1、2.7 正多边形与圆 第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.了解正多边形与圆的有关概念；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形(重点)导入新课导入新课情境引入问题问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？它们的各边都相等，各内角也相等.正多边形与圆的关系一讲授新课讲授新课各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形.概念学习1.如图，矩形ABCD是正四边形吗？（）2.如图，菱形ABCD是正四边形吗？（）图 图（理由：AB BC,CD DA.)(理由：A
2、 B，C D.)判一判正多边形各边相等各角相等缺一不可探究归纳问 题 2 如 图，把 O 分 成 相 等 的 5 段 弧，即AB=BC=CD=DE=EA，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？ABCDEO同理解：解：AB=BC=CD=DE=EA.B=C=D=E.A=B.五边形ABCDE是正五边形.AB=BC=CD=DE=EA BCE=CDA=3AB 弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）问题3 将圆n(n3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？弧相等 将一个圆n(n3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形
3、的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.归纳圆内接正多边形的有关概念及性质二OABCDEFGHRr正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距.正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角.问题1中心角ABCDEFO半径R边心距r中心 正多边 形边数内角中心角外角346n60 120 120 90 90 90 120 60 60(2)180nn360n360n正多边形的外角=中心角练一练完成下面的表格：想一想问题4 正n边形的中心角怎么计算？CDOBEFAP360n问题5 正n边形的边长a，半
4、径R，边心距r之间有什么关系？aRr222().2aRr问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？11.22Snarlr其中l为正n边形的周长.圆内接正多边形的有关计算三 例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).CDOEFAP抽象成典例精析B利用勾股定理,可得边心距22422 3.r 亭子地基的面积4mOABCDEFM r解：过点O作OMBC于M.21124 2 341.6(m).22Sl r 在RtOMB中,OB4,MB4222BC，亭子地基的周长l=64=24(m)2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDE
5、FRM r圆内接正多边形的辅助线方法归纳O边心距r边长一半半径RCM中心角一半1.如图，正方形ABCD是 O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是_度练一练452.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为_解：连接AO，BO，CO，AC，正八边形ABCDEFGH的半径为2，AO=BO=CO=2，AOB=BOC=，AOC=90，AC=，此时AC与BO垂直，S四边形AOCB=，正八边形面积为：360=4582 211BO AC=2 2 2=2 222 3602 2=8 2908 2问题7 如何做一个正多边形呢？(提示：圆与多边形的关系)只要将一个圆n等分，
6、就可以得到正n边形.问题8 如何将圆n等分呢？用量角器将圆心角n等分，就可以将圆n等分.正多边形的画法四例2 用量角器画 O的内接正六边形.方法归纳 用量角器画正n边形的一般方法：（1）作圆；（2）用量角器作 的中心角，得圆的n等分点；（3）依次连接各等分点，得圆的内接正n边形.分析：关键是用量角器画60的中心角.60典例精析思考 还有其它的方法可以作出 O的内接正六边形吗？360n例3 已知 O的半径为r，求作 O的内接正六边形.分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 _ ，所以正六边形的边长与圆的半径 _ .因此，在半径为r的圆上依次截取等于 的弦，即可将圆六等分.60相等rABCDEF作
7、法：（1）在 O上以任意一点A为圆心、以r为半径画弧，连续截取点B、C、D、E、F；（2）依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，则六边形ABCDEF即为所求.作法作法：（：（1）作直径）作直径AC与与BD，使，使ACBD.（2）依次连接）依次连接AB、BC、CD、DA.则四则四边形边形ABCD就是所求作的就是所求作的 O的内接正方的内接正方形形.ABCD方法归纳 圆的内接正多边形有两种作法：1.用量角器作图；2.尺规作图.分析：因为正方形的中心角为分析：因为正方形的中心角为 ，所以只要作，所以只要作 两条互相两条互相 的直径，就可将的直径，就可将 O四等分四等分.例4 已知 O的半径为r
8、，求作 O的内接正方形.90垂直垂直问题问题9 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴对称轴.正多边形的对称性五正三角形（奇数边）正方形（偶数边）正五边形（奇数边）正六边形（奇数边）讨论与归纳正三角形（奇数边）正方形（偶数边）正五边形（奇数边）正六边形（奇数边）1.正n边形 _ 轴对称图形，共有 _ 条对称轴；2.n为奇数时，n条对称轴过中心与 _；(如上图中蓝色直线)3.n为为偶数时，n条对称轴中：n/2条过中心与 _；(如上图中蓝色直线)n/2条过中心
9、与边的 _ 点.(如上图中红色直线)是是n顶点顶点顶点顶点中中问题10 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？问题11 如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？OOOO归纳总结 正n边形(n为偶数)是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.正三角正三角形形正方形正方形正五边正五边形形正六边正六边形形是是 否否 中中 心心对对 称称 图图 形形是是 否否 旋旋 转转对对 称称 图图 形形 绕绕 中中 心心 旋旋 转转 最最 少少 角角 度度 数数 120907260正多边形边数半径 边长边心距周长面积34162 331.填表216 33 32284
10、22126 32.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .3当堂练习当堂练习3.已知一个正多边形的每个内角均为108，则它的中心角为_度724.下列说法正确的是（）A.各边都相等的多边形是正多边形B.一个圆有且只有一个内接正多边形C.圆内接正四边形的边长等于半径D.圆内接正n边形的中心角度数为 o360nD6.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径4 25.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 _度.（不取近似值）41287正多边形和圆正多边形和圆 的 关 系正多边形的有 关 概 念正多边形的有 关 计 算添加辅助线的方法：连半径，作边心距课堂小结课堂小结中心半径边心距中心角正n边形各顶点等分其外接圆.正多边形的画法1.用量角器作图2.尺规作图
