1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OAOB），与y轴交于点C，且满足x12+x22x1x213（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作RtBCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若ECED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得SACQ2SAOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）E点坐标为（，）；（3）点Q的坐标为（3，12）或（2，3）理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2m，x
2、1x2（m+1），代入x12+x22x1x213，求出m12，m25根据OAOB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BECDCE利用SSS证明OBEOCE，得出BOECOE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，m），代入yx22x3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得SACQSACF由SACQ2SAOC，得出SACF2SAOC，那么AF2OA2，F（1，0）利用待定系数法求出直线AC的解析式为y3x3根据ACFQ，可设直
3、线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组，求解即可得出点Q的坐标【详解】（1）抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），x1+x2m，x1x2（m+1），x12+x22x1x213，（x1+x2）23x1x213，m2+3（m+1）13，即m2+3m100，解得m12，m25OAOB，抛物线的对称轴在y轴右侧，m2，抛物线的解析式为yx22x3；（2）连接BE、OE在RtBCD中，CBD90，ECED，BECDCE令yx22x30，解得x11，x23，
4、A（1，0），B（3，0），C（0，3），OBOC，又BECE，OEOE，OBEOCE（SSS），BOECOE，点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，m），将E（m，m）代入yx22x3，得mm22m3，解得m，点E在第四象限，E点坐标为（，）；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则SACQSACFSACQ2SAOC，SACF2SAOC，AF2OA2，F（1，0）A（1，0），C（0，3），直线AC的解析式为y3x3ACFQ，设直线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，得03+b，解得b3，直线FQ的解析式为y3x+3联立，解得，点Q的坐标为（3，12）或（2，3
5、）【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键2如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒过点P作PEx轴交抛物线于点M，交AC于点N （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线
6、的解析式；（2）当t为何值时，ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；yx22x3；（2）当t时，AC面积的最大值为1；（3）或【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya（x1）24，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据ACM的面积是AMN和CMN的面积和列出
7、用t表示的ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t时，AC面积的最大值为1；（3）当点在点上方时，由PCQ，PNCQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQCQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；当点在点下方时，NH=CQ=，NQCQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2CQ2，得：，解得t值解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya（x1）24，代入点C（3, 0），可得a1y（x1）24x22x3（2）P（，），将代入抛物线的解析式，y（x1）24，M（，），设直线AC的解析式为，将A（,），C（,）代入，得：，将代入得，N（，），MN
8、，当t时，AC面积的最大值为1（3）如图，当点在点上方时，（，），P（，），P（）CQ，又PNCQ，四边形PNCQ为平行四边形，当PQCQ时，四边形FECQ为菱形，PQ2PD2+DQ2 ，整理，得解得，（舍去）；如图当点在点下方时，NH=CQ=，NQCQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2CQ2，得：整理，得所以，（舍去）“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.3如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；（1）求二次函数的解析式；（2）连
9、接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由（4）若P为抛物线上一点，过P作PQBC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1，0）或（-，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）【解析】【
10、分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；（4）存在两种情况：如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；如图5，图3中的M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则CP2QBCO，P2为直线CM的抛物线的交点【详解】（1）二次函数y=ax2+bx+c的
11、图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）如图1，过N作NDy轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，解得：，直线AC的解析式为：y=x+2，D（n，n+2），ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，SANC=2-n2-2n=-n2-2n=-（n+1）2+1，当n=-1时，ANC的面积有最大值为1，此时N（
12、-1，2），（3）存在，分三种情况：如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；如图2，由勾股定理得：BC=，以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=，M4在x轴的负半轴上，M4（-，0），综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1，0）或（-，0）；（4）存在两种情况：如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1
13、QBC，此时，CP1QBCO，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称， P1（-1，2），如图5，由（3）知：当M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，过P2作P2QBC，此时，CP2QBCO，易得直线CM的解析式为：y=x+2，则，解得：P2（-，-），综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）【点睛】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解4已知抛物线.（1）求证：该抛物线与
14、x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果（3）根据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论【详解】（1）证明： 抛物线与x轴总有交点. （2）解：由（1
15、），根据求根公式可知，方程的两根为：即由题意，有 (3)解：令 x = 0， y = M（0，）由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（，0），它们关于直线的对称点分别为（0 ， 1）和（0， ），由题意，可得： 【点睛】本题考查对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算5如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D的坐标；（2）点在轴上，若以，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标；（3）过点作直线CD的垂线
16、，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为是否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）；点坐标为； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）满足条件的点有两个，其坐标分别为：（， ），（，）【解析】【分析】1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标(2)分两种情况进行讨论,当AE为一边时,AEPD,当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(，),分情况讨论,当P点在y轴右侧时,当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角
17、形的性质进行求解即可【详解】解：（1）抛物线经过，两点，解得：，抛物线解析式为：； 当时，解得：，（舍），即：点坐标为 （2），两点都在轴上，有两种可能：当为一边时，此时点与点重合（如图1），当为对角线时，点、点到直线（即轴）的距离相等，点的纵坐标为（如图2），把代入抛物线的解析式，得：，解得：，点的坐标为，综上所述：； ； （3）存在满足条件的点，显然点在直线下方，设直线交轴于，点的坐标为（，），当点在轴右侧时（如图3），又，,又，即，点的坐标为（，）， 当点在轴左侧时（如图4），此时，（），又，又，此时，点的坐标为（，） 综上所述，满足条件的点有两个，其坐标分别为：（，），（，）【点睛】此
18、题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大6我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a= ；当顶点坐标为（m，m），m0时，a 与m之间的关系式是 ；（2）继续探究，如果b0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，B3，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长。【答案】（1）1；
19、（2）（3）3，6，9【解析】解：（1）1；。（2）过原点的抛物线顶点在直线上，。b0，。（3）由（2）知，顶点在直线上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12）的抛物线为：，即。对于顶点在在直线上的一点Am（m，m）（m为正整数，且mn），依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），若点Dm在某一抛物线上，则，化简，得。m，n为正整数，且mn12，n=4，8，12，m=3，6，9。所有满足条件的正方形边长为3，6，9。（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有，即。当顶点坐标为（m，m），m0时，。（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，
20、将抛物线顶点坐标代入，化简即可用含k的代数式表示b。由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。（3）将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），将（2 m，m）代入抛物线求出m，n的关系，即可求解。7如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=xb与y轴交于点B；抛物线L：y=x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x00，点（x0，y1），（x0，y2）
21、，（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数【答案】（1）b=4，（2，2 ）；（2）1；（3）；（4）当b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个【解析】【分析】（1）求出A、B 的坐标，由AB=8，可求出b的值从而得到L的解析式，找出L的对称轴与a的交点即可；（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离，配方即可得出结论；（3）由題意得y1
22、+y2=2y3，进而有b+x0b=2（x02+bx0）解得x0的值，求出L与x轴右交点为D的坐标，即可得出结论；（4）当b=2019时，抛物线解析式L：y=x2+2019x直线解析式a：y=x2019，美点”总计4040个点，当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=x2+2019.5x，直线解析式a：y=x2019.5，“美点”共有1010个【详解】（1）当x=0吋，y=xb=b，B （0，b）AB=8，而A（0，b），b（b）=8，b=4，L：y=x2+4x，L的对称轴x=2，当x=2时，y=x4=2，L的对称轴与a的交点为（2，2 ）；（2）y=（x）2，L的顶点C（，）点C在l下方，C
23、与l的距离b（b2）2+11，点C与l距离的最大值为1；（3）y3是y1，y2的平均数，y1+y2=2y3，b+x0b=2（x02+bx0），解得：x0=0或x0=bx00，x0=b，对于L，当y=0吋，0=x2+bx，即0=x（xb），解得：x1=0，x2=bb0，右交点D（b，0），点（x0，0）与点D间的距离b（b）（4）当b=2019时，抛物线解析式L：y=x2+2019x，直线解析式a：y=x2019联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019，可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且1和2019之间（包括1和2019）共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部
24、分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2021个整数点，总计4042个点这两段图象交点有2个点重复，美点”的个数：40422=4040（个）；当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=x2+2019.5x，直线解析式a：y=x2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019.5，当x取整数时，在一次函数y=x2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个
25、数为1010个【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键8已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（4，）两点（1）求b，c的值（2）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况【答案】（1）；（2）公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标【详解】（1）把A（0，3），B（4，）分别代入y=x2+b
26、x+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=x2+x+3，=（）24（）3=0，所以二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有公共点，x2+x+3=0的解为：x1=2，x2=8，公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系9如图，已知抛物线（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且MAC为等腰三角形，请直
27、接写出所有符合条件的点M的坐标【答案】（1）；（2）P（1，0）；（3）【解析】试题分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：AB点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；（3）由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA=AC、MA=MC、AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解试题解析：（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线中，得：，解得：，故抛物线的解析式：（2）当P点在x轴上，P，A，
28、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x=1，故P（1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=1，设M（1，m），已知A（1，0）、C（0，3），则：=，=，=10；若MA=MC，则，得：=，解得：m=1；若MA=AC，则，得：=10，得：m=；若MC=AC，则，得：=10，得：，；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，）（1，1）（1，0）考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型10一次函数yx的图象如图所示，它与二次函数yax24axc的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），
29、与这个二次函数图象的对称轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式【答案】（1）点C（2，）；（2）yx2x； yx22x【解析】试题分析：（1）求得二次函数yax24axc对称轴为直线x2，把x2代入yx求得y=，即可得点C的坐标；（2）根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m） ，根据SACD3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入yax24axc得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.设A（
30、m，m）（m2），过点A作AECD于E，则AE2m，CEm，根据勾股定理用m表示出AC的长，根据ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入yax24axc即可求得函数表达式.试题解析：（1）yax24axca（x2）24ac二次函数图像的对称轴为直线x2当x2时，yx，C（2，）（2）点D与点C关于x轴对称，D（2，），CD3.设A（m，m） （m2），由SACD3，得3（2m）3，解得m0，A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，）得解得a，c0.yx2x.设A（m，m）（m2），过点A作AECD于E，则AE2m，CEm，AC（2m），CDAC，CD（2m）.由SACD10得（2m）210，解得m2或m6（舍去），m2A（2，），CD5.若a0，则点D在点C下方，D（2，），由A（2，）、D（2，）得解得yx2x3.若a0，则点D在点C上方，D（2，），由A（2，）、D（2，）得解得yx22x.考点：二次函数与一次函数的综合题.
