1、 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）数学（理工类） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.2.本卷共本卷共 8 8 小题。小题。 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件A、B互斥，那么互斥，那么 ()( )( )P ABP AP B . . 如果事件如果事件A、B相互独立，那么相互独立，那么 ()(
2、) ( )P ABP A P B . . 圆柱的体积公式圆柱的体积公式VSh，其中，其中S表示圆柱的底面面积，表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高表示圆柱的高. . 棱锥的体积公式棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中，其中S表示棱锥的底面面积，表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高表示棱锥的高. . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.设集合1,1,2,3,5A ，2,3,4B ， |13CxRx ，则()ACB A. 2 B. 2，3 C. -1，2，3 D. 1， 2， 3， 4 【答案】D 【解
3、析】 【分析】 先求AB，再求()ACB。 【详解】因为1,2AC ， 所以()1,2,3,4ACB . 故选 D。 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意 数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算 2.设变量 , x y满足约束条件 ， ， ， ， 1-y 1-x 02y-x 02-yx ，则目标函数4zxy 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距， 故目标函数在点A处
4、取得最大值。 由 20, 1 xy x ，得( 1,1)A ， 所以 max 4 ( 1) 15z 。 故选 C。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还 是虚线， 其次确定目标函数的几何意义， 是求直线的截距、 两点间距离的平方、 直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即： 一画，二移， 三求 3.设xR，则“ 2 50xx”是“| 1| 1x”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含
5、关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x推不出11x； 由11x能推出05x， 故“ 2 50xx”是“| 1| 1x”的必要不充分条件， 故选 B。 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图，逐步写出运算结果。 【详解】1,2Si 1 1,1 2 25,3jSi 8,4Si ， 结束循环，故输出8。 故选 B。 【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体 5.已知抛物线 2 4
6、yx的焦点为F，准线为l.若与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条 渐近线分别交于点A和点B，且| 4|ABOF（O为原点） ，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把4ABOF用, ,a b c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】抛物线 2 4yx的准线l的方程为1x， 双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 则有( 1,),( 1,) bb AB aa 2b AB a ， 2 4 b a ，2ba， 22 5 cab e aa 。 故选 D。 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率
7、的求解，解题关键是求出 AB的长度。 6.已知 5 log 2a ， 0.5 log0.2b ， 0.2 0.5c ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A. acb B. abc C. bca D. cab 【答案】A 【解析】 【分析】 利用 1 0,1 2 等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 55 1 log 2log5 2 a ， 0.50.5 log0.2log0.252b ， 10.20 0.50.50.5，故 1 1 2 c， 所以acb。 故选 A。 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。 7.已知函数( ) sin()(0,0,|)f x
8、AxA 是奇函数，将 yf x 的图像上所 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为 g x.若 g x的 最小正周期为2，且2 4 g ，则 3 8 f （ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 只需根据函数性质逐步得出, ,A 值即可。 【详解】因为 ( )f x为奇函数，(0)sin0=,0,fAkk，0 ； 又 12 ( )sin,2 , 1 2 2 g xAxT 2，2A，又()2 4 g ( )2sin2f xx， 3 ()2. 8 f 故选 C。 【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 g
9、 x。 8.已知aR，设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1, xaxax f x xaxx 若关于x的不等式( ) 0f x 在R上恒 成立，则a的取值范围为（ ） A. 0,1 B. 0,2 C. 0,e D. 1,e 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断0a 时， 2 220xaxa在( ,1 上恒成立；若ln0xax在(1,)上恒成 立，转化为 ln x a x 在(1,)上恒成立。 【详解】(0)0f，即0a ， （1）当01a时， 2222 ( )22()22(2)0f xxaxaxaaaaaaa， 当1a 时，(1)10f ， 故当0a 时， 2 220xaxa在( ,1
10、 上恒成立； 若ln0xax(1,)上恒成立，即 ln x a x 在(1,)上恒成立， 令( ) ln x g x x ，则 2 ln1 ( ) (ln ) x g x x ， 当 ,xe 函数单增，当0,xe函数单减， 故 max ( )( )g xg ee，所以ae。当0a 时， 2 220xaxa在( ,1 上恒成立； 综上可知，a的取值范围是0, e， 故选 C。 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合 分析。 第第卷卷 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题小题. . 9.i是虚数单位，则 5 1 i i 的值为_. 【答
11、案】13 【解析】 【分析】 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 【详解】 5(5)(1) 2313 1(1)(1) iii i iii 。 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10. 8 3 1 2 8 x x 是展开式中的常数项为_. 【答案】28 【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项。 【详解】 88 48 4 188 3 1 (2 )()( 1) 2 8 rrrrrrr r TCxC x x ， 由8 40r，得2r =， 所以的常数项为 22 8 ( 1)28C. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项
12、是由指数幂为 0 求得的。 11.已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经 过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _. 【答案】 4 . 【解析】 【分析】 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 【详解】由题意四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可 知四棱锥的高为5 12 ，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆 柱的高为1，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为 1 2 ，故圆柱的体积为 2 1 1 24 。 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长
13、度的一半、不是底边棱长的一半。 12.设aR，直线 20axy 和圆 22cos , 1 2sin x y （为参数）相切，则a的值为_. 【答案】 3 4 【解析】 【分析】 根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方 程，解之解得。 【详解】圆 22cos , 1 2sin x y 化为普通方程为 22 (2)(1)2xy， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2， 由直线与圆相切，则有 2 21 2 1 a a ，解得 3 4 a 。 【点睛】 直线与圆的位置关系可以使用判别式法， 但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半 径的大小作出判断。 13.设 0,0
14、,25xyxy ，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_. 【答案】4 3 【解析】 分析】 把分子展开化为26xy ，再利用基本不等式求最值。 【详解】 (1)(21)221,xyxyxy xyxy 0,0,25,0,xyxyxy 2 2 326 4 3 xyxy xyxy ， 当且仅当3xy ，即3,1xy时成立， 故所求的最小值为4 3。 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。 14. 在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB ，5AD ，30A ， 点E在线段CB 的延长线上，且AEBE，则BD AE _. 【答案】1. 【解析】 【分析】 建立坐标系利用向量的
15、坐标运算分别写出向量而求解。 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D。 因为ADBC，30BAD，所以30CBE， 因为AEBE，所以30BAE， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx 。 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ，1y ， 所以( 3, 1)E。 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用 坐标方法更为方便。 三三. .解答题解答题.
16、.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 15. 在VABC中，内角A BC， ，所对的边分别为, ,a b c.已知 2bca ， 3 sin4 sincBaC. （）求cosB值； （）求sin 2 6 B 的值. 【答案】() 1 4 ； () 3 57 16 . 【解析】 【分析】 ()由题意结合正弦定理得到, ,a b c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值 ()利用二倍角公式首先求得sin2 ,cos2 BB的值， 然后利用两角和的正弦公式可得 2a的 值. 【详解】()在VABC中，由正弦定理 sinsin bc BC 得sin
17、sinbCcB， 又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba. 又因为2bca ，得到 4 3 ba， 2 3 ca. 由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac 222 416 1 99 2 4 2 3 aaa aa . ()由()可得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB . 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与
18、余弦 公式，以及正弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同学到 校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列 和数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率. 【答案】 （）见解析； （） 20 243 【解析】 【分析】 ()由题意可知分布列为二项分布， 结合二项分布的公式求得概率可得分布列， 然后利用
19、二 项分布的期望公式求解数学期望即可； ()由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7:30 之前到校的概 率均为 2 3 ， 故 2 3, 3 XB ，从面 3 3 21 0,1,2,3 33 kk k P XkCk . 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X . ()设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为Y，则 2 3, 3 YB . 且3,12,0MXYXY. 由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，
20、 且事件3X 与1Y ，事件2X 与0Y 均相互独立， 从而由()知： ()3,12,0P MPXYXY 3,12,0P XYP XY (3) (1)(2) (0)P XP YP XP Y 824120 279927243 . 【点睛】 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望， 互斥事件和相互独立事件的概 率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 17.如图，AE 平面ABCD， ,CFAEADBC ， ,1,2ADABABADAEBC . （）求证：BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的
21、长. 【答案】 （）见证明； （） 4 9 （） 8 7 【解析】 【分析】 首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 ()利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行； ()分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； ()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的 方程，解方程可得CF的长度. 【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以,AB AD AE的方向为x轴，y轴，z轴正 方向的空间直角坐标系(如图)， 可得0,0,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCDE. 设0CFh
22、h，则1,2,Fh. ()依题意，1,0,0AB 是平面ADE的法向量， 又0,2,BFh，可得 0BF AB ， 又因为直线BF 平面ADE，所以BF平面ADE. ()依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE ， 设, ,nx y z为平面BDE的法向量， 则 0 0 n BD n BE ，即 0 20 xy xz ， 不妨令z=1，可得2,2,1n ， 因此有 4 cos, 9| CE n CE n CEn . 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 . ()设, ,mx y z为平面BDF的法向量，则 0 0 m BD m BF ，即 0 2
23、0 xy yhz . 不妨令y=1，可得 2 1,1,m h . 由题意，有 2 2 4 1 cos, 34 3 2 m n h m n mn h ，解得 8 7 h . 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为 8 7 . 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用 空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 18.设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为 4，离 心率为 5 5 . （）求椭圆的方程； （）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的
24、交点，点N 在y轴的负半轴上.若| |ONOF（O为原点） ，且OPMN，求直线PB的斜率. 【答案】 （） 22 1 54 xy （） 2 30 5 或 2 30 5 . 【解析】 【分析】 ()由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程； ()联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可 得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得 直线的斜率. 【详解】 () 设椭圆的半焦距为c， 依题意， 5 24, 5 c b a ， 又 222 abc， 可得5a ， b=2，c=1. 所以，椭圆方程为 22 1 54 x
25、y . ()由题意，设,0 ,0 PPPM P xyxM x.设直线PB的斜率为0k k ， 又0 2,B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立 22 2 1 54 ykx xy ， 整理得 22 45200kxkx ，可得 2 20 45 P k x k ， 代入2ykx得 2 2 8 10 45 P k y k ， 进而直线OP的斜率 2 45 10 P P yk xk ， 在2ykx中，令0y ，得 2 M x k . 由题意得0, 1N，所以直线MN的斜率为 2 k . 由OPMN，得 2 45 1 102 kk k ， 化简得 2 24 5 k ，从而 2 30 5 k . 所
26、以，直线PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 . 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 19.设 n a是等差数列， n b是等比数列.已知 112233 4,622,24abbaba，. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 1 1 1,22, 1, ,2 , kk n k k n cc b n 其中 * kN. （i）求数列 22 1 nn ac的通项公式； （ii）求 2 * 1 n ii i acn N. 【 答案 】 （ ）31 n an；
27、3 2n n b （ ） （ i） 22 19 41 nn n ac （ ii） 2 *211* 1 27 25 212 n nn i i i acnnn NN 【解析】 【分析】 ()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可； ()结合()中的结论可得数列 22 1 nn ac的通项公式，结合所得的通项公式对所求的 数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 2 1 n i i i ac 的值. 【详解】()设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q. 依题意得 2 62 4262 62 424124 qdd qdd ，解得 3 2 d q ， 故4(1
28、) 331 n ann ， 1 6 23 2 nn n b . 所以， n a的通项公式为31 n an， n b的通项公式为3 2n n b . ()(i) 222 113 21 3 219 41 nnn nnn n acab . 所以，数列 22 1 nn ac的通项公式为 22 19 41 nn n ac . (ii) 22 11 1 nn iiiii ii acaa c 22 22 11 1 nn ii i ii aac 221 243 2 nn n 1 9 41 n i i 211 4 1 4 3 25 29 1 4 n nn n 211* 27 25 212 nn nnN . 【点
29、睛】 本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化 归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 20.设函数( )e cos ,( ) x f xxg x为 f x的导函数. （）求 f x的单调区间； （）当, 4 2 x 时，证明( )( )0 2 f xg xx ； （）设 n x为函数( )( ) 1u xf x在区间2,2 42 mm 内的零点，其中nN，证 明 2 00 2 2sincos n n nx x e x . 【答案】 （）单调递增区间为 3 2,2(),( ) 44 kkkf x Z 的单调递减区间为 5 2,2() 44 kkk Z
30、.（）见证明； （）见证明 【解析】 【分析】 ()由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 f x的单调区间； ()构造函数 2 h xf xgxx ，结合()结果和导函数的符号求解函数 h x的最小值即可证得题中的结论； ()令2 nn yxn，结合()，()的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即 可证得题中的结果. 【详解】()由已知，有 ecossin x fxxx. 当 5 2,2 44 xkkkZ 时，有sincosxx，得 0fx ，则 f x单调递 减; 当 3 2,2 44 xkkkZ 时，有sincosxx，得 0fx ，则 f x单调递 增. 所以，
31、 f x的单调递增区间为 3 2,2 44 kkkZ ， f x的单调递减区间为 5 2,2 44 kkkZ . ()记 2 h xf xgxx .依题意及()有： cossin x g xexx， 从而( )2sin x g xex .当 , 4 2 x 时， 0gx ，故 ( )( )( )( )( 1)( )0 22 h xfxg xxg xg xx . 因此， h x在区间, 4 2 上单调递减，进而( )0 22 h xhf . 所以，当, 4 2 x 时，( )( )0 2 f xg xx . ()依题意，10 nn u xf x ，即ecos1 n x n x . 记2 nn y
32、xn，则, 4 2 n y . 且e cos n y nn f yy 22 ecos2e n xnn n xnnN . 由 2 0 e1 n n f yf y 及()得 0n yy. 由()知，当, 4 2 x 时， 0gx ，所以 g x在, 4 2 上为减函数， 因此 0 0 4 n g yg yg . 又由()知0 2 nnn fyg yy ，故： 2 e 2 n n n nn fy y g yg y 0 222 00000 sincossincos nnn y eee g yeyyxx . 所以 2 00 e 2 2sincos n n nx xx . 【点睛】 本题主要考查导数的运算不等式证明运用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力综合分析问题和解决问题的能力.
