1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数数 学学 参考公式：参考公式： 若事件,A B互斥，则 ()( )( )P ABP AP B 若事件,A B相互独立， 则()( ) ( )P ABP A P B 若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SSh 其中 12 ,S S分别表示台体的上、 下底面积，h表 示台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的 高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S
2、表示锥体的底面积，h表示锥体的 高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分, ,在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知全集1,0,1,2,3U ，集合 0,1,2A，101B , ,，则 UA B （ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2,3 D. 1,0,1,3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题借根据交
3、集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】= 1,3 U C A，则 1 U C AB 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2.渐近线方程为 0xy 的双曲线的离心率是（ ） A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得1ab，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基 础知识、基本计算能力的考查. 【详解】因为双曲线的渐近线为0xy，所以= =1a b，则 22 2cab ，双曲线的 离心率2 c e a . 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
4、 3.若实数 , x y满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则32zxy的最大值是（ ） A. 1 B. 1 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题， 注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为 顶点的三角形区域（包含边界） ，由图易得当目标函数=3 +2zxy经过平面区域的点(2,2)时， =3 +2zxy取最大值 max 3 22 210z . 【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，
5、观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案 的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理， 利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体 ，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某 柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常 规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作
6、是由两个直角梯形组合而成的，其中一个 上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为 2646 336162 22 . 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多 观察、细心算. 5.若0,0ab ，则“4ab”是 “4ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取, a b 值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础
7、知识、逻辑推理能 力的考查. 【详解】当0, 0ab时， 2abab ，则当4ab时，有24abab，解得 4ab，充分性成立；当 =1, =4ab时，满足 4ab，但此时=54a+b，必要性不成立， 综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用 “赋值法”，通过特取, a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6.在同一直角坐标系中，函数 11 ,log(0 2 a x yyxa a 且0)a 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题通过讨论a的不同取值情况
8、，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判 断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a时，函数 x ya过定点(0,1)且单调递减，则函数 1 x y a 过定点(0,1)且 单调递增，函数 1 log 2 a yx 过定点 1 ( ,0) 2 且单调递减，D 选项符合；当1a 时，函数 x ya过 定 点(0,1)且 单 调 递 增 ， 则 函 数 1 x y a 过 定 点(0,1)且 单 调 递 减 ， 函 数 1 log 2 a yx 过定点 1 ( ,0 2 ）且单调递增，各选项均不符合.综上，选 D. 【点睛】易出现的错误有
9、，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误； 二是不能通过讨论a的不同取值范围，认识函数的单调性. 7.设01a，则随机变量X的分布列是： 则当a在0,1内增大时（ ） A. D X增大 B. D X减小 C. D X先增大后减小 D. D X先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a变化的增大或减小规律， 常用方法就是将方差用参数a表示， 应用函数知识求解. 本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目 有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法 1：由分布列得 1 () 3 a E X ，则
10、 2222 111111211 ()01 333333926 aaa D Xaa ，则当a在 (0,1)内增大时，()D X先减小后增大. 方法 2：则 2 222 2 1(1)222213 ()()0 3399924 aaaa D XE XE Xa 故选 D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手； 二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式. 8.设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点） ，记直 线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平 面角为，则（ ） A. , B. , C.
11、 , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】 本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念， 以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大 小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法 1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线 段AO上，过D作DE垂直AE，易得/PEVG，过P作/PFAC交VG于F，过D作 /DHAC，交BG于H，则 ,BPFPBDPED ，则 c o sc o s P FE GD HB D P BP BP BP B ，即，tantan PDPD EDBD ，即y ，
12、 综上所述，答案为 B. 方法 2：由最小角定理 ，记VAB C的平面角为（显然 ） 由最大角定理 ，故选 B. 法 2： （特殊位置）取VABC为正四面体，P为VA中点，易得 33322 2 cossin,sin,sin 6633 ，故选 B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置 法”，寻求简便解法. 9.已知, a b R，函数 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x ，若函数( )yf xaxb恰有 三个零点，则（ ） A. 1,0ab B. 1,0ab C. 1,0ab D. 1,0ab 【答案】D 【解
13、析】 【分析】 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想 的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为 ( )yf x 与yaxb，有三个交点. 当BC AP 时， 2 ( )(1)()(1)fxxaxaxa x，且(0)0,(0)ffa，则 （1）当1a时，如图 ( )yf x 与yaxb不可能有三个交点（实际上有一个） ，排除 A， B （2）当1a 时，分三种情况，如图 ( )yf x 与yaxb若有三个交点，则0b，答案选 D 下面证明：1a 时， BCAP 时 32 11 ( )( )(1) 32
14、F xf xaxbxaxb， 2 ( )(1)(1)F xxaxx xa ，则(0)0 , ( +1)F a，才能保证至少有两个零点， 即 3 1 0(1) 6 ba ，若另一零点在0 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及, a b两个参数，故按“一元化” 想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底 10.设, a b R ，数列 n a中， 2 1 , nnn aa aab ，b N ,则（ ） A. 当 10 1 ,10 2 ba B. 当 10 1 ,10 4 ba C. 当 10 2,10ba D. 当 10 4,10ba 【答案】A 【解析】 【分析】
15、 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确 定不动点出发，通过研究选项得解. 【详解】 选项 B： 不动点满足 2 2 11 0 42 xxx 时， 如图， 若 1 11 0, 22 n aaa ， 排除 如图，若a为不动点 1 2 则 1 2 n a 选项 C： 不动点满足 2 2 19 20 24 xxx ， 不动点为 ax1 2 ， 令2a， 则2 1 0 n a ， 排除 选项 D： 不动点满足 2 2 117 40 24 xxx ， 不动点为 171 22 x ， 令 1 7 1 22 a ， 则 171 10 22 n a ，排除. 选项
16、A：证明：当 1 2 b 时， 222 213243 1113117 ,1 2224216 aaaaaa， 处理一：可依次迭代到 10 a； 处理二：当4n时， 22 1 1 1 2 nnn aaa ，则 1 17117171 161616 log2loglog2 n nnn aaa 则 1 2 1 17 (4) 16 n n an ，则 6 264 10 2 1716464 631 111 4710 161616216 a . 故选 A 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点， 进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解. 非选择题部分（共非选择题部
17、分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.复数 1 1 z i （i为虚数单位） ，则|z _. 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力 的考查. 【详解】 112 | |1|22 z i . 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题. 12.已知圆C的圆心坐标是(0, )m，半径长是r.若直线230xy与圆相切于点 ( 2, 1)A ，则m_，r _.
18、 【答案】 (1). 2m (2). 5r 【解析】 【分析】 本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其 方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解. 【 详 解 】 可 知 11 :1(2) 22 AC kAC yx ， 把( 0,)m代 入 得2m， 此 时 |415rAC. 【点睛】 ：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆 的几何性质. 13.在二项式 9 ( 2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_. 【答案】 (1). 16 2 (2). 5 【解析】 【分析】 本题主要考查二项式定理、二项展
19、开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项 展开式的通项入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解. 【详解】 9 ( 2)x的通项为 9 19( 2) (0,1,29) rrr r TCx r 可得常数项为 09 19( 2) 16 2TC， 因系数为有理数，1,3,5,7,9r=，有 246810 T , T , T , T , T共 5 个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记 混，其次，计算要细心，确保结果正确. 14.VABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若45BDC， 则BD _；cosABD_. 【答
20、案】 (1). 12 2 5 (2). 7 2 10 【解析】 【分析】 本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通 过引入CDx，在BDC、ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解 【详解】在ABD中，正弦定理有： sinsin ABBD ADBBAC ，而 3 4, 4 ABADB , 22 ACABBC5 ， 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC ，所以 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC 【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 15
21、.已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在 以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_. 【答案】15 【解析】 【分析】 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆 方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法 1：由题意可知|=|2OFOM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，设( , )P x y可得 22 (2)16xy， 联立方程 22 1 95 xy 可解得 321 , 22 xx （舍） ，点P在椭圆上且在x轴的上方， 求得 31
22、5 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k 方法 2：焦半径公式应用 解析 1：由题意可知|2OF |=|OM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，即 3 4 2 pp aexx 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形 结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 16.已知aR，函数 3 ( )f xaxx，若存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t，则实数a的 最大值是_. 【答案】 max 4 3 a 【解析】 【分析】 本题主要考查
23、含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究 2 (2)( )23642f tf tatt 入手，令 2 3641,)mtt ， 从而使问题加以转 化，通过绘制函数图象，观察得解. 【详解】使得 222 (2)( )2 (2)(2)223642f tf tatt ttatt ， 使得令 2 3641,)mtt ，则原不等式转化为存在 1 1,|1| 3 mam，由折线函数， 如图 只需 1 1 3 a ，即 4 3 a ，即a的最大值是 4 3 【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 17.已知正方形ABCD的边长为 1，当每个 (1,2,
24、3,4,5,6) i i取遍时， 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是_；最大值是_. 【答案】 (1). 0 (2). 2 5 【解析】 【分析】 本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式， 利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD 要使 123456 ABBCCDDAACBD 的最小，只需要 13556246 0 ，此时只需要取 123456 1,1,1,1,1,1 此时 123456 min 0ABBCCDDAACBD 等号成立当且仅当 1356 , 均非负或者均非正
25、，并且 2456 , 均非负或者均非 正。 比如 123456 1,1,1,1,11 则 123456 max 202 5ABBCCDDAACBD. 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一 道向量和不等式的综合题。 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. . 18.设函数( ) sin ,f xx xR. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求
26、的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域. 【答案】 （1） 3 , 2 2 ； （2） 33 1,1 22 . 【解析】 【分析】 (1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为sinyaxb的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：sinf xx， 函数为偶函数，则当0x时， 2 xkkZ ，即 2 kkZ ，结合 0,2可取0,1k ，相应的值为 3 , 2 2 . (2)由函数的解析式可得： 22 sinsin 124 yxx 1 cos 21 cos 2 62 22 xx 1 1cos 2c
27、os 2 226 xx 131 1cos2sin2sin2 222 xxx 133 1cos2sin2 222 xx 3 1sin 2 26 x . 据此可得函数值域为： 33 1,1 22 . 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式 的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.如图，已知三棱柱 111 ABCABC ，平面 11 A ACC 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F分别是 11 ,AC AB的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面 1 ABC所成角的余弦值. . 【答
28、案】 （1）证明见解析； （2） 3 5 . 【解析】 【分析】 (1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦 值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】(1)如图所示，连结 11 ,AE B E， 等边 1 AAC中，AEEC，则 3 sin0sin 2 BA， 平面 ABC平面 11 A ACC，且平面 ABC平面 11 A ACCAC， 由面面垂直的性质定理可得： 1 AE 平面ABC，故 1 AEBC， 由三棱柱的性质可知 11 ABAB，而ABBC，故 11 A
29、BBC，且 1111 ABAEA， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面 11 AB E， 结合EF平面 11 AB E，故EFBC. (2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, 1 EA方向分别为 x,y,z轴正方向建立 空间直角坐标系Exyz. 设1EH ，则3AEEC， 11 2 3AACA,3,3BCAB， 据此可得： 1 33 0,3,0 ,0 ,0,0,3 ,0, 3,0 22 ABAC ， 由 11 ABAB可得点 1 B的坐标为 1 3 3 ,3,3 2 2 B ， 利用中点坐标公式可得： 3 3 ,3,3 4 4 F ，由于 0,0,0E ， 故
30、直线 EF的方向向量为： 3 3 ,3,3 4 4 EF 设平面 1 ABC的法向量为, ,mx y z，则： 1 3333 , , 330 2222 3333 , ,00 2222 m ABx y zxyz m BCx y zxy ， 据此可得平面 1 ABC的一个法向量为 1, 3,1m ， 3 3 ,3,3 4 4 EF 此时 64 cos, 53 5 5 2 EF m EF m EFm ， 设直线 EF与平面 1 ABC所成角为，则 43 sincos,cos 55 EF m. 【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空 间想象能力和逻辑推理能力；
31、解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平 面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间 向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 20.设等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 4a ， 43 aS，数列 n b满足：对每 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列. （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a Cn b N 证明： 12+ 2,. n CCCn n N 【答案】 （1）21 n an，1 n bn n； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得数列 n
32、a的首项和公差确定数列 n a的通项公式， 然后结合三项成等比数列的充 分必要条件整理计算即可确定数列 n b的通项公式； (2)结合(1)的结果对数列 n c的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法 即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得： 1 11 24 3 2 33 2 ad adad ，解得： 1 0 2 a d ， 则数列 n a的通项公式为. 其前 n 项和 022 1 2 n nn Sn n . 则1,1,12 nnn n nb n nbnnb成等比数列，即： 2 1112 nnn n nbn nbnnb ， 据此有： 2 222 121112121 n
33、nnnn nnn nbbn nnnnnbn nbb， 故 22 1 12121 (1)(1)(1)(2) n n nn nn bn n nnn n n nn . (2)结合(1)中的通项公式可得： 1122 21 211 n n n an Cnn bn nnnnnn ， 则 12 210221212 n CCCnnn. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解， ，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式 的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于 ,A B两点，点C在抛物线上，使得V
34、ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q 在点F右侧.记,AFGCQG的面积为 12 ,S S. （1）求p的值及抛物线的标准方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 【答案】 （1）1，1x； （2） 3 1 2 ， 2,0G. 【解析】 【分析】 (1)由焦点坐标确定 p的值和准线方程即可； (2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合 均值不等式的结论即可求得 1 2 S S 的最小值和点 G 的坐标. 【详解】 (1)由题意可得1 2 p ， 则2 ,24pp， 抛物线方程为 2 4yx， 准线方程为1x. (2)设
35、 1122 ,A x yB x y， 设直线 AB的方程为1 ,0yk xk，与抛物线方程 2 4yx联立可得： 2222 240k xkxk，故： 2222 2 4 2,1 k xxx x， 12121212 4 2,444yyk xxy yxx k ， 设点 C的坐标为 33 ,C x y，由重心坐标公式可得： 123 3 G xxx x 3 2 14 2 3 x k ， 123 3 G yyy y 3 1 4 3 y k ， 令0 G y 可得： 3 4 y k ，则 2 3 3 2 4 4 y x k .即 222 1441 2 33 8 2 G k x kk ， 由斜率公式可得： 1
36、313 22 311313 4 44 AC yyyy k yyxxyy ， 直线 AC 的方程为： 33 13 4 yyxx yy ， 令0y 可得： 2 313313 313 3 4444 Q yyyyyyyy y xx ， 故 11 1 1 22 181 21 323 118 223 GF y Sxxyy kk ， 且 3 2 2 13 3 118 224 2 3 QG yy y Sxxy k ， 由于 3 4 y k ，代入上式可得： 1 2 2 228 33 y S kkk ， 由 1212 4 ,4yyy y k 可得 1 1 44 y yk ，则 1 2 1 4 4 y k y ，
37、 则 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy S yS yy kkk y k 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y 2 1 2 1 43 21 248 2816 8 y y . 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y ，即 2 1 84 3y ， 1 62y 时等号成立 此时 1 2 1 4 2 4 y k y ， 2 81 22 3 G x k ，则点 G的坐标为2,0G. 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与 系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位
38、置关系，三角形重 心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有 ( ), 2 x f x a 求a的取值范围. 注：e2.71828.为自然对数的底数. 【答案】 （1） f x的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3； （2） 2 0 4 a . 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可. (2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取
39、值范围，然后证明所得的范围满足题意即 可. 【详解】(1)当 3 4 a 时， 3 ln1 4 f xxx ，函数的定义域为0,，且： 34331312 42141 41 312 xxxx fx xxx x x xxx ， 因此函数 f x的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3. (2)构造函数 ln1 2 x axg a xx ， 注意到： 22 111 210 2 ga eaee ， 注意到0a时 2 111 221 2 a aeee 恒成立，满足 22 111 210 2 ga eaee ； 当0a 时， 22 111 210 2 ga eaee ，不合题意， 且 1 120 2 g
40、a ，解得： 2 4 a ，故 2 0 4 a . 下面证明 2 0 4 a刚好是满足题意的实数 a的取值范围. 分类讨论： (a)当1x 时， 2 ln1ln12 24 x axxxxx a g x， 令 2 ln12 4 xxxx，则： 111 2 22 12 x xxx 122(1) 2 21 xxxx xx 2 2 21231 2 21( 122(1) xxxx xxxxxx 32 2 14851 2 21122(1)2 21231 xxxx xxxxxxxxxx ， 易知 0x，则函数 x单调递减， 10g xx，满足题意. (b)当 2 1 1x e 时， 0g x 等价于 2 1
41、 ln10 2 axxax ， 左侧是关于 a的开口向下的二次函数 a, 其判别式 1 12ln4lnxxxxxxx x ， 令tx，注意到当 1 t e 时, 2 2 141 4ln0 tt tt tt ， 于是 x在 2 1 ,1x e 上单调递增,而 15 2ln20 44 ， 于是当 2 11 , 4 x e 时命题成立, 而当 1 ,1 4 x 时,此时 a的对称轴为 1 2ln x a x 随着x递增, 于是对称轴在 5 8ln2 a 的右侧,而 52 8ln24 成立，(不等式等价于 5 ln2 8 ). 因此 2 10 4 au 综上可得：实数 a的取值范围是 2 0 4 a . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析 几何、 微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间， 判断单调性； 已知单调性， 求参数 (3) 利用
