1、第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2b2c2.例1如图，在直角三角形外部作出3个正
2、方形(1)正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_；(2)正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_；(3)正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_；(4)如果用SA，SB，SC分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：_；(5)如图中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系解：(1)1616(2)99(3)2525(4)SASBSC(5)图中，SA1，SB9，SC10，所以仍然有SASBSC.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11已知直角三角形的两边求第三
3、边2已知直角三角形的一边，确定另两边的关系3证明线段的平方关系例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了_米的路，却踩伤了花草解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(ACBC)AB.在RtABC中，AB2BC2AC2，AC3米，BC4米，则AB5米，所以他们仅仅少走了ACBCAB4米答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的一般步骤如下：拼出图形找出图形面积的表达式建立等量关系恒等变形推导出勾股定理如图(1)因为S大正
4、方形4S三角形S小正方形，所以(ab)24abc2，所以a2b2c2.如图(2)因为S大正方形4S三角形S小正方形，所以c24ab(ba)2，所以c2a2b2.如图(3)因为S梯形2S小三角形S大三角形，所以(ab)(ab)2abc2，整理，得a2b2c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系如图，RtABC中， C90，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2AC2AB2.这就是勾股定理2应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论(2)应用勾股定理时应分清直角边
5、与斜边在一些RtABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(ab)221，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A3B4C5D6解析：观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知(ab)221，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案因为(ab)221，所以a22abb221，因为大正方形的面积为13
6、，2ab21138，所以小正方形的面积为1385.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论例2在RtABC中，AC9，BC12，求AB2.解：当AB为斜边时，AB2AC2BC2225；当AB为直角边时，AB2BC2AC263.所以AB2为225或63.注意：此题易错误地认为AB2225.原因是没有分清AB边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件因此，对于此类问题我们应该分情况讨论2一定是直角三角形吗知识点一勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a，b，c满足
7、a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形(此判别条件也称为勾股定理的逆定理)利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a2b2是否等于c2需通过计算说明，不能直接写成a2b2c2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2(较大边长)2(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形例1判断由线段a，b，c组成的三角形是否为直角三角形(1)a4，b5，c6；(2)abc345.解：(1)因为a2b2425241，c236，a2b2c2，所
8、以由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形(2)设a3k，b4k，c5k(k0)因为a2b2(3k)2(4k)225k2，c2(5k)225k2，所以a2b2c2，所以由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形知识点二勾股数精练版P3满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数常见的勾股数有：3，4，5；6，8，10；8，15，17；7，24，25；5，12，13；9，12，15；9，40，41.勾股数有无数组一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.320.420.52成
9、立，但它们都是小数，因而不是勾股数例2判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)，；(4)3，4，5.解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a2b2c2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数解：(1)因为324272，所以3，4，7不是勾股数(2)因为52122132，所以5，12，13是勾股数(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数(4)虽然32(4)252，但4不是正整数，所以这组数不是勾股数注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方易
10、错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边例3已知三角形的三边长分别是m21，2m，m21(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状解：因为(m21)2(2m)2m42m214m2m42m21，(m21)2m42m21，所以(m21)2(2m)2(m21)2，所以此三角形为直角三角形注意：此题易认为2m为最大边，得到(m21)2(m21)2(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论在做此类题时，一定要找准最大边3勾股定理的应用知识点一确定几何体上
11、的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)由已知得AB5m，BB12m.在RtABB中，AB2AB2BB252122132(m2)，所以AB13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面
12、建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度解析：根据题意寻找出绳子
13、长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程解方程求得结论解：设旗杆高x米，则绳长(x1)米依题意，得x252(x1)2，解得x12.即旗杆的高度为12米易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离(参考数据：21.592466，19.242370，18.44234
14、0)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示在RtABE中，由勾股定理，得AB2AE2BE2(129)252466；同理，由图(2)，得AB2AC2BC2122(95)2340；由图(3)，得AB2AD2BD2(125)292370.因为340370466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以
15、ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是_，第n个等腰直角三角形的面积为_解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可S1ABBC，由勾股定理得，AC2AB2BC22，AD2AC2DC2224，AE2AD2DE2448，所以S2AC21，S3AD22，S4AE24.由此可得S72532，Sn2n2.答案：322n2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决整体代换是数学一种重要方法类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，
16、C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB600m，AC800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明解：因为AC2AB28002600210002BC2，所以ABC是直角三角形，且BAC90.过点A作ADBC，垂足为D.如图所示因为SABCABACADBC，所以AD480(m)因为480m400m，所以此公路不会穿过该森林公园注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在
17、要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，交CD于点M，点M即为所求连接AM，则MAMB最小作AEBD交BD的延长线于点E.在直角三角形ABE中，AE30千米，BEBDDEBDAC40千米，由勾股定理AB2AE2BE2302402，所以AB50千米所以MAMBAMBMAB50千米，修管道的费用为503150(万元)注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD
18、同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MAMB最小”探究中要把握问题的实质，注意问题的转化第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x25，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A面积为49的正方形B面积为的正方形C面积为8的正方形D面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a0)，由A项得a249，4972，所以a7；由B项得a2，而，所以a；由D项得a21.21
19、，而 1.211.12，所以a1.1；由C项得a28，8不能写成一个整数或分数的平方答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x22，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值方法：因为124，所以1x2，即x的整数位是1.又因为1.421.96，1.522.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是xcm.(1)估计x在哪两个整数之间(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值
20、解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推解：根据条件，得x29252106.(1)因为100106121，所以100x2121，所以10x11，即x在整数10和11之间(2)因为10.292105.8841，10.302106.09，所以10.29210610.302，所以精确到十分位时，x10.3.又因为10.2952105.987025，10.2962106.007616，所以10.295210610.2962，所以10.2952x210.2962，所以精确到百分位时，x10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得
21、x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数例如，圆周率3.14159265是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数再如，0.989889888988889(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数(2)小数的分类：小数例3，0.0，2.3131131113，0.1010010001(相邻两个1之间0的个
22、数逐次加1)中无理数的个数是()A2个B3个C4个D5个解析：，0.1010010001(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，0.0，2.3131131113是有理数答案：A注意：是无限不循环小数，是无理数，不是分数，是一个无理数易错点错把当成有理数，把无限循环小数当成无理数是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据例4下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？01010010001(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，345.20，.解：有理数：，345.20；无理数：0.1010010001(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
23、，.注意：学生很容易把看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数也很容易把345.20看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数2平方根知识点一算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子有意义时，a一定表示一个非负数(3)(a0)是一个非负数例1求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)；(3)13.解析：因为求
24、一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根解：(1)因为202400，所以400的算术平方根是20.(2)因为，所以的算术平方根是.(3)13的算术平方根是.注意：(1)在求a的算术平方根时，若a是有理数的平方，a的算术平方根就不带根号；若a不是有理数的平方，a的算术平方根就带有根号，如.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果知识点二平方根的概念与性质精练版P111定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)2
25、性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根温馨提示：一个正数a必有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作，读作“正、负根号a”例2判断下列各数是否有平方根若有，求出其平方根；若没有，请说明理由(1)169；(2)(1)2；(3)(1)3.解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值解：(1)因为1690，所以169有平方根因为(13)2169，所以169的平方根是13，即13.(2)因为(1)210，所以(1)2有平方根因为(1)21，所以1的平方根是1，即1.(3)因为(1)310，
26、所以(1)3没有平方根注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)知识点三开平方精练版P11定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数温馨提示：(1)开平方时，被开方数a必须是非负数(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确例3(1)()2等于多少？(2)等于多少？(3)等于多少？(4)等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果解：(1)()24216.(2).(3)5.5.(4)2.知识点四与()2(a0)的性质精练版P11
27、1.|a|，即当a0时，a，当a0时，a.2()2a(a0)温馨提示：(1)a的取值范围不同，公式(1)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a的取值是非负数(2)运算顺序不同，公式(1)中a先平方再开平方，而公式(2)中a先开平方再平方例4求下列各式的值：(1)()2；(2)；(3)(x2)解析：对于与()2(a0)这两种形式要注意区分解：(1)()27.(2)|7|7.(3)因为x2，所以 2x0，所以|2x|(2x)x2.注意：运用|a|化简时，一定要先判断出a的符号，然后才能化简易错点不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一
28、题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算如：求的平方根时，先要计算4，再求4的平方根例5的算术平方根是_解析：6，6的算术平方根是，所以的算术平方根是.答案：注意：本题易将的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根3立方根知识点一立方根的概念与性质精练版P131立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，例如：53125，则5是125的立方根2表示方法：数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数注意根指数“3”不能省略3立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负
29、的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A的立方根是2B的立方根是C(1)2的立方根是1D3是27的立方根解析：因为8，所以的立方根是2，故A选项正确任何数只有一个立方根，排除B选项正数的立方根为正数，故排除C，D选项答案：A知识点二开立方精练版P131定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数开立方与立方互为逆运算2重要公式：()3a；.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面例如：5.例2求下列各数的立方根：(1)；(2).解：(1)0.4.(2)3.知识点三立方根与平方根的区别与联
30、系精练版P131区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个2联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是_解析：因为(8)264，所以这个数为8，2.答案：2易错点错把的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求的立方根，被开方数是，而不是81.例4的立方根是_解析：因为
31、4，所以的立方根是.答案：注意：本题容易把的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出4，再求4的立方根4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围2“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位例140正确吗？说明你的理由解：因为4021600
32、870，所以40，且差别太大，所以40不正确知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较例2比较与的大小解：因为34，所以031，所以0.2求差法：若0，则；若0，则.对于上例：因为0(因为34)，所以.3平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若ab0，则；若ab，则.例3比较2和3的大小解：因为(2)224，(3)227，所以23.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确
33、定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果例4比较大小：2与7.解：因为23，所以426.因为77，所以27.或(2)228，(7)298，2898，即27注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27，因为23，12，所以26，77，即27.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小另外本题中2与，7与之间是乘积的关系5用计算器开方知识点一利用计算器开方精练版P18利用计算器开方按键顺序：用计算器开方例1用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)(1)；(2).解
34、：(1)按键顺序：，显示1.760681因为结果精确到千分位，所以答案为1.761.(2)按键顺序：，显示1.709976因为结果精确到千分位，所以答案为1.710.知识点二利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“”值的按键顺序例2求的值解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为，则的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号易错点在求和、差、积
35、、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号例3用计算器求的值(精确到千分位)解：按键：，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误6实数知识点一实数的概念及分类精练版P191实数的概念：有理数和无理数统称为实数例1有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为64时，输出的y是()A8BCD解析：输入64，则输出8，8是有理数
36、，第二次输入8.输出，是无理数故选B.答案：B知识点二实数的相关概念精练版P19在实数范围内，一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样，即这些有理数中的概念在实数范围内仍适用因此可以类比理解：(1)a表示一个正实数，a就表示一个负实数，a与a互为相反数；(2)非零实数a一定有倒数，它的倒数为，负倒数为；(3)如果a表示实数，那么|a|例2的相反数是_，绝对值是_，倒数是_解析：的相反数为()，绝对值为，倒数为.答案：知识点三实数的运算与比较精练版P19实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用如：，
37、23(23)5.正数大于负数；正数大于0；0大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小例3比较下列各组数的大小：(1)1与1；(2)3与2；(3)与.解析：(1)用作差法；(2)(3)用平方法解：(1)因为(1)(1)0，所以11.(2)因为(3)245，(2)244，所以32.(3)因为()2242，()2242，242242，所以.知识点四实数与数轴上点的关系精练版P19实数与数轴上的点是一一对应的关系也就是说，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的一个点来表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例4在数轴上作出表示的点解析：作无理数，通常需作直角三
38、角形(或矩形)，应用勾股定理求得斜边为.解：因为，所以两直角边分别为3和2.如图中的点A.易错点对实数的分类方法、概念不清楚导致错误无理数有三种表现形式：(1)含有根号且被开方数开方开不尽；(2)圆周率及一些含有的数；(3)无限不循环小数例5在实数，0，3，3.14，中，无理数有()A1个B2个C3个D4个解析：，是无理数，故有2个无理数答案：B注意：易将其中的3.14和误认为是无理数而错选C或D.或把误认为是分数而错选A.实际上只有和是无理数7二次根式第1课时二次根式的概念及性质知识点一二次根式的概念及性质精练版P211定义：一般地，形如(a0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数2性质：(1
39、)|a|(2)积的算术平方根的性质：(a0，b0)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积(3)商的算术平方根的性质：(a0，b0)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式，(x0)，(x0，y0)解析：二次根式应满足两个条件：有根号“”；被开方数是正数或0(非负)解：二次根式有：，(x0)，(x0，y0)；不是二次根式的有：，.知识点二最简二次根式的概念及其化简精练版P211最简二次根式的概念一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式2化简二次根式的方法在二次根式的计算中，如果
40、一个二次根式不是最简二次根式，应根据有关的运算性质将二次根式化为最简二次根式在化二次根式为最简二次根式时有以下方法：当被开方数是整数时，应先将它分解因数，再进行开方运算当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化为分数的形式或将带分数化为假分数的形式，再进行开方运算例2化简：(1)；(2).解：(1)4.(2).易错点不理解二次根式的概念而出错在二次根式中，a应为大于或等于0的数或式，即具有非负性，在化简时，往往因忽略a的取值范围出现错误例3化简：.解：|a5|注意：要化简，关键在于确定a5的符号，由于已知条件未作说明，因此需对a5的符号加以分类讨论，再进一步化简第2课时二次根式的运算知识点一二次
41、根式的乘除精练版P22二次根式的乘法法则：(a0，b0)二次根式相乘时，要注意以下几点：(1)如果根号前有系数， 就把各个系数相乘，仍作为二次根号前的系数；(2)计算的结果必须化成符合要求的二次根式；(3)被开方数相乘的时候，往往不是直接求出乘积，而是考虑先化简，再求值二次根式的除法法则：(a0，b0)二次根式相除时，要注意以下几点：(1)如果根号前面有系数，就把各个系数相乘，仍作为二次根号前的系数；(2)二次根式除法的两种情况：当被除式与除式的被开方数恰好能整除的时候，我们直接运用二次根式的除法法则进行运算；当被除式与除式的被开方不能整除时，我们就要采用分母有理化的方法来进行例1计算：(1)
42、；(2)3(5)解析：(1)直接运用二次根式的乘法法则进行计算；(2)先把除法化为乘法，再运用二次根式的乘法法则进行计算解：(1)原式30.(2)原式(5).知识点二二次根式的加减及混合运算精练版P22二次根式的加减运算，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式二次根式的混合运算：实质上就是有理数的混合运算与无理数的混合运算，是对前面学过的二次根式的乘除法及加减法的运算法则的综合运用例2计算：(1)2354；(2)()8(6)解析：(1)每个二次根式都是最简二次根式，可直接进行合并；(2)先化为最简二次根式，再合并同类二次根式解：(1)原式(25)(34)3.(2)原式63464()324323.易错点分配律使用不恰当，从而导致错误只有乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律，在运算中易片面追求简便而误用分配律例3计算：()解：()32.注意：乘法对加法的分配律可表示为a(bc)abac，在运用乘法对加法的分配律时，可将除法转化为乘法，如：(ab)d(ab)，而例题不属于(ab)d这种类型，故不能随意套用运算律章末知识汇总类型一实数的应用例1如图所示，一架梯子AB长25米，斜靠在
