1、圆的垂径定理应用精选一、双基导学：1、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。垂径定理推论的规律：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：垂直于弦，过圆心，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。（当以、为题设时，“弦”不能是直径。）2、运用垂径定理的注意事项： （1）牢记基本图形及变式图形（如右图） （2）半径、弦长、弦心距和弓形高h四者的关系是：d+h=r；r2=d2+()2当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解。 (3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立。 (4)常用辅助线：连接与弦的端点、过圆心作弦的垂线。二、垂经定
2、理的应用1、利用平分弦，解有关线段问题（1）证明线段间的关系（相等、和、差、倍、分等）例：如图，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由 图2ODABC图3ODABC（2）求半径例.高速公路的隧道和桥梁最多图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，求圆的半径析解：由垂径定理可知AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设半径OA=x米，则OD=CDOC=7x（米）.因为ODAB,所以AD=5（米）.在RtAOD中，因为，所以，解这个方程得：（3）求弦长例.工程
3、上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图4所示，则这个小孔的直径mmBA8mm图4图5 图6 析解：要求小孔的直径，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图5，设圆心为O，连接OA,过点O作OCAB,交劣弧于D，C为垂足，则AC=CB，OA=OD=mm，OC=85=3mm，在RtAOC中，AC=，所以AB=2AC=24=8(mm).（4）、求弦心距例.如图6，O的半径为5，弦，于，则的长等于 析解：连接OA,因为于，所以由垂径定理可得AC=.在RtAOC中，由勾股定理可得OC=.2、利用垂径定理，构造直角三角形，利
4、用勾股定理解题例：有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB宽24m，拱顶高出水面8m.。现有一艘高出水面部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为8m、高为7m。此船能顺利通过这座桥吗? 图8例.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_m析解：由垂径定理可得AD=.在RtAOC中，OD=,所以CD=OCOD=106=4(m).3、利用弦所对的弧等，进行角的计算与证明例： 如图，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD40。求DCF的度数。 CODAB图10 例：.如图10，在O中，AB为O的直径，弦CDAB，AOC=60，则B= 析解：因为CDAB，AB为直径，所以由垂径定理可知，利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得：B=.4、探究线段的最小值例6.如图7，O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm图7析解：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB的弦心距.过点O作OCAB, C为垂足，则AC=.在RtAOC中，由勾股定理可得OC=.故点P到圆心O的最短距离为6cm
