1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数数 学学 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 1- -6 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 7- -1212 题每题题每题 5 5 分）分） 1 （4 分）已知集合1A ，2，3，4，5，3B ，5，6，则AB 2 （4 分）计算 2 2 231 lim 41 n nn nn 3 （4 分）不等式|1| 5x的解集为 4 （4 分）函数 2 ( )(0)f xx x的反函数为 5 （4 分）设i为虚数单位，365zii ，则| z的值为 6 （4 分）已知 2 221
2、 4 xy xa ya ，当方程有无穷多解时，a的值为 7 （5 分）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项等于 8 （5 分）在ABC中，3AC ，3sin2sinAB，且 1 cos 4 C ，则AB 9 （5 分） 首届中国国际进口博览会在上海举行， 某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动， 其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10（5 分） 如图， 已知正方形OABC， 其中(1)OAa a， 函数 2 3yx交BC于点P， 函数 1 2 yx 交AB于点Q，当|AQCP最小时，则a的值为 11 （5 分）在椭圆 22 1
3、 42 xy 上任意一点P，Q与P关 于x轴对称，若有 12 1FP F P，则 1 FP与 2 F Q的夹角范围 为 12 （5 分） 已知集合At，14tt，9t ，0A， 存在正数，使得对任意aA，都有A a ，则t的值是 二、选择题（本二、选择题（本大题共大题共 4 4 题，每题，每题题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13 （5 分）下列函数中，值域为0，)的是( ) A2xy B 1 2 yx Ctanyx Dcosyx 14 （5 分）已知a、bR，则“ 22 ab”是“| |ab”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15
4、（5 分）已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c， 则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( ) A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面 16 （5 分） 以 1 (a，0)， 2 (a，0)为圆心的两圆均过(1,0)， 与y轴正半轴分别交于 1 (y，0)， 2 (y， 0)，且满足 12 0lnylny，则点 12 11 (,) aa 的轨迹是( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+1814+14+14+16+187676 分）分） 17 （14 分）如图，在正三棱锥PABC中，2,
5、3PAPBPCABBCAC （1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角； （2）求PABC的体积 18 （14 分）已知数列 n a， 1 3a ，前n项和为 n S （1）若 n a为等差数列，且 4 15a ，求 n S； （2）若 n a为等比数列，且lim12 n n S ，求公比q的取值范围 19 （14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年2015年我国卫生货用中 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比 年份 卫生总费 用（亿
6、 元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出 绝对数（亿元） 占卫生总费用 绝对数（亿元） 占卫绝对数占卫 比重(%) 生 总 费 用 比 重 (%) （亿 元） 生 总 费 用 比 重 (%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64 11992.65 2
7、9.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45 （数据来源于国家统计年鉴） （1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化 趋势： （2）设1t 表示 1978 年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数 6.4420 0.1136 357876.6053 ( ) 1 t f t e 研究 函数( )f t的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份 20 （16 分）已知抛物线方程 2 4yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与 抛物线的交点，定义： | ( ) | PF d P FQ （1）当 8
8、 ( 1,) 3 P 时，求( )d P； （2）证明：存在常数a，使得2 ( ) |d PPFa； （3） 1 P， 2 P， 3 P为抛物线准线上三点，且 1223 | |PPP P，判断 13 ()()d Pd P与 2 2 ()d P的关系 21 （18 分）已知等差数列 n a的公差(0d ，数列 n b满足sin() nn ba，集合 * |, n Sx xb nN （1）若 1 2 0, 3 ad ，求集合S； （2）若 1 2 a ，求d使得集合S恰好有两个元素； （3）若集合S恰好有三个元素： n Tn bb ，T是不超过 7 的正整数，求T的所有可能的值 2019 年普通高
9、等学校招生全国统一考试（上海卷） 数数 学学 答答 案案 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 1- -6 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 7- -1212 题每题题每题 5 5 分）分） 1 （4 分）已知集合1A ，2，3，4，5，3B ，5，6，则AB 3，5 【解答】解：集合1A ，2，3，4，5， 3B ，5，6， 3AB，5 故答案为：3，5 2 （4 分）计算 2 2 231 lim 41 n nn nn 2 【解答】解： 2 2 2 2 31 2 231 limlim2 41 41 1 nn nn nn n
10、n nn 故答案为：2 3 （4 分）不等式|1| 5x的解集为 ( 6,4) 【解答】解：由|1| 5x得515x ，即64x 故答案为： 6，4) 4 （4 分）函数 2 ( )(0)f xx x的反函数为 1( ) (0)fxx x 【解答】解：由 2( 0)yxx解得xy， 1( ) (0)fxx x 故答案为 1 f ( )(0)xx x 5 （4 分）设i为虚数单位，365zii ，则| z的值为 【解答】解：由365zii ，得366zi，即22zi， 22 | |222 2zz 故答案为：2 2 6 （4 分）已知 2 221 4 xy xa ya ，当方程有无穷多解时，a的值
11、为 2 【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解， 可对2，得：442xy 再与式比较，可得：2a 故答案为：2 7 （5 分）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项等于 15 【解答】解： 6 1 ()x x 展开式的通项为 36 2 16 r r r TC x 令 39 0 2 r 得2r ， 故展开式的常数项为第 3 项： 2 6 15C 故答案为：15 8 （5 分）在ABC中，3AC ，3sin2sinAB，且 1 cos 4 C ，则AB 10 【解答】解：3sin2sinAB， 由正弦定理可得：32BCAC， 由3AC ，可得：2BC ， 1 cos 4 C ， 由余弦定理
12、可得： 222 132 42 3 2 AB ， 解得：10AB 故答案为：10 9 （5 分） 首届中国国际进口博览会在上海举行， 某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动， 其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表 示） 【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 3 3 424A 种， 故答案为：24 10（5 分） 如图， 已知正方形OABC， 其中(1)OAa a， 函数 2 3yx交BC于点P， 函数 1 2 yx 交AB于点Q，当|AQCP最小时，则a的值为 3 【解答】解：由题意得：P点坐标
13、为( 3 a ，)a，Q点坐标为 1 ( ,)a a ， 11 |2 33 a AQCP a ， 当且仅当3a 时，取最小值， 故答案为：3 11 （5 分）在椭圆 22 1 42 xy 上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有 12 1FP F P，则 1 FP 与 2 F Q的夹角范围为 1 arccos 3 ， 【解答】解：设( , )P x y，则Q点( ,)xy， 椭圆 22 1 42 xy 的焦点坐标为(2，0)，( 2，0)， 12 1FP F P， 22 21xy， 结合 22 1 42 xy 可得： 2 1y ，2 故 1 FP与 2 F Q的夹角满足： 222 12 22 2
14、222 12 2238 cos3 1 22 (2)8 FP F Qxyy yy FP F Qxyx ， 1 3 故 1 arccos 3 ， 故答案为： 1 arccos 3 ， 12 （5 分）已知集合At，14tt，9t ，0A，存在正数，使得对任意aA， 都有A a ，则t的值是 1 或3 【解答】解：当0t 时，当at，1t 时，则4t a ，9t ， 当4at，9t 时，则t a ，1t ， 即当at时，9t a ；当9at 时，t a ，即(9)t t； 当1at 时，4t a ，当4at 时，1t a ，即(1)(4)tt， (9)(1)(4)t ttt，解得1t 当104tt
15、时，当at，1t 时，则t a ，1t 当4at，9t ，则4t a ，9t ， 即当at时，1t a ，当1at 时，t a ，即(1)t t， 即当4at 时，9t a ，当9at 时，4t a ，即(4)(9)tt， (1)(4)(9)t ttt，解得3t 当90t 时，同理可得无解 综上，t的值为 1 或3 故答案为：1 或3 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13 （5 分）下列函数中，值域为0，)的是( ) A2xy B 1 2 yx Ctanyx Dcosyx 【解答】解：A，2xy 的值域为(0,)，故
16、A错 B，yx的定义域为0，)，值域也是0，)，故B正确 C，tanyx的值域为(,) ，故C错 D，cosyx的值域为 1，1，故D错 故选：B 14 （5 分）已知a、bR，则“ 22 ab”是“| |ab”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解： 22 ab等价， 22 | |ab，得“| |ab” ， “ 22 ab”是“| |ab”的充要条件， 故选：C 15 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c， 则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( ) A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面 【解答】解：如
17、图 1，可得a、b、c可能两两垂直； 如图 2，可得a、b、c可能两两相交； 如图 3，可得a、b、c可能两两异面； 故选：B 16 （5 分） 以 1 (a，0)， 2 (a，0)为圆心的两圆均过(1,0)， 与y轴正半轴分别交于 1 (y，0)， 2 (y， 0)，且满足 12 0lnylny，则点 12 11 (,) aa 的轨迹是( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 【解答】解：因为 22 1111 |1|raay ，则 2 11 1 2ya ， 同理可得 2 22 1 2ya ， 又因为 12 0lnylny， 所以 12 1y y ， 则 12 (12)(12)1aa， 即 12
18、12 2a aaa， 则 12 11 2 aa ， 设 1 2 1 1 x a y a ，则2xy为直线， 故选：A 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+1814+14+14+16+187676 分）分） 17 （14 分）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC （1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角； （2）求PABC的体积 【解答】解： （1）M，N分别为PB，BC的中点，/ /MNPC， 则PCA为AC与MN所成角， 在PAC中，由2PAPC，3AC ， 可得 222 33 cos 24223 P
19、CACPA PCA PC AC ， AC与MN的夹角为 3 arccos 4 ； （2）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心， 连接AO并延长，交BC于N，则 3 2 AN ， 2 1 3 AOAN 22 213PO 1133 33 3224 P ABC V 18 （14 分）已知数列 n a， 1 3a ，前n项和为 n S （1）若 n a为等差数列，且 4 15a ，求 n S； （2）若 n a为等比数列，且lim12 n n S ，求公比q的取值范围 【解答】解： （1） 41 33315aadd，4d， 2 (1) 342 2 n n n Snnn ； （2） 3(1)
20、 1 n n q S q ，lim n n S 存在，11q ， lim n n S 存在，11q 且0q ， 3(1)3 limlim 11 n n nn q S qq ， 3 12 1q ， 3 4 q，10q 或 3 0 4 q， 公比q的取值范围为( 1，0)(0， 3) 4 19 （14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年2015年我国卫生货用中 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比 年份 卫生总费 用（亿 元） 个人现金卫生支出 社会卫生
21、支出 政府卫生支出 绝对数（亿元） 占卫生总费用 比重(%) 绝对数（亿 元） 占卫生 总费 用比 重 (%) 绝对数 （亿 元） 占卫生总 费用 比重 (%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 1
22、2475.28 30.45 （数据来源于国家统计年鉴） （1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化 趋势： （2）设1t 表示 1978 年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数 6.4420 0.1136 357876.6053 ( ) 1 t f t e 研究 函数( )f t的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份 【解答】解： （1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多 （2） 6.4420 0.1136t ye 是减函数，且 6.4420 0.1136 0 t ye ， 6.4420 0.1
23、136 357876.6053 ( ) 1 t f t e 在N上单调递增， 令 6.4420 0.1136 357876.6053 120000 1 t e ，解得50.68t ， 当51t时，我国卫生总费用超过 12 万亿， 预测我国到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿 20 （16 分）已知抛物线方程 2 4yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与 抛物线的交点，定义： | ( ) | PF d P FQ （1）当 8 ( 1,) 3 P 时，求( )d P； （2）证明：存在常数a，使得2 ( ) |d PPFa； （3） 1 P， 2 P， 3 P为抛物线准
24、线上三点，且 1223 | |PPP P，判断 13 ()()d Pd P与 2 2 ()d P的关系 【解答】解： （1）抛物线方程 2 4yx的焦点(1,0)F， 8 ( 1,) 3 P ， 8 4 3 23 PF k，PF的方程为 4 (1) 3 yx，代入抛物线的方程，解得 1 4 Q x ， 抛物线的准线方程为1x ，可得 2 6410 |2 93 PF ， 15 |1 44 QF ， |8 ( ) |3 PF d P QF ； （2）证明：当( 1,0)P 时，2 ( ) | 2222ad PPF， 设( 1,) P Py，0 P y ，:1PF xmy，则2 P my ， 联立1
25、xmy和 2 4yx，可得 2 440ymy， 2 2 41616 22 1 2 Q mm ymm ， 2 2 2 22 1 2 ( ) | 212 (22 1) P P Q ym d PPFm y ym mmm 22 12 1 22 mmm mm ， 则存在常数a，使得2 ( ) |d PPFa； （3）设 11 ( 1,)Py， 22 ( 1,)Py， 33 ( 1,)Py，则 222 132132132 2 ( )()4 () | 2|442 4d Pd pd PPFPFPFyyy 22222213 131313 442 ()444()16 2 yy yyyyyy ， 由 222222
26、13131313 ( 44)()162 4428yyyyyyy y， 222222 1313131313 (4)(4(4)4()84()0yyy yyyy yyy， 则 132 ()()2 ()d Pd Pd P 21 （18 分）已知等差数列 n a的公差(0d ，数列 n b满足sin() nn ba，集合 * |, n Sx xb nN （1）若 1 2 0, 3 ad ，求集合S； （2）若 1 2 a ，求d使得集合S恰好有两个元素； （3）若集合S恰好有三个元素： n Tn bb ，T是不超过 7 的正整数，求T的所有可能的值 【解答】解： （1）等差数列 n a的公差(0d ，数
27、列 n b满足sin() nn ba，集合 * |, n Sx xb nN 当 1 2 0, 3 ad ， 集合 3 2 S ，0， 3 2 （2） 1 2 a ，数列 n b满足sin() nn ba，集合 * |, n Sx xb nN恰好有两个元素，如图： 根据三角函数线，等差数列 n a的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素， 此时d， 1 a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使 2 a， 3 a的终边关于y轴对称，如 图OB，OC，此时 2 3 d ， 综上， 2 3 d或者d （3）当3T 时， 3nn bb ，集合 1 Sb， 2 b， 3 b，符合题意
28、 当4T 时， 4nn bb ，sin(4 )sin nn ada，42 nn adak，或者42 nn adka， 等差数列 n a的公差(0d ，故42 nn adak， 2 k d ，又1k，2 当1k 时满足条件，此时S ，1，1 当5T 时， 5nn bb ，sin(5 )sin nn ada，52 nn adak，或者52 nn adka， 因为(0d ，故1k ，2 当1k 时，sin 10 S ，1，sin 10 满足题意 当6T 时， 6nn bb ，sin(6 )sin nn ada， 所以62 nn adak或者62 nn adka，(0d ，故1k ，2，3 当1k 时
29、， 33 ,0, 22 S ，满足题意 当7T 时 ， 7nn bb ，sin(7 )sinsin nnn adaa， 所 以72 nn adak， 或 者 72 nn adka，(0d ，故1k ，2，3 当1k 时，因为 17 bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 2 mn aa， 22 7 d mn ，7mn，7m ，不符合条件 当2k 时，因为 17 bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 2 mn aa， 24 7 d mn ，mn不是整数，不符合条件 当3k 时，因为 17 bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 2 mn aa或者4， 26 7 d mn ，或者 46 7 d mn ，此时，mn均不是整数，不符 合题意 综上，3T ，4，5，6
