时，方程有两解；当a0时，方程有一解。21、(,1)(0,1)22、x=223、2w+2x
