1、 函数周期性分类解析一定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、，则是以为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 若函数，则是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= (xR，
2、a0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11、函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数；12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15
3、、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR，T0),则f()=0.15 / 15函数的周期性练习题高一一选择题（共15小题）1定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2）且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A1BC1D2设偶函数f（x）对任意xR，都有f（x+3）=，且当x3，2时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A10BC10D3设偶函数f（x）对任意xR都有f（x）=且当x3，2时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A10B10CD4若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）f
4、（4）的值为（）A1B1C2D25已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x（0，2时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A2BC2D56设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A3B2C1D07已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2x3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A5.5B5.5C2.5D2.58奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（） A2BCD29定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x）=0，且周期是4
5、，若f（1）=5，则f（2015）（）A5B5C0D310f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=5，则f（f（5）=（） A5B CD511已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x5），且0x5时，f（x）=4x，则f（1003）=（） A1B0C1D212函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0x2时f（x）=x2x，则函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为（）A6B7C8D913已知函数f（x）是定义在（，+）上的奇函数，若对于任意的实数x0，都有f（x+2）=f（x），且当x0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）
6、+f（2015）+f（2016）的值为（）A1B2C2D114已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当 x0，3）时，f（x）=|2x24x+1|，则方程 f（x）=在3，4解的个数（）A4B8C9D1015已知最小正周期为2的函数f（x）在区间1，1上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A3B4C5D6二填空题（共10小题）16已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=17若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x0，1时，f（
7、x）=2x1，则函数g（x）=f（x）log5|x|的零点个数为18定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为19定义在R上的函数f （x）的图象关于点（，0）对称，且满足f （x）=f （x+），f （1）=1，f （0）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （2010）的值为=20定义在R上的函数f（x）满足：，当x（0，4）时，f（x）=x21，则f（2011）=21 定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）当3x1时，f（x）=（x+2）2，当1x3时，f（x）=x则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=22若函数f（x）是周期为5的奇
8、函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（8）f（14）=23设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）1，f（2014）=，则实数a的取值范围是24设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=25若f（x+2）=，则f（+2）f（14）=三解答题（共5小题）26设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f（x+2）=f（x），当x0，2时，f（x）=2xx2（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x2，4时，求f（x）的解析式；（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+f（2004）27函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x0，1时，f（x
9、）=3x1（1）求f（x）在1，0上的解析式；（2）求的值28已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x0，1时，f（x）=2x1（1）求f（x）在1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值29已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为3，且x0，1时，f（x）=x2x+2，求f（2014）的值30 定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2， 且当x（0，1）时，f（x）=2x+2x（1）求f（x）在1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（2，1）上的单调性，并给予证明函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1【解答】解：定义在R上的函
10、数f（x）满足f（x）=f（x），函数f（x）为奇函数又f（x2）=f（x+2）函数f（x）为周期为4是周期函数又log232log220log2164log2205f（log220）=f（log2204）=f（log2）=f（log2）=f（log2）又x（1，0）时，f（x）=2x+，f（log2）=1 故f（log220）=1 故选C2【解答】解：因为f（x+3）=，故有f（x+6）=f（x）函数f（x）是以6为周期的函数f（107.5）=f（617+5.5）=f（5.5）= 故选B3【解答】解：函数f（x）对任意xR都有f（x）=，f（x+3）=，则f（x+6）=f（x），即函数f（x
11、）的周期为6，f（119.5）=f（2060.5）=f（0.5）=，又偶函数f（x），当x3，2时，有f（x）=4x，f（119.5）=故选：C4【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（x）=f（x），f（1）=f（1），可得f（1）=f（1）=1，因为f（2）=f（2），可得f（2）=f（2）=3，f（8）=f（85）=f（3）=f（35）=f（2）=3，f（4）=f（45）=f（1）=1，f（8）f（4）=3（1）=2，故选C；5【解答】解：f（x）的周期为4，2015=45041，f（2015）=f（1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=f（1）=21log2
12、1=2，故选：A6【解答】解：由图象知f（1）=1，f（1）=2，f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，f（2014）+f（2015）=f（1）+f（1）=1+2=3，故选：A7【解答】解：，=f（x）f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）f（x）是定义在R上的偶函数f（5.5）=f（1.5）=f（1.5）=f（1.5+4）=f（2.5）当2x3，f（x）=xf（2.5）=2.5f（5.5）=2.5 故选D8【解答】解：f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），f（x）是以4为周期的奇函数，又，f（log354）=2，故选：A9【解
13、答】解：在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x）=0则：f（x）=f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（50441）=f（1）=f（1）=5 故选：B10【解答】解：f（x+2）=f（x+2+2）=f（x）f（x）是以4为周期的函数f（5）=f（1+4）=f（1）=5f（f（5）=f（5）=f（5+4）=f（1）又f（1）=f（f（5）= 故选B11【解答】解：f（x+5）=f（x5），f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=43=1， 故选：C12【解答】解：当0x2时，f（x）=x2x=0
14、解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间0，6上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为7，故选：B13【解答】解：f（x+2）=f（x），f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，f（x）为R上的奇函数，f（2015）=f（2015）=f（1）=1f（2014）+f（2015）+f（2016）=01+0=1故选A14【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3）时，f（x）=|2x24x+1|，在同一坐
15、标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间3，4上有10个交点（互不相同），所以方程 f（x）=在3，4解的个数是10个，故选：D15【解答】解：函数f（x）的最小正周期为2，f（x+2）=f（x），f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|作图如下：函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二填空题（共10小题）16【解答】解：对任意的x都有f（x+3）=，f（x+6）=f（x），函数f（x）为周期函数，且周期T=6，f（2014）=f（3356+4）=f（4）=f（1+3）=5 故答案为：517
16、【解答】解：当x0，1时，f（x）=2x1，函数y=f（x）的周期为2，x1，0时，f（x）=2x1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x5时，y=log5|x|1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x0上有4个交点，由对称性知它们在x0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18【解答】解：由分段函数可知，当x0时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x+1）=f（x）f（x1）=f（x1）f（x2）f（x1），f（x+1）=f（x2），即f（x+
17、3）=f（x），f（x+6）=f（x），即当x0时，函数的周期是6f（2013）=f（3356+3）=f（3）=f（0）=log2（80）=log28=3，故答案为：319【解答】解：由f （x）=f （x+）得f （x+3）=f（x+）+=f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（x，y）即若y=f （x），则必y=f （x），或y=f （x）而已知f （x）=f （x+），故f （x）=f （x+），今以x代x+，得f （x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数于是有：f （1）=f （1
18、）=1；f （2）=f （23）=f （1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=2；f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0而2010=3670，于是f （2010）=0；故答案为020【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有 ，则令x=x+2代入得，f（x+4）=f（x），函数f（x）是周期函数且T=4，f（2011）=f（4502+3）=f（3），当x（0，4）时，f（x）=x21，f（3）=8即f（2011）=8故答案为：821【解答】解：当3x1时，f（x）=（x+2）2，f（3）=1，f（2）=0，当1x3时，f（x）=x，f（1）=1，f（0
19、）=0，f（1）=1，f（2）=2，又f（x+6）=f（x）故f（3）=1，f（4）=0，f（5）=1，f（6）=0，又2012=3356+2，故f（1）+f（2）+f（3）+f（2 012）=335f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822【解答】解：由题意可得，f（8）=f（810）=f（2）=f（2）=2，f（14）=f（1415）=f（1）=f（1）=1，故有f（8）f（14）=2（1）=1，故答案为123【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（x）=f（
20、x），f（2014）=f（36722）=f（2）=f（2），又f（2）1，f（2014）1，即1，即为0，即有（3a2）（a+1）0，解得，1a，故答案为：24【解答】解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1 ）=，故答案为：25【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6）=sin=，同理可得f（14）=f（16+2）=log216=4，f（+2）f（14）=4=，故答案为：三解答题（共5小题）26【解答】（1）证明：f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x2，0
21、时，x0，2，由已知得f（x）=2（x）（x）2=2xx2，又f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=2xx2，f（x）=x2+2x，又当x2，4时，x42，0，f（x4）=（x4）2+2（x4），又f（x）是周期为4的周期函数，f（x）=f（x4）=（x4）2+2（x4）=x26x+8，从而求得x2，4时，f（x）=x26x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=1，又f（x）是周期为4的周期函数，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0f（0）+f（1
22、）+f（2）+f（2 004）=0+f（2004）=027【解答】解：（1）当x1，0时，x0，1，又f（x）是偶函数则，x1，0（2），1log320，1，即28【解答】解：（1）令x1，0），则x（0，1，f（x）=2x1又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），f（x）=f（x）=2x1，（2）f（x+4）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数，29【解答】解：函数f（x）的周期为3，f（2014）=f（67131）=f（1），函数f（x）是奇函数，f（1）=f（1）=（121+2）=2，f（2014）=230【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（1）=f（1+2）=f（1），且f（1）=f（1），于是f（1）=0（2分）当x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=（2x+2x）=2x2x（5分）所以f（x）在1，0）上的解析式为（7分）（2）f（x）在（2，1）上是单调增函数（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性设0x1x21，则因为0x1x21，所以，于是，从而f（x1）f（x2）0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（2，1）上亦为单调增函数（14分）
