1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 卷） 文文科数学科数学 1.设集合1 -|xxA，2|xxB，则BA( ) A. ), 1( B. )2 ,( C. )2 , 1( D. 答案： C 解析： 1 -|xxA，2|xxB，）（2 , 1BA. 2. 设(2)zii，则z ( ) A. 1 2i B. 1 2i C. 1 2i D. 1 2i 答案： D 解析： 因为(2)12ziii ，所以1 2zi . 3. 已知向量(2,3)a， (3,2)b，则ab（ ） A. 2 B. 2 C. 5 2 D. 50 答案： A 解答： 由题意知( 1,1) ab，所以2ab. 4. 生
2、物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只， 则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A. 2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 答案： B 解答： 计测量过的 3 只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A、B则 3 只兔子的种类有 (1,2,3)(1,2,)A(1,2,)B (1,3,)A(1,3,)B(1, , )A B 2,3,2,3,2, ,3, ,ABA BA B ,则恰好 有两只测量过的有6种，所以其概率为 3 5. 5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：
3、我的成绩比乙高. 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 答案： A 解答： 根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 设( )f x为奇函数，且当0x时，( )1 x f xe，则当0x时，( ) f x（ ） A. 1 x e B. 1 x e C. 1 x e D. 1 x e 答案： D 解答： 当0x时，0 x，()1 x fxe，又( )f x为奇函数， 有( )()1 x f xfxe. 7. 设, 为两个平面，则/ /的充要条件是( ) A.
4、 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. , 平行于同一条直线 D. , 垂直于同一平面 答案： B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. 8. 若 12 3 , 44 xx 是函数 ( )sin(0)f xx 两个相邻的极值点，则= A2 B. 3 2 C. 1 D. 1 2 答案： A 解答： 由题意可知 3 2442 T 即 T=,所以=2 . 9.若抛物线)0(2 2 ppxy的焦点是椭圆1 3 22 p y p x 的一个焦点，则p（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案： D 解析： 抛物线)0(2 2 ppxy的焦点是)0 , 2 ( p ，椭圆1 3
5、22 p y p x 的焦点是)0 ,2(p， p p 2 2 ，8p. 10. 曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为( ) A. 10xy B. 2210xy C. 2210xy D. 10xy 答案： C 解析： 因为2cossinyxx ，所以曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线斜率为2， 故曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为2210xy . 11. 已知(0,) 2 ，2sin2cos21，则sin（ ） A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 答案： B 解答： (0,) 2 ， 2 2sin2cos214sinc
6、os2cos ， 则 1 2sincostan 2 ，所以 2 12 5 cos 1tan5 ， 所以 2 5 sin1 cos 5 . 12.设 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点， 0 为坐标原点， 以OF为直径的圆与 圆 222 xya 交于 ,P Q 两点，若 PQOF ,则C的离心率为: A. 2 B.3 C.2 D.5 答案： A 解析：设F点坐标为)0 , 2 c （，则以OF为直径的圆的方程为 2 22 2 ) 2 c y c x（-， 圆的方程 222 ayx-，则-，化简得到 c a x 2 ，代入式，求得 c ab y，则 设P点坐标为
7、), 2 c ab c a （，Q点坐标为), 2 c ab c a （，故 c ab PQ 2 ，又OFPQ ,则 , 2 c c ab 化简得到 222 2bacab，ba ， 故2 2 22 a a a ba a c e.故选 A. 二、填空题 13. 若变量, x y 满足约束条件 2360 30 20 xy xy y 则 3zxy 的最大值是 . 答案： 9 解答： 根据不等式组约束条件可知目标函数3zxy 在 3,0处取得最大值为9. 14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率 为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的
8、正点率为0.99，则经停该站的高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为 . 答案： 0.98 解答： 平均正点率的估计值 0.97 100.98 200.99 10 0.98 40 . 15. ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.已知sincos0bA aB，则B . 答案： 3 4 解析： 根据正弦定理可得sinsinsincos0BAAB,即sinsincos0ABB， 显然sin0A， 所以sincos0BB，故 3 4 B . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或 圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多
9、面体” （图 1）.半正多面体是由两 种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半 正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空 2 分，第二空 3 分.) 答案： 26 2 1 解析： 由图 2 结合空间想象即可得到该正多面体有 26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对 称性列方程求解. 三、解答题 17.如图，长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，点 E 在棱 1 AA上， 1 BEEC. （1）证明： BE 平面 11 EBC （
10、2）若 1 AEAE, 3AB,求四棱锥 11 EBBCC的体积. 答案： （1）看解析 （2）看解析 解答： （1）证明：因为 11 BCC 面 11 AB BA，BE 面 11 AB BA 11 BCBE 又 1111 C EBCC ，BE 平面 11 EBC； （2）设 1 2AAa则 22 9BEa ， 22 1 18+aC E ， 22 1 94C Ba 因为 222 11 =C BBEC E 3a， 1 11 1 1 h 3 E BB C CBB C C VS 1 3 6 3=18 3 18.已知 n a是各项均为正数的等比数列，162, 2 231 aaa. (1)求 n a的通
11、项公式： (2)设 nn ab 2 log，求数列 n b的前 n 项和. 答案： （1） 12 2 n n a； （2） 2 n 解答： (1)已知162, 2 231 aaa，故162 1 2 1 qaqa，求得4q或2q，又0q，故 4q，则 1211 1 242 nnn n qaa. (2)把 n a代入 n b，求得12 nbn，故数列 n b的前n项和为 2 2 )12(1 n nn . 19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. y的分组 0.20,0 0,0.20 0.2
12、0,0.40 0.40,0.60 0.60,0.80 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表）.（精确到 0.01） 附：748.602. 答案： 详见解析 解答: （1）这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例是14 721 100100 ， 这类企业中产值负增长的企业比例是 2 100 . （2）这类企业产值增长率的平均数是 0.1020.10 240.30 530.50 140.70 71000.30 这类企业产值
13、增长率的方差是 22222 0.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296 所以这类企业产值增长率的标准差是 22 0.0296748.6020.172040.17 100100 . 20. 已知 12 ,F F是椭圆C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，P为C上的点，O为坐标 原点. （1）若 2 POF为等边三角形，求C的离心率； （2）如果存在点P，使得 12 PFPF，且 12 FPF的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 答案： 详见解析 解答: （1）若 2 POF为等边三角形，则P的坐标
14、为 3 , 22 c c ，代入方程 22 22 1 xy ab ，可得 22 22 3 1 44 cc ab ，解得 2 42 3e ，所以31e . （2）由题意可得 12 2PFPFa，因为 12 PFPF，所以 22 2 12 4PFPFc， 所以 2 2 1212 24PFPFPFPFc，所以 222 12 2444PFPFacb， 所以 2 12 2PFPFb，所以 1 2 2 12 1 16 2 PF F SPFPFb ，解得4b. 因为 2 1212 4PFPFPFPF，即 2 12 24aPFPF，即 2 12 aPFPF， 所以 2 32a ，所以4 2a. 21. 已知函
15、数( )(1)ln1f xxxx.证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 答案： 见解析 解答： （1） 1 ( )ln(0)fxxx x ，设 1 ( )lng xx x ， 2 11 ( )0g x xx 则( )g x在(0,)上递增，(1)10 g， 11 (2)ln2ln0 22 ge， 所以存在唯一 0 (1,2)x，使得 00 ()()0fxg x， 当 0 0xx时， 0 ( )()0g xg x，当 0 xx时， 0 ( )()0g xg x， 所以( )f x在 0 (0,)x上递减，在 0 (,)x上递增，
16、所以( )f x存在唯一的极值点. （2）由（1）知存在唯一 0 (1,2)x，使得 0 ()0fx，即 0 0 1 lnx x ， 0000000 00 11 ()(1)ln1(1)1()0 f xxxxxxx xx ， 2222 1113 ()(1)( 2)110 f eeee ， 2222 ()2(1)130 f eeee， 所以函数( )f x在 0 (0,)x上， 0 (,)x上分别有一个零点. 设 12 ( )()0f xf x，(1)20 f，则 102 1 xxx， 有 1 1111 1 1 (1)ln10ln 1 x xxxx x ， 2 2222 2 1 (1)ln10ln
17、 1 x xxxx x ， 设 1 ( )ln 1 x h xx x ，当0,1x x时，恒有 1 ( )( )0h xh x ， 则 12 ( )()0h xh x时，有 12 1x x. 四、选做题（2 选 1） 22.在极坐标系中，O为极点，点 00 (,)M 0 (0)在曲线:=4sinC上，直线l过点 (4,0)A且与OM垂直，垂足为P. （1）当 0 3 时，求 0 及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 答案： （1） 0 2 3，l的极坐标方程：sin()2 6 ； （2）P点轨迹的极坐标方程为=4cos(,) 4 2 . 解析：
18、（1）当 0 3 时， 00 =4sin4sin2 3 3 ， 以O为原点， 极轴为x轴建立直角坐标系， 在直角坐标系中有( 3,3)M，(4,0)A，3 OM k， 则直线l的斜率 3 3 k ，由点斜式可得直线l： 3 (4) 3 yx ，化成极坐标方程为 sin()2 6 ； （2）lOM 2 OPA ，则P点的轨迹为以OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程 为 22 (2)4xy，化成极坐标方程为=4cos，又P在线段OM上，由 4sin 4cos 可 得 4 ，P点轨迹的极坐标方程为=4cos(,) 4 2 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知 ( ) |2|()f xxa xx
19、xa （1）当 1a 时，求不等式( )0f x 的解集： （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a得取值范围. 答案 （1）看解析 （2）看解析 解答： （1）当1a 时， 2 2 242(2), ( )12 (1)22(12), 242(1). xxx f xxxxxxx xxx 所以不等式( )0f x 等价于 2 2420 2 xx x 或 220 12 x x 或 2 2420 1 xx x 解得不等 式的解集为2x x 。 （2）当1a 时，由(,1)x ，可知( )2()(1)0f xax x恒成立，当1a 时根据条 件可知( )0f x 不恒成立。所以a的取值范围是1a 。
