1、第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答第五节第五节 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第四节第四节 按应力求解空间问题按应力求解空间问题第三节第三节 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力第二节第二节 半半空间体受重力及均布压力空间体受重力及均布压力第一节第一节 按位移求解空间问题按位移求解空间问题第六节第六节 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 第七节第七节 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 第八节第八节 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 例题例题习题的提示和答案习题的提示和答案教学参考资料教学参考资料第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 1.取u,v,w为基本未
2、知函数。按位移求解按位移求解 2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即81 按位移求解空间问题按位移求解空间问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中体积应变 )(),;,(,12,211awvuzyxzvywExuEyzx。zwyvxu按位移求解按位移求解 3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中拉普拉斯算子,0211122xfuxE)(),;,(bwvuzyx。2222222zyxV V内基本方
3、程内基本方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 4.将式 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：yuxvmxulE2211。xsfzuxwn2),;,(wvuzyx)(c)(上在s。uus)()(dsu上在)(a边界条件 位移边界条件仍为:第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）上的应力边界条件(c),（3）上的位移边界条件(d)。归结：按位移求解空间问题，位移 u,v,w 必须满足：sus按位移求解按位移求解这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b),第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答优点 在空间问题中，按位移求解方法尤为要：3.
4、近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 按位移求解空间轴对称问题 在柱坐标 中，可以相似地导出：位移 应满足：),(zzuu,)(,0211)1(2,021112222efuzEfuuEzz轴对称问题（1）V内的平衡微分方程，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 轴对称的拉普拉斯算子为。1222SuS其中体积应变;zuuuz轴对称问题（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1、试导出空间问题中上的
5、应力边界条件 （8-4）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4），并将 上的应力边界条件用位移 来表示。Sfs)(思考题s第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 设有半空间体，受自重体力 及边界的均布压力q。gfz82 半半空间体受重力空间体受重力 及均布压力及均布压力 问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 采用按位移求解：,0u,0v)(azww。考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设 位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常
6、微分方程，。0dddd211122222gzwzwE)(122112bBAzEw。求解方程积分两次,得第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,1Azgyx,Azgz。0 xyzxyz)(c相应的应力为求解方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在z=0的负z面，应力边界条件为)()(,0,00dqzzzzyzx。)(0),(,1egzqgzqxyzxyzzyx。边界条件由式(d)求出A，得应力解为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答位移解为)(122112fBgqzEgw。0)(hzw其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由 可以确定B。若为半无限大
7、空间体，则没有约束条件可以确定B；第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即。1zyzx)(g侧压力系数第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 当 时，侧向变形最大，侧向压力也最大，说明物体的刚度极小，接近于流体。当 时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。21。zyx0讨论：讨论：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？
8、再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学 习指导”和第二章教学参考资料）。3.试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习 指导”）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 设有半空间体，在o点受有法向集中力F。本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，而位移 ,而 和 应满足:,0u uzu 8-3半空间体在边界上受半空间体在边界上受 法向集中力法向集中力 问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）平衡微分方程（书中（8-4）)(,0211,0211222auzuuz。zuuu
9、z求解条件其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为。00,0zz,00,0zz,0zF;0d20Fzzz)(c)(b（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,21212zRRzERFu;122122RzERFuz 布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为)(d 由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,3212322RzzRRRF,221zRRRzRF,2353RFzz。5
10、223RzFz。2122zR其中)(e第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 应力特征：;0,应力R。应力,0Rzz 和)(120fEFuzz。（3）水平截面上的全应力，指向F作用点 o。边界面上任一点的沉陷，（2）水平截面上的应力 与弹性常 数无关。（1）当 当第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 若单位力均匀分布在 的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为 ，对 积分，便得到书上公式。baybaFdd1dy,分布力第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1.试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）2.试由拉甫位移函数的表达式(8-
11、14)，导出式(8-15)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）思考题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答84按应力求解空间问题按应力求解空间问题 按应力求解空间问题的方法：按应力求解空间问题的方法：按应力求解形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变 或应力表示，其中会出现待定的积分函 数。2.其他未知函数用应力表示:1.取x yz为基本未知函数。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为 应力边界条件 的问题。)(SS 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3.在V内导出
12、求应力的方程:;,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz从几何方程消去位移，导出六个相容方程：（2）相容方程（六个）:（1）平衡微分方程（三个）。V内方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12）。4.假设全部为应力边界条件，在 上，应满足书中式（7-5）。SS 应力边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）V内的三个平衡微分方程；SS 其中(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)
13、是位移连续条件。按应力求解归纳为按应力求解归纳为,应力分量应满足：按应力求解归纳（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的三个应力边界条件（假设 全部为应力边界条件）；（2）V内的六个相容方程；第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导出相容方程。对于相容方程说明如下：相容方程说明所以相容方程是位移的连续性条件。（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物体保持连续；形变不满足 相容方程 对应的位移不存在 物 体不保持连续。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可 参见有关书籍。
14、)(,0dd22aBxAfxf的解为)(0dd233bcxBxAfxf。的解为例如：（4）相容方程必须为六个。相容方程和平 衡微分方程的数目大于未知函数的数 目，是由于微分方程提高阶数所需要 的。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答式 是由方程 提高阶数得出的，但式 增加的解 不是原式 的解。几何 方程中，形变为 0 阶导数；但在相容方程中形变以 2 阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。2cx)(b)(a)(b)(a第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。
15、应力函数 应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题思考题1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以 导出平面应变问题的相容方程，却不能直 接导出平面应力问题的相容方程，为什么？(见例题4)2、在表面均受到法向压力q 作用的任意形状的 空间体，其应力分量是 试证明这些应力分量是该 问题之解（对于多连体还应满足位移单值条 件）。,qzyx zxyz。0 xy第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题也是空间问题的一个特例。8-5等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转根据扭转问题的特性来简化空间问题，就
16、建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。扭转问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题扭转问题的提出:;0zyxfff,0zyxfff（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上下端面的面力，合成一对力 矩 M。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 引用按应力求解空间问题的方法应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及 上的应力边界条件。SS 按应力求解第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因此只有 ，代入3个平衡微分方程得 1.由扭转问题特性,上下端面（）上无面力 设 侧面无任何面力，面z；0z,zfzyzx,。0 xyzyx
17、设,0 xzx。0yxzyzx,0yzy)(a,0zyxfff第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由式(a)前两式，得 仅为（x,y）的 函数；第三式成为)(byxzyzx。)(,cxyyxzyzx,又由偏导数的相容性，存在一个应力函数,第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数 表示为),(yx,yzx。xzy)(d第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此得出扭转应力函数 应满足的方程：。02zy,02zx,02x 2.将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为代入（d），得,02y)(,2eC C为待定
18、常数。相容方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答而 得3.考察侧面边界条件前两式自然满足，第三式成为)0,0(zyxfffn。0szyzxml,ddsyl,ddsxm。0ddddddSsxxsyyS边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在S上为常数。又由于 中常数不影响应力，得 的侧面边界条件为)(0fs。,0,zyxFFF,0,yxMM。MMz 考察上端面（z=0）的边界条件。在小边界z=0上，应用圣维南原理，有第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在z=0负面上，只有 。条件自然满足，而其余三个条件为,0z0,yxzMMF,0yF,0dd0Azzxyx,0zM。
19、MyxxyAzzyzxdd0,0 xF,0dd0yxAzzy)(gzyzx,第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 将式 代入，并应用条件 ，经过运算（见书P.168），式 的前两式自然满足，而由后一式得出关于 的端面边界条件为。MyxAdd)(h)(d)(f)(g第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题归纳为求一个扭转应力函数 ，应满足：;02 。0s。MyxAdd归纳（1）A内方程（2）侧面S上边界条件（3）端面上边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 注解：yx,（3）扭转问题中 的变量为x,y，仍属 于二维问题。（2）空间问题按应力求解的全部条件均已 考虑并
20、满足。（1）另一端面上的边界条件自然满足。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 求位移分量：根据上面的应力，代入物理方程，可以求出对应的形变；再代入几何方程，并进行积分，求出对应的位移为,Kyzu,Kxzv)(i其中 ，为单位杆件长度的扭角。dzdK 求位移第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答)(22jGK。)(2kGKC。并且还得出对比式（e），得出常数C的物理意义，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题1.试考虑：上面建立的分析方法是精确 的理论还是近似的理论，其中提出的 一些假设是否完全成立？第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答86扭转问题的薄膜比拟扭转问题的
21、薄膜比拟 对于物理现象不同，但数学描述相同的问题，可以应用比拟方法来求解。薄膜问题薄膜问题 设有一薄膜，张在水平边界上，并受到微小的气体压力q。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答薄膜斜率在 面分别为薄膜斜率在 面分别为 薄膜只能承受均匀拉力 ，不能承受弯矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元abcd,各边上的作用力均为 ，但薄膜的斜率不同。TFxy;d,xxzzxxz。yyzzyyzd,TF薄膜问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答平衡条件：，0zFxxzzxyFxzyFTTddd。0dddddyxqyyzzxxFyzxFTT第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答得出薄膜垂
22、度z的方程：)(2aFqzT。)(0bzs。)(dd22cyxzVA。)(,dyzixziyx。薄膜在x，y向斜率为 薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍 体积是薄膜的边界条件为薄膜比拟第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题 薄膜问题未知函数A内方程从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学方程相同，比较如下：)(扭转应力函数)(薄膜垂度zGK22TFqz2 0s 0sz边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答边界条件切应力/斜率MyxAdd2VyxzA2dd2yzxyziyxzyxzix扭转问题 薄膜问题于是求扭转应力函数 的问题，可以化为求薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2
23、V，则,yzxi,xzyi。TFqGK 2第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 薄膜比拟的应用：薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,提出扭转应力函数的 假设。（2）通过薄膜比拟,直接求解薄壁杆件的 扭转问题。（1）通过薄膜比拟试验,求解扭转问题。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题已归结为求扭转应力函数 ，应满足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,2C ,0s。MyxAdd2)(a)(b)(c87 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 求的条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 式 中的C为常数，其特解十分简单；而式 的通解为调和函数。C可以由式 求出。)(a)
24、(c)(a第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。1.为了满足式(b)，可取 )(,12222dbyaxm。012222sbyax在椭圆边界上椭圆截面杆第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e)代入式(c)，求出)()(22222eCbabam。)(.23322fbaMbaC从而得出第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答求出单位长度杆件的扭角：,12222byaxabM,23yabMyzx。xbaMxzy32)(g。GbaMbaGCK33222第八章第八章 空间问题的解答空间
25、问题的解答 z 向的位移为可见横截面不保持为平面。只有当a=b 的圆截面时，w=0，才保持为平面。Mxybabaw3322第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答对于 的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,(1)在边界条件中，长边上应严格满足)(ba ba )(;02aby88矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 而短边(x=b)是 次要的，可忽略。狭矩形截面杆1.狭矩形截面杆 的扭转 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在方程中，应主要考虑 y 向的导数，而可忽略x向的导数，C2)(dd22bCy。)(b。42221byC)(a由式 和 ，可得可简化为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的
26、解答（3）将 代入 求出 狭矩形杆的解答为,dd2MyxA)(c.63abMC.432231ybabM)(d1第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,63yabMzy;0zx,32maxabM。GabMK33)(f)(ba)(.,12gyxF矩形截面杆2.一般矩形截面杆 的扭转 以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 应满足条件是2,022,02s。MyxAdd22;02 F,02byF;432232ybabMFax。MyxFAdd21)(h由上式可导出F应满足的条件:第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 从式（h）可解出F
27、，再由式（g）得 ，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。2第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3.薄壁杆件的扭转),(ba)(f。GabMK33,32maxabM（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同 时，直线形和曲线形截面的薄膜是相 似的，它们的 相同。K,（1）薄壁杆件截面都是狭矩形 可以直接引用式 的解答。薄壁杆件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）对于若干个狭矩形组成的构件，),2,1(33iGbaMKiii。iiiibaGKMM33b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，由此解出,33iiiiiba
28、Mb)(33ibaGMKiii。a.各个截面的扭角相同，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（4）闭口薄壁杆件的扭转 设闭口薄壁杆的厚度为 ，中心线长为s，中心线包围的面积为A，应用薄膜比拟，取外边界 上，则内边界上的 不能再任意选择，应取 ，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟：1s;01s hs2第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,22AhVM。AMh2扭矩解出切应力yxozxzoyqTFTF hs(b)开口薄壁杆件(a)闭口薄壁杆件,h第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此得出切应力)(2jAM。2s,sindqAsFsThsin。TsFqdsAh其中
29、 ，代入得 为了求扭角K,可考虑内边界 上无重钢板的平衡条件：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由薄膜比拟，代入上式，求出,2GKFqT)(d42ksGAMKs。GAMsK24当薄壁杆厚度 为常量时，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题 试比较：矩形中心线的边长为ab，厚度为的矩形的闭口薄壁杆件,和矩形开口薄壁件的切应力和扭角。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答例题1例题2例题3例题4例题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 解：引用“弹性力学简明教程学习指导”8-2中关于空间位移势函数 的解法，应满足泊松方程 例题1 试证明位移势函数能解任意弹性体受均布压力
30、q的问题。),(222zyxAC2及边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答取 满足泊松方程。由式（8-8）从 求出应力分量,在边界面上，设法线的方向余弦为l,m,n,则面力分量是将应力代入三个边界条件，并求出)(222zyxA,2Azyx。0 xyzxyz,lqfx,mqfy。nqfz。qA2第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此，得解答 对于多连体，还应从应力求出位移，并校核多连体中的位移单值条件是否满足。显然，位移单值条件是满足的。,qzyx。0 xyzxyz第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 设有无限大弹性体（空间体），在体内一小洞中受有集中力F 的作用，如
31、图(a)，试用拉甫位移函数 求解应力分量，其中 AR。2122)(zRRzFoz)(aozzz)(b例题2第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答及边界条件。将代入方程，显然是满足的。再将代入应力公式（8-16），求出应力分量。).1(0222224z其中 解：引用“弹性力学简明教程学习指导”8-3中关于拉甫位移函数 的 解法，应满足重调和方程 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 为了校核小洞中受集中力的边界条件，在点o附近切出一薄板，图(b)，应用圣维南原理来考虑此薄板的平衡条件。由于应力分量都是轴对称的，且 对于z=0的面又是反对称的，只须考虑下列平衡条件：zz z,02d2)(
32、0Fzzz第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答而,3)21(533RzRzAz。)1(8FA从而得出各应力分量为代入后得第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,)21()1(83RzF,3)21()1(8533RzRzFz。3)21()1(8523RzRFz,3)21()1(8523RzRzF第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中 而 均为调和函数，满足),(32101zyxxu),(32102zyxyv),(32103zyxzw,)1(413210,。0,0,0,032221202 例题3 用代入法证明，下列的位移表达式是无体力时平衡微分方程的解答，第八章第八章 空间问题的
33、解答空间问题的解答由于 都是调和函数，代入无体力的平衡方程均能满足。H.Neuber等曾用这一形式的解答求出一批回转体的解。解：当无体力时，平衡微分方程是),(,0)211()1(22zyxuxE。zwyvxu3210,其中体积应变第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答例题4 平面应力解答的近似性试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答解：（1）对于平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面，可以推论出，第八章
34、第八章 空间问题的解答空间问题的解答从式 可以得出，在式 中，表示等式左边的物理量仅为x,y的函数。),(,0,0yxfxyyxzyzxz)(b)()(ba、。),()(),(,yxfyxfyxzxyyx)(c)()()(cba、),(yxf);,(,0yxfvuw)(a第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 将式 代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式 代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11）得出)()()(cba、)(b,22222yxxyxyyx)(d而其余五式全部自然
35、满足。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。（2）对于平面应力问题，在很薄的板，只受x,y方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界条件,0),(2zzyzxz第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 假设在弹性体内因此，只有平面应力 和 ，并进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出。0),(zyzxzyx,xy。),(),(yxfxyyx)(e)(f),(),(yxfxyyx)(g。及),()(yxfEyxz第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答将式 代入空间问题的
36、相容方程（书中式 ），除了得出式 外，还得出)()()(gfe、)118()108(、)(d。0,0,022222yxxyzzz)(h第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在一般的情况下，由式 得出的 显然不能满足相容方程 。由此可见，平面应力问题的假设 不能保证所有的相容条件都得到满足。因此，平面应力问题的理论是近似性的。)(g),(yxfz)(h),(),(,0(yxfxyyxzyzxz第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 但是Clebsch,A.证明，在条件 下从空间问题理论得出满足所有相容方程的精确解答，是一般平面应力问题（假设 的解答，再补充一个沿板厚抛物线变化的修正解（
37、与 成正比）。对于充分薄的板，)(e),(),(,0),(yxfxyyxzyzxz 和2z第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 因此，平面应力问题的解答，显然不能满足所有的相容条件，但对薄板却仍是一个很好的近似解。读者可参阅 8-4的详细证明。11修正解远小于第一部分平面应力问题的解，且只影响边界附近的局部区域。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 8-2提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设 若为多连体，还应满足位移单值条件。8-1提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设)。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l
38、,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。第八章第八章 习题的提示和答案习题的提示和答案ss),ss第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为 l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力q 作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。8-3见8-2的讨论。8-4从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 8-5 为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的，并作如下代换 Zh，R2
39、a2，FdFq2dp,然后从oa 对 积分。8-6 引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是 zu。FEuzz201)(（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）的坐标系，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 代入并积分，,22yx yxqFddd,)d42ln()1(dd)1(dd)1(2/2/2222222/2/2/2/2222/2/2/2/2220yyyaayaEqyxxyEqyxEyxqbbbbaabbaa 再应用部分积分得到，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。)harsinharsin()1(220abababEq a/2 a/2 b/2 b/2o22yx dx
40、dyxyyxba22yx dydx(a)(b)第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。)sinharsinhar()1(dd)1(2002220abababEqyxyxEqab （2）求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答8-8 题中 能满足两个圆弧处的边界条件 。然后，相似于上题进行求式 解。的两倍。8-7 题中 已满足边界条件 再由 便可求出切应力及扭角等。,0)(s,222AMdxdyGK及BA为,0)(s第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答8-9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解 答，和从矩形截面杆导出正方形截面 杆的解答；
41、并由 ，得出 代入后进行比较即可得出。8-10 参见8-8的讨论。22raar第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 （一）本章的学习重点及要求 1、本章介绍空间问题的位移法和应力法，其思路和步骤与平面问题相似。读者可对照平面问题来学习和理解。2、空间问题的位移法比应力法尤为重要。一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如第八章第八章 教学参考资料教学参考资料第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。在近似解法中，位移法得到广泛的应用。3、为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力
42、函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为空间问题的一般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 4、扭转问题 是空间问题中的一个专门问题。扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数（x,y）是x,y坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 （二）本章的内容提要 1.在直角坐标系（x,y,z）中，按位移求解一般的空间问题时，取u,v,w为基本未知函
43、数，它们应满足 （1）用位移表示的平衡微分方程，,0211122xfuxE),;,(wvuzyx第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答,zwyvxu。2222222zyxyuxvmxulE2211。xsfzuxwn2),;,(wvuzyx)(上在S （2）用位移表示的应力边界条件，其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 2.在柱坐标系 中，按位移求解空间轴对称问题时，取 为基本未知函数，它们仅为 的函数，应满足)(上在uS),(wvuuus。),(zzuu,z,02111222fuuE。0211122zzfuzE （1）用位移表示的平衡微分方程，（3）位移边界条件第八章第八章 空间
44、问题的解答空间问题的解答 3.在直角坐标系 中，按应力求解一般的空间问题时，取 为基本未知函数，它们应满足),(zyxxyzxyzzyx,),(0zyxfzyxxzxyxx。（1）区域v内的平衡微分方程，（2）用位移表示的应力边界条件。（3）位移边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 （3）在边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件 ），),)(1()1(,)2(11)1(22222zfyfzyzfyfxfxyzyzzyxx),(zyx。zyxSS),()(zyxfnmlxSzxyxx。其中 （2）区域V内的相容方程，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 （4）若为多连
45、体，还应满足位移单值条件。4.对于常截面杆的扭转问题，可归结为求解一个扭转应力函数 它应满（1）截面区域A内的泊松方程，),(yx。GK22,0)(S。MdxdyA2 式中K为单位长度柱体的扭角。切应力公式是（2）边界条件，。xyzyzx,第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 以下（三）（七）均参见“弹性力学简明教程学习指导”（三）空间问题的位移势函数和位移函数 按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。1.用位移势函数求
46、解空间问题假设位移u,v,w 是有势的函数，它们可以第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答),(1zyxxEu。),(02zyxx。)(a,2C)(b式(a)可以归并为将上式代入用位移表示的平衡微分方程（82），若不计体力，则得分别用位移势函数(x,y,z)的导数来表示，即第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 求解的方法是：（1）由 求出 势函数；（2）由 求位移（式（86）及应力（式（88）；,02)78(),(,222zyxzyxyzx。)88(02将式（86）代入应力公式（81），则应力也可以用位移势函数表示为 其中C为任意常数。若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，为调和函数，
47、即第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）使位移和应力满足 和 上的边界条件。位移势函数的局限性是，是人为假定的，且体积应变 因此，它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形（如纯剪切问题）。2、用伽辽金位移函数求解空间问题 伽辽金假定位移可以表示为如下形式，uSS ,02第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。)(121),(121),(121222zyxxEwzyxyEvzyxxEu其中,均为x,y,z函数。由于(x,y,z)具有对等性，上式也用对等的公式表示。将位移表达式（89）代入用位移表示的平衡微分方程(82)，若不计体力，则得 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答)
48、108(0,0,0444。式（810）是,应满足的方程，可见它们都是重调和函数。应力也可以用位移函数来表示。于是，求解空间问题的位移u,v,w就化为求解,函数的问题，它们都应满足重调和方程（810），并在边界上满足相应的边界条件。引用这种位移函数，其未知函第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答数的数目并没有减少，但使它们应满足的方程简化了。力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答，有时还采用二者组合的方式来解。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。zEuEuz1,1)118(。0,022z代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程（书中式（a），若不计体力，得 （
49、四）空间轴对称问题的位移势函数和位移函数 1、对于空间轴对称问题，当不计体力时，位移分量可以用位移势能数(,z)表示为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。22222210z，)128(。zzz22222,1,相应于式（811）的应力分量为)138(这两式可归结为2C，若取C0，则位移势函数应满足拉普拉斯方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。02 2.引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题 拉甫引用位移函数（,z）来表示位移分量，于是，按位移势函数求解时，应满足拉普拉斯方程（812），并在边界上满足位移或应力的边界条件。采用位移势函数的局限性，如同平面问题中的位移势函数一样，仍然是
50、体积应变为零，即 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。)1(21,12222zEuzEuz)148(。04)158(代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，两式都得出将式（814）代入几何和物理方程，便可得出应力用表示的表达式第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答。)1(,)2(,1,2222222222zzzzzz)168(第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 于是，对于空间轴对称问题，可以引用位移函数来进行求解。应满足重调和方程（815），并在边界上满足位移或应力边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答),(1zyx),(2zyx，zyx),(3)3,2
