1、一、选择题1设向量，满足，则的最小值是（ ）ABCD12若平面向量与的夹角为，则向量的模为（ ）ABCD3若是夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（ ）ABCD4已知非零向量，夹角为 ，且，,则等于（ ）ABCD5已知，是平面内两两互不相等的向量，且对任意的 及，则最大值为（ ）A3B4C5D66已知，是单位向量，0若向量满足|1，则|的最大值为（）ABCD7已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是( )ABCD8在空间直角坐标系中，点在直线上，则 （ ）ABCD9设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，的最小值为1，则（ ）ABC2D410已知向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
2、ABCD11已知中，且，点，是边的两个三等分点，则（ ）A3B4C5D612设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）ABCD1二、填空题13已知向量，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是_.14如图，已知为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的最小值为_15设，若平面上点满足对任意的，的最小值为_.16如图，正方形的边长为2，是以为直径的半圆弧上一点，则的最大值为_17已知正方形的边长为4，若，则的值为_.18已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是_19已知的三边长，P为边上任意一点，则的最大值为_.20已知平面向量，则_.三、解答题21在
3、中，D为边的中点，M为中线的中点.（1）求中线的长；（2）求与的夹角的余弦值.22平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.23已知向量，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.24在平面直角坐标系中，已知点，.（)求的坐标及；（)当实数为何值时，.25已知，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角.26已知向量，.（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，设的坐标为，由已知可
4、得，表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】解：建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，设的坐标为，因为，所以，化简得，表示以为圆心，为半径的圆，则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题2C解析：C【解析】，又，则，故选3B解析：B【分析】首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之【详解】由已知，所以(=，|=，|=,设向量的夹角为，
5、则.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.4A解析：A【分析】根据数量积的运算，两边平方即可求解.【详解】,，夹角为,解得：，故选：A【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.5D解析：D【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题.【详解】如图所示，设，此时，由题意可知：对于任意的 及，作则有等于1或2，且等于1或2，所以点同时在以为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件
6、，故k的最大值为6.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6C解析：C【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出【详解】|1，且，可设，即（x1）2+（y1）21的最大值故选C【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键7B解析：B【分析】根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于的方程有实根 设与的夹角为，则又 又 本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.8B解析：B【解析】
7、点P(a,1,c)在直线AB上，存在实数使得， ，化为 ， ,解得.本题选择B选项.9C解析：C【分析】由题意可知，令，由二次函数的性质可知，当时，取得最小值1，变形可得，从而可求出【详解】解：由题意可知，令，因为，所以恒大于零，所以当时，取得最小值1，所以，化简得，所以，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题10A解析：A【分析】根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出k的值，再利用平面向量夹角公式求解即可.【详解】因为且，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式的应用
8、，属于基础题.11B解析：B【分析】由知，根据平面向量的线性运算可推出，故，展开后代入数据进行运算即可.【详解】解：，点是边的三等分点，.同理可得，.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.12B解析：B【分析】利用向量与的夹角是，且，得出，进而将化成只含有为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值.【详解】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图 ，,，化简得当且仅当时，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把化成只含有为自变量的二次函
9、数形态，进而求最值.二、填空题13【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函解析：【分析】设点的坐标是，求出，再利用配方法可得答案.【详解】设点的坐标是，即，因为向量，所以，当时，有最小值，此时点的坐标是，故答案为：.【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.141【分析】如图建系设P点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC中
10、点O以O为原点OCOA方向为x轴y轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B解析：1【分析】如图建系，设P点坐标，则可得的坐标，根据题意，可得的表达式，代入所求，根据的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示由题意得：，所以，如图以BC为直径的半圆方程为：，设，因为，所以，则，因为，所以，整理可得，所以，因为，所以，当时，取最大值，所以的最小值为，故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算
11、求值的能力，属中档题.15【分析】建立如图所示的坐标系则设则所以从而结合可得对任意恒成立则必然成立可得而从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点以所在的直线为轴以其中垂线为轴建立直角坐标系则设则所以因为所以化简得由于上述解析：【分析】建立如图所示的坐标系，则，设，则，所以，从而，结合，可得，对任意恒成立，则必然成立，可得，而，从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点，以所在的直线为轴，以其中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设，则，所以，因为，所以，化简得，由于上述不等式对任意恒成立，则必然成立，解得，所以或， 因为，所以，因为，所以，即，所以的最小值为，故答案为：【点睛】此题考查向量的数
12、量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题166【分析】先建立平面直角坐标系再表示出点的坐标接着表示出最后求求得最大值即可【详解】解：以点为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图则由图可知以为直径的圆的方程为：参数方向：因为解析：6【分析】先建立平面直角坐标系，再表示出点的坐标，接着表示出，最后求求得最大值即可.【详解】解：以点为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则，由图可知以为直径的圆的方程为：，参数方向：，因为是以为直径的半圆弧上一点，所以，（），所以，则，当时，取得最大值.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示
13、，是基础题176【分析】建立平面直角坐标系求得点P的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6【分析】建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则，设 ，因为，解得，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18【分析】设设则由得到再利用得到再设得到根据可解得结果【详解】因为所以可设设则由得所以由得化简得所以所以由得所以设
14、则所以所以由得解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算考查了解析：【分析】设，设，则，由，得到，再利用，得到，再设，得到，根据，可解得结果.【详解】因为，所以可设，设，则，由，得，所以，由，得，化简得，所以，所以由，得，所以，设，则，所以，所以，由，得，解得，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.199【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9【分析】根
15、据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案.【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系， ， ， 的最大值为.故答案为： .【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.20【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：【分析】根据，得到，然后两边平方结合，求得，再由求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21（1）；（2）
16、.【分析】（1）由于，进而根据向量的模的计算求解即可；（2）由于，进而根据向量数量积得，故.【详解】解:（1）由已知，又，所以，所以.（2）由（1）知，所以，从而.，所以.解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，则，因为D为边的中点，所以，所以.（2）因为M为中线的中点，由（1）知，所以，所以，所以.【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量，进而根据向量模的计算公式计算.22（1）6；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使
17、对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2）， ，故，解得；（3），即，解得.【点睛】结论点睛：若 ，则等价于；等价于.23（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值；（2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.【详解】解:（1）因为，所以，于是，又，所以；（2）.因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值2；当，即时，取到最小值.【点睛】本题考查平面向量垂直
18、的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.24（)，；（)【分析】（）根据点，的坐标即可求出，从而可求出；（）可以求出，根据即可得出，解出即可【详解】（)，（)，.，【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系25（1）；（2）.【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求，然后由可求（2）设与的夹角，代入向量的夹角公式可求【详解】解：（1），且与夹角为.（2）设与的夹角则.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题26（1）；（2）.【分析】（1）求出，解方程即得解；（2）由已知得，解方程即得解.【详解】（1）由已知得，所以，即，解得；（2）由已知得，因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
