1、2023-5-6高等数学课件常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第十二章 2023-5-6高等数学课件二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1.当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r 为待定常数),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根
2、.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件2.当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(u(x)待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(co
3、sxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件小结小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件
4、若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)(121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件例例1.032 yyy求方程的通解.解解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征
5、方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件例例3.xxo解解:由第七节例1(P293)知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律,0v速度为.)(txx 立坐标系如图,0 xx 设 t=0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件
6、方程:22ddtx02xk特征方程:,022krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)kvC020022020tan,vxkkvxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto简谐振动 A:振幅,:初相,周期:kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt,000 xxt下图中假设机动 目录 上页 下页 返回 结束(仅由系统特性确定)2023-5-6
7、高等数学课件方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件(n k)大阻尼解的特征大阻尼解的特征:1)无振荡现象;trtreCeCx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此图参数:1,5.1kn5.10 x073.50v2)对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5
8、-6高等数学课件(n=k)临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件定,tnetCCx)(21)()1tx最多只与 t 轴交于一点;取何值都有无论21,CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0)(lim21tntetCC2)无振荡现象;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件例例4.052)4(yyy求方程的通解.解解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例5.0)4()5(yy解方程解解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrr
9、r原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),132xexxx推广 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件02)(22222rr例例6.)0(0dd444wxw解方程解解:特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件例例7.02)4(yyy解方程解解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解:xxCCyco
10、s)(31xxCCsin)(42机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxreCeCy212121rr(2)当时,通解为xrexCCy1)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(21xCxCeyxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解.答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21作业作业 P310 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九节 目录 上页 下页 返回 结束 2023-5-6高等数学课件备用题备用题,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:,121 rrir24,3因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr04852)4(yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321机动 目录 上页 下页 返回 结束
